книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания

•зависимость измерений от оцениваемой последовательности линейная, т.е. s,-(х,-) = H ixi ;

•векторы начальных условий, порождающих и измеритель­ ных шумов являются гауссовскими.

Будем считать эти условия выполненными и полагать, что ре­ шается задача рекуррентной оптимальной фильтрации случайной последовательности (3.2.21) по измерениям (3.2.22) при условии, что:

т.е. требуется получить рекуррентные соотношения для вычисле­ ния оптимальной оценки (3.3.4) и условной апостериорной матри­ цы ковариаций (3.3.5).

Покажем, что при сделанных предположениях сформулирован­ ная задача рекуррентной оптимальной фильтрации решается с ис­ пользованием соотношений (3.2.28)-(3.2.32) для ФК.

В справедливости данного утверждения можно убедиться, в ча­ стности, используя приведенные выше рекуррентные соотношения

то же время существует еще один простой путь, если принять во внимание, что в рассматриваемом случае апостериорная плотность / (х;- /Yt ) является гауссовской и для ее воспроизведения на каж­ дом шаге достаточно располагать информацией только о первых двух моментах. Докажем сформулированное утверждение, опира­ ясь на отмеченное обстоятельство и полагая, что оценка и соответ­ ствующая ей матрица ковариаций, описывающие апостериорную плотность на предыдущем шаге, известны.

Представим плотности / ( х ; /Yt_j) /(х , IYt) в виде:

Для получения рекуррентных соотношений для параметров плотности прогноза и апостериорной плотности необходимо выра­

4. С учетом связи v;- = Я,*, + v;- записывается условная к }y_i

совместная плотность ) для векторов х,- и у,-

5. С использованием правил вычисления параметров условных

определяющие соотношения для оптимальных оценок и матрицы ковариаций их ошибок.

Из доказанного утверждения следует, что приведенные в подразделе 3.2.3 соотношения ФК в гауссовском случае обес­ печивают получение оптимальных в среднеквадратическом смысле байесовских оценок случайной последовательности (3.2.21) по измерениям (3.2.22), т.е. оценок, минимизирующих среднеквадратический критерий без ограничений на класс оценок. Отсюда также с очевидностью вытекает, что эти же соот­ ношения обеспечивают получение оценок, оптимальных в классе линейных, если снять ограничение на гауссовский характер слу­ чайных векторов. Если бы это было не справедливо и существовал какой-либо другой алгоритм, обеспечивающий меньшее значение минимизируемого среднеквадратического критерия, то, введя предположение о гауссовости, можно было бы уменьшить этот критерий в гауссовском случае, что вошло бы в противоречие с доказанным утверждением о том, что полученный алгоритм обес­ печивает нахождение оптимальных оценок, т.е. таких, которые минимизируют среднеквадратический критерий.

Из приведенных утверждений следует, что для рассматривае­ мого частного случая оценки, вырабатываемые ФК, обладают все­ ми свойствами оптимальных оценок (см. подраздел 2.4.2).

В частности, условная и безусловная матрицы ковариаций ошибок оптимальных оценок будут совпадать между собой, т.е.

Pj = Pj (Yj), и если определить произвольный не обязательно ли­

нейный алгоритм вычисления оценок x(Y,) и найти соответст­ вующую безусловную матрицу ковариаций их ошибок Pt то в

соответствии со свойствами 3, 4, приведенными в подразделе 2.5.2, всегда будут выполняться следующие соотношения:

Важным также является свойство 5, означающее, что получение оптимальной оценки полного вектора состояний обеспечивает по­ лучение оптимальной оценки вектора, представляющего собой произвольное линейное преобразование оцениваемого вектора.

Иными словами, линейный ФК в гауссовском случае обеспе­

чивает получение оптимальных оценок для вектора состояний и для произвольной линейной комбинации его компонент. При этом точность оценок не может быть повышена за счет ис­ пользования более сложных (нелинейных) алгоритмов обра­ ботки.

