книги / Основы САПР. CAD CAM CAE

близко аппроксимировать исходную кривую, как и в случае применения алго­ ритма де Кастильо для аппроксимации кривой Безье. Такая аппроксимация пря­

молинейными сегментами может использоваться для вычисления начальных

значений точек пересечения между кривыми В-сплайна. Алгоритм Кокса­

де Бура может быть реализован на языке С (листинг Ж.1).

Ро

.

•

•

Рис. Ж.2. Схема вычисления p,k-1

Листинг Ж.l. Реализация алгоритма Кокса -де Бура на языке С

Сох de Boor(k. t. Р. u. 1. R)

515

}

*R • A[k-1]:

Приложение 3

Объединение В-сплайнов

Чтобы получить новые задающие точки и узловые значения объединенной кри­

вой, мы предположим, что объединяемые кривые имеют одинаковый порядок.

В противном случае перед тем как выполнить объединение, нам придется изме­

нить ту кривую, у которой порядок меньше, придав ей тот же порядок, что и у дру­

гой кривой (то есть мы будем находить узловые точки и узловые значения экви­ валентной кривой боле высокого порядка). Эта процедура описывается в [38].

Обозначим уравнения первого и второго В-сплайна порядка k как P 1(u) и P 2(u),

соответственно. Далее предположим, что P 1(u) определяется задающими точка­

ми Q (i =О, 1, ..., n) с узловыми значениями v; (i =О, 1, ..., n + k). Аналогичным об­

разом, P 2(u) определяется задающими точками R; (i =О, 1, ...,т) с узловыми зна­

чениями W; (i =О, 1, ...,т+ k). Обратите внимание, что Qn- это то же самое, что

и R0 (рис. 3.1).

Рис. 3. 1. Обьединение IJIJVX В-сnлайнов

Тогда уравнения P 1(u) и P 2(u) могут быть записаны следующим образом:

;.о

Теперь определим задающие точки и узловые значения объединенной кривой (без вывода). Мы проверим результат, показав, что объединенная кривая в своих соответствующих частях представляет исходные кривые. Во-первых, множество

задающих точек объединенной кривой Р; представляет собой простое объедине­

ние множеств задающих точек двух кривых:

Обратите внимание, что R0 не фигурирует в уравнении (3.3), поскольку это то

же самое, что и Q".

Узловые значения объединенной кривой находятся путем слияния двух наборов

узловых значений, после того как все узлы w; будут сдвинуты так, что w0 будет равняться Vn+k· Нам известно, что сдвиг всех узлов на одно и то же расстояние не

влияет на уравнение кривой, поскольку важность имеет только разность между

узловыми значениями. При объединении двух наборов узловых значений не­

которые из них, соответствующие точке сопряжения между двумя кривыми,

исключаются, так что они будут повторяться только k- 1 раз. Если количество

повторений больше, чем k - 1, получившаяся объединенная кривая не может рассматриваться как один В-сплайн и, таким образом, не удовлетворяет соотно­

шению, определяющему число задающих точек, их порядок и количество узло­

вых значений. Процесс получения узловых значений для объединенной кривой

иллюстрирует рис. 3.2. Узловые значения W; сдвигаются на расстояние (vп+k- w0),

так что узловое значение w0 становится равным Vn+l• и из попарно равных узло­

вых значений Vn+l• ••• , Vn+k и w1, ..., wk-l оставляются только (k- 1) узлов от v"+ 1до

Vn+k· Таким образом, узловые значения, которые будут использоваться для объе­

диненной кривой, находятся, как показано штриховыми прямоугольниками на

рис. 3.2, и могут быть выражены следующим образом:

kраз

'~-----------~'

kраз

Рис. 3.2. Объединение узловых значений

Теперь убедимся, что объединенная кривая, которая определяется задающими

точками и узловыми значениями, заданными формулами (3.3) и (3.4), совпадает

с двумя исходными В-сплайнами в каждой из соответствующих частей. Рассмот­

рим часть кривой, соответствующую интервалу t" (= v") и tn+t (= Vn+t = Vn+2 =... =

= Vn+k- 1). Мы знаем, что N".1(и) - единственная функция сопряжения первого

порядка, не убывающая в данном диапазоне и. Распространяя эффект N",1(и) (рис. 6.5), мы найдем, что Nn-k+l.k(и), Nn-k+2,k(и), N",k(и) являются иенулевыми

функциями сопряжения порядка k. Таким образом, кривая определяется задаю­

щими точками P"_k+l• P"_k+2, ..., Р". Эти задающие точки совпадают с точками Q.-k+l• Q"-k+2, ..., Q". Далее, подмножество узловых значений объединенной кривой, уча­ ствующих в вычислении функций сопряжения Nn-k+l.k(и), Nn-k+2.k(и), ..., N",k(и),

будет совпадать со значениями, входящими в Р1(и). Из этого мы можем заклю­

чить, что объединенная кривая Р(и) совпадает с Р1(и) для значений и в иитерва­

ле t" и tn+t· К тому же заключению мы придем в случае, когда и находятся .меж-

ду узловыми значениями, меньшими t". Таким же образом можно показать, что

Р(и) совпадает с Р2(и) при и t"+k·

Пример 3.1

Два непериодических однородных В-сплайна порядка 4, один из которых опре­

делен задающими точками Р1, Р2, Р3 и Р4, а другой- Q1 (= Р3), Qz, Qз и~. тре­

буется представить с помощью объединенного В-сплайна. Найти узловые значе­

ния объединенной кривой.

Решение

Кривая В-сплайна, определенная точками Р;, будет иметь узловые значения

О О О О 1 1 1 1, а кривая, определенная точками Q, - узловые значения

О О О О 1 2 2 2 2. Чтобы сделать первое узловое значение из второго набора рав­ ным последнему узловому значению первого набора, узловые значения второго набора сдвигаются на 1, в результате чего получаются значения 1 1 1 1 2 3 3 3 3.

После этого два набора узловых значений объединяются, и некоторые из узло­

вых значений, равные 1, удаляются, чтобы они фигурировали только три (то есть k - 1) раза. Соответственно, объединенная кривая будет иметь узловые зна­ чения О О О О 1 1 1 2 3 3 3 3.