книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания
.pdfЗаметим, что если линеаризованное описание функций обеспе чивает приемлемую точность ее представления в области априор ной неопределенности, то получаемый в результате алгоритм можно с некоторой долей приближения рассматривать как байе совский оптимальный алгоритм. Если не вводить предположения о гауссовском характере вектора начальных условий и порождаю щих шумов, то этот же алгоритм с точностью до сделанных при ближений можно рассматривать как алгоритм, оптимальный в классе линейных.
При решении прикладных задач среди алгоритмов, основанных на представлении (3.3.31), наиболее широкое применение получил алгоритм, в котором в качестве точек линеаризации при обработке очередного измерения выбирается оценка прогноза, т.е.
1 = х1/1-1 Тогда
ÿ f |
<3 -3 -33 > |
а в уравнениях (3.2.31)—(3.2.34) при вычислении |
Р°^к(У|-), |
К°'!>к(у.) матрицу Ht следует заменить на Ht( x |
ds. |
) = __{_ |
|
|
dx: |
|
I |
Замечаем, что при таком выборе точек линеаризации появляется зависимость от измерений для расчетной матрицы ковариаций и матрицы коэффициента усиления. Это объясняется тем, что мат
рица Н.(х. входящая в выражения для Р°^к(Y,), К°^ж{Y;) ,
зависит от оценок прогноза. Отсюда вытекает, что в отличие от предыдущего получающийся при этом алгоритм фильтрации будет уже нелинейным относительно измерений. Такой алгоритм нели нейной фильтрации получил наименование обобщенного ФК (extended Kalman filter).
Как и при решении задачи оценивания вектора постоянных па раметров, эффективность применения линеаризованных алгорит мов для решения рассматриваемых нелинейных задач фильтрации существенно повышается, если на каждом шаге воспользоваться описанной в разделе 2.2.5 процедурой многократной (итерацион ной) обработки одного и того же измерения в целях уточнения точки линеаризации. Применение этой процедуры приводит к итерационному фильтру Калмана (iterated Kalman filter), назы-
ваемому иногда также фильтром Калмаиа с локальными ите рациями [109, 111]. В этом фильтре осуществляется многократная обработка текущего измерения в соответствии со следующим ал горитмом:
где
(3.3.37)
(3.3.38)
Ясно, что в силу приближенности представления (3.3.31) вне зависимости от выбора точек линеаризации вырабатываемые в рассмотренных выше алгоритмах расчетные матрицы ковариаций в общем случае будут отличаться от их действительных значений.
Линейный оптимальный алгоритм типа (2.4.23)-(2.4.25) для случайных последовательностей в рекуррентном виде построить не удается. При попытке реализации алгоритма такого рода в со отношениях (3.3.28)-(3.3.30) можно принять:
Поскольку плотность прогноза / ( х ,/ ^ ,,) в общем случае не известна, в целях упрощения вместо нее может быть использована гауссовская аппроксимация / (х,- / ^_, ) [119]. Ясно, что такой ал горитм становится уже нелинейным, и он естественно будет отли чаться от оптимального линейного алгоритма. К сожалению, и в этом алгоритме вырабатываемая расчетная матрица в общем слу чае может отличаться от действительной матрицы ковариаций. С целью повышения эффективности использования алгоритмов та кого типа здесь в принципе также могут быть предложены различ ные их модификации, о которых вкратце упоминалось в 2.5.6.
В тех случаях, когда линейное представление функции Sj(xt-)
не обеспечивает необходимой точности ее описания в области ап риорной неопределенности, целесообразно использовать другую группу алгоритмов, в которых удается более адекватно учесть не линейный характер функции 5/(хг) В частности, при вычислении оценок и матриц ковариаций в нелинейном блоке могут быть ис пользованы соотношения типа (2.5.28), (2.5.29), соответствующие методу сеток, или соотношения (2.5.30), (2.5.31), соответствующие методу Монте-Карло. В этом случае, несмотря на то что в целом в алгоритме при переходе от г-1-го шага к /-му предполагается га уссовский характер апостериорной плотности, при обработке каж дого очередного измерения исходят из предположения о негаус совском, возможно многоэкстремальном характере плотности. Та кие алгоритмы более сложны при реализации, но достаточно эф фективны при решении существенно нелинейных задач [80].
Нередко на практике приходится иметь дело с задачами, в ко торых измерения зависят только от части компонент вектора со стояний. В этом случае с использованием описанных выше мето дов в нелинейном блоке разумно находить оценки и матрицы ко вариаций только для этих компонент, а для получения оценок для остальных компонент могут быть использованы специально раз работанные процедуры. Возможные варианты построения таких процедур обсуждаются, в частности, в работе [80].