Таким образом, матрица ковариаций ошибок оценок (3.2.32), вычисляемая в фильтре Калмана, характеризует потенциальную

точность оценивания случайной гауссовской последователь­ ности, формируемой с помощью уравнений (3.2.21).

Так как оптимальные оценки получаются в результате линей­ ных преобразований центрированных случайных последователь­ ностей, то в случае их гауссовского характера, т.е. при выполне­ нии условий (3.3.14)—(3.3.16), ошибки оценок и ошибки прогноза (3.2.35), (3.2.36) также будут гауссовскими:

/ ( 6 , ) = tf(s ,;0 „ p f ) .

Вместе с тем следует иметь в виду, что нарушение условий, сформулированных в начале подраздела и обеспечивающих гауссовость апостериорной плотности, приводит к потере оптимально­ сти оценок, вырабатываемых ФК. В частности, если порождающие шумы w; , шумы измерения v(. или вектор х0 не являются гаус­ совскими, то приведенные неравенства для оценок, полученных с помощью соотношений ФК и произвольных оценок х(У, ), не вы­ полняются.

Из сказанного следует, что, как и в случае постоянного вектора,

для негауссовской последовательности, описываемой с помо­ щью линейного формирующего фильтра (3.2.21), точность ее оценивания по линейным измерениям (3.2.22), достигаемая при использовании нелинейных алгоритмов, может быть по­ вышена по сравнению с точностью, обеспечиваемой линейным оптимальным алгоритмом.

3.3.4. Методы синтеза рекуррентных субоптимальных алгоритмов решения нелинейных задач фильтрации

Приведенное выше рекуррентное соотношение для апостериор­ ной плотности хотя и упрощает решение проблемы синтеза алго­ ритмов, в общем случае не обеспечивает получение выражений для оптимальной оценки и матрицы ковариаций в замкнутой фор­ ме. Таким образом, здесь, как и при оценивании постоянного век­ тора, встает задача разработки различного рода упрощенных (су­ боптимальных) алгоритмов, позволяющих, с одной стороны, по­ лучить экономичные в вычислительном отношении процедуры вычисления оценки и текущей матрицы ковариаций, а с другой, - обеспечить точность, близкую к потенциальной точности, зада­ ваемой безусловной матрицей ковариаций (3.3.6).

Методы синтеза субоптимальных алгоритмов для нелинейной задачи оценивания вектора постоянных параметров рассматрива­ лись в подразделах 2.5.4, 2.5.5. Покажем, что эти же методы могут быть использованы и при построении рекуррентных субоптималь­ ных алгоритмов решения нелинейной задачи фильтрации случай­ ных последовательностей. Итак, будем полагать, что известна

сформировать х. и Р;(У() . Далее в целях упрощения аргумент у

условной матрицы ковариаций будем опускать. Ясно, что при стремлении построить рекуррентные алгоритмы оценивания слу­ чайных последовательностей имеет смысл ориентироваться на ис­ пользование рекуррентного соотношения для апостериорной плотности. Как следует из 3.3.2, в рекуррентной процедуре можно выделить два этапа - этап получения плотности прогноза (3.3.12) и этап обработки текущего измерения (3.3.11).

Особенность решаемой задачи заключается в том, что уравне­ ние для оцениваемого вектора состояния является линейным, что значительно облегчает реализацию этапа определения параметров плотности прогноза. Из уравнения (3.3.1) следует, что оценка про­ гноза х , и соответствующая ей матрица ковариаций Рщ_\ мо­

гут быть найдены в виде:

Теперь, располагая параметрами плотности прогноза, необхо­ димо, используя очередное измерение у, , сформировать х. и Pt ,

т.е. реализовать этап обработки текущего измерения (3.3.11). Не­ трудно заметить, что при сделанных предположениях и гауссов­ ском характере ошибок измерения задача нахождения х. и Р, по

сути совпадает с задачей, рассмотренной в подразделе 2.5.5. Вводя обозначение

•ВД = т(0,- Ф , ) ) ТЪ ' ( У , - ф , ) ) + (х, - V ,))

выражение для апостериорной плотности можно записать в виде, аналогичном приведенному в этом подразделе, т.е.

