книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания
.pdfР е ш е н и е . Используя представление (3.2.35), (3.2.36), мо жем записать:
рт-\ =^{(Ф ,вм +Г,и;.)(ф.ем + Г > ,)Т};
|( ( £ - В Д - )(Ф/в,_1 + 1 > (.) + K iVi ) х |
? i ~ М И ^ -В Д К Ф .-е ,-.! + r (wi.) + ^ v i.)TJ
С учетом белошумного характера порождающих шумов и их некоррелированности с вектором начальных условий выражение (3.2.29) легко получается из первого уравнения, а второе преобра зуется к виду
Р( = (Е - К,Н1)(Ф,Р1_]ФТ + Г & Г Г)(Е - £ ,t f f)T +K1R,KJ =
« (Е - KjH; )РШ. Х(Е - а д )т + KjRjKj
Соотношение (3.2.34) нетрудно теперь получить, если учесть результаты решения задачи 2.2.3.
Задача 3.2.2. Покажите, что матрица ковариаций для невязки
и. = V. - Н х |
(Y ) определяется выражением L =Н,-РШ .Н7 + Я.-. |
||||
• / |
t f |
j î J |
I ' /-1-' |
|
|
|
Р е ш е н и е . Используя(3.2.40),запишем |
|
|||
м V x } = ^ { ( я Л + V, - я Л л - Д - ^ л |
+ |
V. |
|||
|
I |
||||
= ^ | я , Е „ м + У ,Х Я ,8 „ Ы + V ,) ’ },
откуда с учетом белошумного характера ошибок измерения и их некоррелированности с вектором начальных условий получаем искомое соотношение.
Задача 3.2.3. Докажите справедливость соотношения
Р е ш е н и е . Запишем
м ( е д х ) = м ,л к*, - д а м = м ,М " п t a - |
}• |
Искомое соотношение легко получить, если учесть результат решения задачи 2.5.6.
рениям на фоне белого шума. Найдите его приближенное решение и выражения для дисперсии ошибки прогноза, коэффициента уси ления и фильтр Винера при выполнении условия q » г Устано
вите связь уравнения для установившегося значения дисперсии ошибки фильтрации с аналогичным уравнением в примере 3.2.6.
Р е ш е н и е . Для данного примера запишем:
PÎ = |
_____1_ |
1 |
;Р”р =Ф2Р * + д 2; К 00 = |
P Î |
|
ф2РФ |
+ 4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Первое уравнение нетрудно преобразовать как |
|
||||
|
|
|
|
г2{ф2рФ+д2) |
|
|
|
|
|
Ф2р£ +д2 + г2 ' |
|
При g » |
г получаем: Р£ « г 2; Р£р » д 2 \ Kœ «1. |
|
|||
Фильтр Винера будет иметь вид: х. = Kœy ., из которого следу
ет, что при высокой точности измерения и значительном уровне порождающего шума в качестве оценки принимается текущее из мерение, и, следовательно, установившаяся дисперсия ошибки фильтрации совпадает с дисперсией шума измерения.
Нетрудно также заметить, что при решении задачи фильтрации винеровской последовательности следует принять Ф = 1, и, таким образом, последнее уравнение преобразуется в уравнение из при мера 3.2.6.
Контрольные вопросы
1.Сформулируйте постановку задачи нахождения оптимальных в среднеквадратическом смысле линейных оценок одной случай ной последовательности по измерениям другой коррелирован ной с ней последовательности. Запишите ее решение с исполь зованием дискретного варианта уравнений Винера-Хопфа.
Поясните, в чем специфика задач фильтрации, сглаживания и прогноза.
2.Сформулируйте постановку линейной задачи рекуррентного оценивания случайной последовательности, заданной с помо щью формирующего фильтра.
3.Какие основные блоки содержит алгоритм дискретного фильтра Калмана? Поясните, почему этот алгоритм является рекуррент ным. Конкретизируйте эти блоки на примере решения задачи оценивания постоянной скалярной величины.
4.Поясните, что такое ошибки прогноза и ошибки фильтрации. Запишите уравнение для этих ошибок. Почему ошибки фильт рации являются марковской последовательностью?
5.Как соотносятся матрицы ковариаций для ошибок прогноза и фильтрации при наличии установившегося режима?
6.При каких условиях существует установившийся режим в зада че фильтрации?
7.Что такое фильтр Винера? Поясните его связь с фильтром Кал мана. Приведите пример.
8.Поясните смысл понятия наблюдаемости и сформулируйте ус ловие полной наблюдаемости для последовательностей, описы ваемых с помощью стационарных уравнений.
9.В чем заключается особенность алгоритмов фильтрации при наличии ненулевой корреляции между порождающими и изме рительными шумами?
10.В чем особенность алгоритма фильтрации при наличии абсо лютно точных измерений?
3.3. Рекуррентные оптимальные байесовские алгоритмы фильтрации случайных последовательностей
Рассмотрим более общую, чем в предыдущем разделе, поста новку байесовской задачи фильтрации случайных последователь ностей. Во-первых, снимем ограничение на линейный характер оценок, используемых при минимизации критерия (3.2.25), а вовторых, будем считать, что зависимость измерений от оценивае мых параметров может быть нелинейной.