Следует еще раз подчеркнуть, что вне зависимости от того, ка кая процедура реализуется в нелинейном блоке при вычислении оценок на текущем шаге обработки, в целом все рассмотренные алгоритмы основаны на гауссовской аппроксимации апостериор ной плотности. Это объясняется тем, что, как уже отмечалось, при обработке очередного измерения от предыдущего шага учитыва ются только два момента апостериорной плотности: оценка и рас четная матрица ковариаций.
Несмотря на то что при вычислении оценок с использованием очередного измерения моясет применяться нелинейная процедура вычисления, эффективность таких алгоритмов в ряде случаев мо жет оказаться недостаточной. Это имеет место обычно в тех си туациях, когда, располагая текущим измерением, не удается оце нить все компоненты вектора состояния и уточнение достигается только за счет накопления измерений и учета характера динамики изменения вектора состояния.
оценивании постоянного вектора. Ясно, что в этой ситуации весь ма полезным оказывается неравенство Рао-Крамера. Обсудим вкратце особенность его применения в рассматриваемой задаче фильтрации, сформулированной в подразделе 3.3.1 в предположе нии гауссовского характера случайных векторов. Нетрудно пока зать, что матрица нижней границы точности может быть найде на в результате вычисления матрицы ковариаций применительно к линейной задаче фильтрации последовательности [80]
Xi = О,*,-! + Г > ',, |
(3.3.43) |
оцениваемой с использованием линейных / < т -мерных измере ний
|
у , . = Я / х , +vf, |
(3.3.44) |
в которых матрица H f |
и матрица ковариаций R? центрированно |
|
го, независимого от х,- |
дискретного белого шума vf удовлетворя |
|
ют следующему равенству: |
|
|
|
R7 |
ds(Xj) f(x, )dx. (3.3.45) |
|
dxi |
dxj |
Для получения искомой матрицы ковариаций целесообразно
использовать рекуррентные соотношения: |
|
P,,,., =Ф,Р,-,Ф1 *Г,д,Г1 |
(3.3.46) |
|
(3.3.47) |
В этом случае задача нахождения нижней границы сводится к
отысканию матриц Н э и R3, удовлетворяющих равенству (3.3.45), и последующему использованию соотношений (3.3.46),
(3.3.47). Задача нахождения матриц Н э и R3решается так, как описано в 2.5.7, в частности, для приближенного вычисления ниж ней границы точности можно использовать матрицы:
Н э |
ds(x) f(x)dx ; R3 =Em ’ |
|
dxT |
ми независимые между собой векторы ri =(xo,w 1T,W2 ,—wJ)T и Vj = ( v * )т, a векторы X, и Yt получаются из этих векто
ров путем линейного преобразования. Отсюда следует, что апосте риорная плотность f ( X j /Yj), а следовательно, и f ( x i I Y-t) также являются гауссовскими.
Задача 3.3.3. Докажите, что алгоритм решения задачи фильт рации гауссовской марковской последовательности при наличии детерминированных входных воздействий, приведенный в подраз деле 3.2.7, является оптимальным.
Р е ш е н и е . Ясно, что наличие |
U; изменит процедуру, свя |
||
занную с |
определением параметров плотности |
прогноза |
|
/ ( Х,-Д _ ,) = |
/ ; / м ). Для |
получения этой |
процедуры |
так же, как и ранее, введем совместную плотность для векторов
х,_, и |
W, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т ч |
*/-l" |
ОТ |
|
||
|
/(*,_„ и-,А -,) = * VL W.1J: |
0 |
’ 0 |
Q. |
|
|||
Принимая во внимание, что |
|
|
|
|
|
|
||
|
*ы " = ' Е |
°1 |
Г*м |
|
+ "0" |
|
|
|
|
_ xi . |
ф , |
Е\L wi . |
|
|
|
||
где iij |
- известный вектор, нетрудно убедиться в том, что пара |
|||||||
метры |
плотности прогноза f ( x i /Y._l) = N(x.;x |
,Р |
в рас |
|||||
сматриваемой задаче определятся с помощью соотношении: |
|
|||||||
|
|
х... , |
= Ф.х. . |
+ |
и.; |
|
(1) |
|
|
|
i / i - l |
|
' 1 - 1 |
|
' ’ |
|
|
|
Pi, i-i |
= Ф Л -1Ф ,Т + W |
, T |
|
|
|||
Поскольку матрица ковариаций Piti_, не изменилась, то сохра няется и выражение для матрицы Pi , а выражение для оценки х.