J е х {Р-M X ijjd x ,

Отличия заключаются в том, что вместо параметров априорной плотности здесь используются параметры плотности прогноза.

Блок-схема 3.3.1, конкретизирующая в рассматриваемом случае рекуррентную процедуру формирования апостериорной плотно­ сти, представлена на рис. 3.3.3, а общая структура алгоритма вы­ числения оценки и матрицы ковариаций - на рис. 3.3.4. Важно подчеркнуть, что, поскольку при переходе от /-1-го к /-му шагу помимо текущего измерения предполагается использование только оценки и матрицы ковариаций, полученных на предыдущем шаге, в целом описанная процедура получения алгоритмов будет осно­ вана на гауссовской аппроксимации апостериорной плотности.

Из сказанного выше с очевидностью вытекает, что для вычис­ ления оценок и соответствующих им расчетных матриц ковариа­ ций в нелинейном блоке (рис. 3.3.4) можно воспользоваться рас­ смотренными в подразделе 2.5.4 методами. Поясним более под­ робно, как получить алгоритмы, основанные на линеаризованном или линейном описаниях функции s(x).

Гауссовская апроксимация апостериорной плотности на И - м шаге

Гауссовская апроксимация апостериорной плотности

на / - м шаге

/(x//^) = /V(.v/;i/,JP/)

Рис. 3.3.3. Рекуррентная процедура формирования гауссовской аппроксимации апостериорной плотности

Ковариаинн

Pi

Рис. 3.3.4. Общая структура процедуры вычисления оценки

иматрицы ковариаций

Для вычисления оценки и расчетной матрицы ковариаций мож­ но воспользоваться выражениями типа (2.5.24)-(2.5.26):

(3.3.30)

где РрРр - матрицы ковариаций, соответствующие плотно­

сти прогноза; ÿ f - некоторое вычисленное значение; индекс свер­

ху означает тип алгоритма, матрицы ковариаций вычисляются.

В результате получим алгоритмы, которые являются обобщени­ ем алгоритмов калмановского типа, введенных в подразделе 2.5.4. Отличительная особенность рассматриваемых здесь алго­ ритмов, помимо представления оценки в виде суммы двух слагае­ мых - прогноза и произведения матрицы коэффициентов усиле­ нияна специальным образом сформированную невязку измере­ ния, заключается в наличии самого блока прогноза, реализующего вычисление оценки прогноза и соответствующей ей расчетной матрицы ковариаций (3.3.26), (3.3.27).

Конкретизируем возможные варианты алгоритмов калманов­ ского типа применительно к задаче оценивания случайной после­ довательности.

В алгоритмах калмановского типа, основанных па линеари­ зации функции Sj(xj) , предполагается, что справедливо пред­ ставление, аналогичное (2.5.22)

si(xi)*si(x?)+ dSi (х,. —xf ) = Sj(xf ) + Hj(xf )(.Vj-- x f ) , (3.3.31) dxj

cis'

где xf - точка линеаризации, a Hi(xf) =—

dxj ■V=.V

Простейший алгоритм такого типа (линеаризованный фильтр Калмана, ц = лин ) получается, если в качестве точек линеариза­ ции использовать некоторые фиксированные значения, например xf = xj, где х, - априорные математические ожидания. Заметим, что в этом случае

а матрицы ковариаций Pfm и коэффициент усиления K f wt могут вычисляться в соответствии с выражениями типа (3.2.31)-(3.2.34),

выборе точек линеаризации здесь, как и в случае с постоянным вектором, алгоритм вычисления оценки сохраняет свойство ли­ нейности относительно измерений, поскольку расчетная матрица ковариаций не будет зависеть от измерений.