3.3.1.Постановка и общеерешение задачи рекуррентной оптимальной фильтрации случайных последовательностей
Задана п-мерная случайная последовательность в виде форми рующего фильтра
X,- = Ф /*м +Г>,. |
(3.3.1) |
и имеются т -мерные измерения |
|
У,- =si(xi) + vi> |
(3-3.2) |
где iv(. - р -мерный вектор порождающих шумов; v, —т -мерный вектор ошибок измерения; Ф,-, Г, - известные матрицы размерно сти т х п , пх р соответственно; si(xi) = (sa (xi),...,sim(xi))T - из вестная /и-мерная в общем случае нелинейная относительно аргу мента х функция.
Последовательности w, и v,. представляют собой дискретные, центрированные белые шумы, для которых справедливы соотно шения (3.2.23), а вектор начальных условий х0 считается центри рованным вектором с матрицей ковариаций Р0 . Векторы х0, w, , v; считаются некоррелированными между собой, т.е. удовлетво
ряющими соотношениям (3.2.24).
Предполагаются также известными законы распределения для
случайного вектора х0 и последовательностей w,- и |
v,., задавае |
мые с помощью соответствующих ф.п.р.в. f XQ(х0), |
f w.(iv(- ) и |
/ ч (vi). |
|
Требуется, располагая измерениями Yj =(УрУ2 >—у1 У и не
вводя ограничений на класс используемых оценок, найти рекур рентный алгоритмы вычисления оптимальных в среднеквадрати ческом смысле оценок последовательности (3.3.1), минимизирую щих критерий
(3.3.3)
и соответствующих им характеристик точности в виде матриц ко вариаций ошибок оценивания (3.2.26).
Когда измерения линейны и при минимизация (3.3.3) исполь зуются только линейные оценки, решение задачи определяется соотношениями (3.2.28)-(3.2.32). Их обоснование проведено в 3.2.3 исходя из соотношений для линейной задачи оценивания по стоянного вектора. В рассматриваемом случае для получения ис комых алгоритмов будем опираться на результаты подраздела 2.5.1, согласно которым искомая оценка определяется как
(3.3.4)
где / (х,- / Yt) - апостериорная ф.п.р.в. или просто апостериорная плотность.
Характеристики точности в виде условной и безусловной апо стериорных матриц ковариаций ошибок оптимальных оценок случайной последовательности будут задаваться следующими соотношениями:
Здесь безусловная апостериорная матрица ковариаций Pt ха
рактеризует потенциальную точность решения сформулиро ванной задачи оптимальной фильтрации в среднем по всем из
мерениям, а матрица Pt (Y() характеризует расчетную точность
для данного текущего набора измерений. Именно для этой матри цы и предполагается получить рекуррентный алгоритм ее вычис ления.
Оценку (3.3.4) будем называть оптимальной в среднеквадра тическом смысле байесовской или просто оптимальной оцен кой случайной последовательности. Она будет обладать всеми
рованной задачи необходимо располагать апостериорной плотно стью / ( Xj /Yj), нахождение которой и составляет основное со
держание задачи нелинейной фильтрации.
3.3.2. Рекуррентное соотношение для апостериорной плотности в нелинейной задаче фильтрации
Для получения интересующих нас рекуррентных алгоритмов вычисления оценок x.(Y.) и текущих характеристик точности
P; (Y;) весьма полезными оказываются рекуррентные соотноше ния для самой апостериорной плотности / (х, / Yj), которые могут быть получены, если учесть, что оцениваемая последовательность (3.2.21) является марковской.
Запишем / ( х , / ^ ) в виде
|
f ( x i /Yi) =f ( x i>Yi)/f( Yi), |
(3.3.7) |
где |
f( x h Yi) =/ ( у г/ ^ - 1 ,хг)/(х , /Ç _ i)/Œ _ i); |
|
|
f(Yi) = n y i /Yi_Of(Yi-i). |
|
Поскольку значения vf в разные моменты времени считаются между собой независимыми и независимыми со значениями w ,, можно записать
f b ’ilY i-u X ^ ^ fiy ilx ;) . |
(3.3.8) |
В результате получим следующее выражение: |
|
f(x , 1П я у * , •)/(* ,/?;-■ )/(у,.,) |
|
/ O ' , / IV, ) / № - ,) |
А у, / Г ы ) |
Входящая в (3.3.8), (3.3.9) плотность / ( у ( /х ,) представляет собой плотность, которая легко конкретизируется с учетом соот ношения (3.3.2), результатов решения задачи 1.4.2, рассмотренной в главе 1, и известного вида ф.п.р.в. для шума измерения с помо щью следующего соотношения
/0>1 /xi) =fvj (Yi ~ Si b i )). Знаменатель может быть записан в виде
f ( ï i !Yi-\) = /Y j^dXj - J /Су, lx i)f{XjlYj_x)dxi (3.3.10). Этот знаменатель часто трактуют как нормирующий множитель с,-.
379