будет по структуре таким же, как и в предыдущем случае,
х |
= х , , |
+ К.(у. - |
Н.х , ). |
' |
i / i - l |
i w l |
I i / i - K |
Подставив сюда (1), запишем соотношения фильтра Калмана для оценки прогноза и оценки фильтрации при наличии известных входных воздействий:
= Ф.Iх.1-1, + и./ 9:
X. = Ф.х. , + и. + К.(у. - |
Н.(Ф.Х. , |
+ и . )) . |
||||
I |
I /-1 |
I |
f V | |
I ' |
l i - l |
i ' ' |
Выражение для коэффициента усиления и матриц ковариаций Р(, Рщ-\ сохраняются без изменений.
Задача 3.3.4. Докажите, что представленные в подразделе 3.2.7 алгоритмы решения задачи фильтрации гауссовской марковской последовательности при наличии корреляции между порождаю щими и измерительными шумами являются оптимальными.
Р е ш е н и е . Прежде всего отметим, что наличие ненулевой корреляции (3.2.53) не нарушает условий, обеспечивающих гаус совский характер апостериорной плотности. Таким образом, ре шение задачи фильтрации может быть сведено к получению ре куррентных соотношений для первых двух моментов апостериор ной плотности.
Повторяя рассуждения, использованные для определения плот ности прогноза f(x;/Yj_j) в подразделе 3.3.3, и учитывая тот факт, что эта плотность получается путем рассмотрения плотности для вектора, формируемого как
V i |
' Е |
[А -i |
J |
. xi . |
_Ф,- r°1dU |
||
где / ( x M , W/ /?;•_,) определяется выражением (3.2.21), нетрудно
убедиться в том, что здесь параметры плотности прогноза будут такими же
/АД.,) = М^л,,-Лм)= |
+гаг;). |
Дальнейшие рассуждения будут аналогичны тем, которые про водились при выводе стандартных соотношений фильтра Калмана.
Рассмотрим условную к измерениям Y,_\ плотность для состав ного вектора х,-,v,
|
Ф А |
, |
i/i-l |
в |
/ ( W V = * |
I |
/“ I |
r |
|
0 |
|
B T |
R. |
Специфика этого соотношения заключается в том, что недиаго нальные блоки здесь отличны от нуля в силу наличия корреляции, задаваемой соотношением (3.2.53). Вводя теперь составной вектор
V |
' Е |
° 1 К |
J |
для соответствующей |
ему условной |
относи |
||
>’i. |
,Hi |
* J U |
|
|
|
|
|
|
тельно Y{_i |
плотности, нетрудно получить следующее выражение: |
|||||||
f ( - \ , y , / Y j = N (Г х .11 ' ФА -, ' |
V , |
! |
р, , , - Л + в ' |
11 |
||||
|
|
IW |
|
|
[ * , V . + в ; ; |
+ Н,В, + В ] Н ) н- R ,JJ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что выражения для оценки прогноза и соответст вующей ей матрицы ковариаций остаются прежними, и используя правила вычисления параметров условных плотностей, нетрудно теперь получить следующий набор соотношений, определяющих фильтр Калмана для случая коррелированных шумов измерений и порождающих шумов:
V= ф л . | ;
р1/ы = ф ,рн ф ! + г , а г 7 ;
*| = V + V vi
К , ^ Р и ы Н ] + В,)(Н1Р„,_1Н ? + Н 1В , + В ? Щ |
+ Д ,) - '; |
|
Pi-Pun |
Я,1 + Я,)(Я,Р„н я ; + Л, + BJHJ + |
+ Я /) - |
|
= Р т - ,- К ,(Н ,Р ш - 1 + B D |
|
Задача 3.3.5. Докажите, что при наличии абсолютно точных измерений алгоритмы решения задачи фильтрации определяются соотношениями (3.2.28)-(3.2.32), в которых следует принять
= 0 .
Р е ш е н и е. Для доказательства используется процедура, описанная в подразделе 3.3.3, при этом п. 4 пропускается, а в п. 5 условная к Y,_i совместная плотность для векторов х,- и у,- запи
сывается с учетом связи у,- = # ,х ,.
Контрольные вопросы
1.Перечислите основные отличительные особенности байесовской постановки задачи фильтрации, обеспечивающей получение оптимальных в среднеквадратическом смысле оценок, по срав нению с байесовской постановкой задачи, обеспечивающей по лучение оценок, оптимальных в классе линейных.
2.Приведите рекуррентные соотношения для апостериорной плотности. Как изменятся эти соотношения в случае, когда оцениванию подлежит вектор постоянных параметров?
3.Перечислите основные этапы доказательства соотношений для дискретного фильтра Калмана в линейной гауссовской задаче.
4.В каком смысле алгоритм дискретного фильтра Калмана являет ся оптимальным?
5.Поясните, как рассчитать нижнюю границу точности при оце нивании гауссовской случайной последовательности, задавае мой линейным формирующим фильтром и оцениваемой с ис пользованием нелинейных измерений.