книги / Основы САПР. CAD CAM CAE

ном направлении с вхождением грани заданного вхождения ребра. Благодаря этим указателям можно полностью радиально упорядочить грани вокруг ребра, отсле­ живая указатели от любого вхождения ребра. Как упоминалось ранее, в пред­

ставлении радиальных ребер дисковый цикл не хранится в явном виде. Однако

цикл «вершина-ребро• хранится, как и в многообразном представлении, в виде

списка вхождений вершин для каждой вершины. Хранение списка вхождений

вершин эквивалентно хранению вхождений ребер, поскольку каждое вхождение вершины связано с вхождением ребра, и поэтому эквивалентно хранению цикла

(<Вершина - ребро•. Например, вершина V1 на рис. Д.S хранит список вхожде­

ний вершин vu 1 - vu2 - vu3 - vu4 - vu5 - vu6• Обратите внимание, что вхожде­

ния вершин перечислены без значительного упорядочивания. Именно поэтому две различные модели, показанные на рис. Д.З, имеют одну и ту же структуру

в представлении радиальных ребер.

,Указатели

сопряженности

вхождения

fu2 ребра fut

Радиальные

указатели

вхождения

ребра

Рис. Д.6. Поперечное сечение с указателями вхождений ребер

По рис. Д.4 можно заметить, что такие базовые топологические элементы, как

грань, кольцо, ребро и вершина, являются избыточными, поскольку вся необхо­

димая информация о них хранится в элементах их вхождений. На самом деле не

обязательно иметь прямое представление граней, колец, ребер и вершин как та­

ковых - представления их вхождений достаточно, чтобы указать их положение в модели. Однако с точки зрения системной архитектуры удобнее, когда про­

граммисты, использующие операторы для манипуляции структурами данных,

имеют дело с более интуитивными понятиями базовых топологических элемен­

тов, а не с топологическими вхождениями этих элементов. Это одно из несколь­

ких оправданий для того, чтобы включать в представление такие избыточные элементы, как грани, кольца, ребра и вершины. Это рассмотрение структуры

данных радиальных ребер станет яснее, если вы познакомитесь с детальной реа­

лизацией этой структуры в [156].

Д.2. Операторы для манипулирования

топологией

По аналогии с операторами Эйлера, используемыми для манипулирования топо­

логическими элементами в многообразных моделях, были предложены операто­

ры, позволяющие манипулировать топологическими данными в немногообраз­

ных моделях [157]. Однако эти операторы не унаследовали полезных свойств

операторов Эйлера, поскольку в их основе не лежало уравнение, подобное фор­

муле Эйлера-Пуанкаре. Как вы помните, формула Эйлера-Пуанкаре устанавли­

вает связь между количествами различных топологических элементов многооб­

разной модели. Возможно, вы скептически относитесь к вопросу существования

аналогичной формулы для немногообразной модели, принимая во внимание гибкость ее топологии. Однако Маеуда с коллегами [109] обобщили формулу

Эйлера-Пуанкаре на случай немногообразной модели следующим образом:

v - количество вершин;

е - количество ребер; f - количество граней;

т - количество колец, или отверстий, в гранях;

V - количество замкнутых объемов во всех комплексах, или просто несвяз­

,ных объектах1;

Vh - количество отверстий, или проходов через объемы;

Vc - количество полостей, или пустот, в объемах;

С - количество комплексов, или несвязных объектов; Ch- количество отверстий, или проходов через объекты; Се - количество полостей, или пустот, в объектах.

Выражение (Д.1) можно проверить на модели, изображенной на рис. Д.1, а.

В этой модели v = 6, е= 9, f = 5, т= О, V = 1, Vh =О, Vc =О, С= 1, С,,= О и Се= О. Подстановка этих значений в выражение (Д.1) дает 6- 9 +(5-О)- (1- О+ О)=

= 1 -О+ О, что удовлетворяет уравнению.

Мы можем также показать, что формула Эйлера-Пуанкаре, приведеиная в урав­

нении (5.1), является просто частным случаем уравнения (Д.1). Поскольку лю­ бой несвязвый объект имеет один объем в многообразной интерпретации, мы знаем, что v =С, v,, = ch и Vc =Се· Подставляя ЭТО в уравнение (Д.1), получаем

(Д.2)

Число оболочек s равняется сумме количества объемов V и количества пустот Ve,

поэтому (Д.2) можно переписать следующим образом:

v-e+(f -т)=2(s-V1,). (Д.З)

1Любой несвязный объект считается одним комплексом, и каждый комплекс может состо­

ять из нескольких объемов и свободных ребер. Комплекс эквивалентеи модели u прел­ стаuлешш радиальных ребер.

Приложение Е

Алгоритм .де Кастильо

Алгоритм де Кастильо можно сформулировать следующим образом.

Р(и), коордииаты точки на кривой Безъе при З1lачении параметра, равиом и, рав­

иы Р; и вычисляются по следующей рекурсивиой формуле:

где

r= 1, ..., п;

i =О, ..., п- r;

Р~ =Р;,

а иачалъиые значеиия Р;0 - это координаты задаюЩlL"С точек Р; .

Выражение (Е.1) показывает, что Р/ вычисляются по Р;0 , или что задающие точ­

ки Р/ вычисляются поР;~ и т. д., пока не будет получено Р; -значение Р(и).

Этот процесс показан на рис. Е.1 для кривой Безье порядка 3 (п = 3). Обратите

внимание, что Р~ получается путем разбиения сегмента линии Р0 Р1 на отрезки с отношением длин и: (1- и), Р11 и Р~ определяются так же. Затем находится Pg,

для чего сегмент линии Р~Pi разбивается на отрезки с тем же отношением длин,

а после этого определяются pg или Р~' путем аналогичного разбиения сегмента

PgP12 • pg дает координаты точки кривой, соответствующей значению парамет­

ра и. Как вы помните, значение параметра определяет отношение, в котором раз­

биваются соответствующие сегменты линии. Рисунок Е.1 показывает также, что

исходная кривая Безье состоит из двух кривых Безье: одна определена четырьмя

задающими точками Р0 , Р01 , Р02 и Р03 , а другая - Р03 , Р12 , Р21 и Р3 . Проверку этого

утверждения можно найти в [48]. Обратите также внимание, что два новых за­

дающих многоугольника аппроксимируют оригинальную кривую Безье гораздо

более близко, чем исходный задающий многоугольник. Таким образом, алгоритм

де Кастильо может применяться многократно для аппроксимации кривой Безье сегментами прямых линий.

Процесс получения Р~' с помощью формулы (Е.1) иллюстрируется .схематически

на рис. Е.2. Любая точка Р; определяется верхним левым соседом РГ1 11 левым соседом Р;'+-11 , следовательно, новые точки, создаваемые в процессе рекурсии, об­

разуют нижний треугольник с вершиной в Р;. Эта схематическая диаграмма со­ держит доnолнительную полезную информацию. Мы показали, что кривая Безье nорядка 3 в процессе nрименения алгоритма де Кастильо может быть разделена на две кривые Безье того же nорядка. Эту идею можно расnространить на кри­

вую Безье любого порядка. На самом деле две группы точек, окруженные flу!iк­

тирными линиями, - это задающие точки двух кривых Безье, nолученных путем

разделения исходной кривой Безье, определенной точками Р0 , Р1 , ..., Pn. Таким образом, кривую Безье любого порядка можно разбить на множество кривых Безье

того же порядка, многократно применяя алгоритм де Кастильо, и результирующие

задающие многоугольники будут достаточно близко аппроксимировать исходную кривую. Такая аппроксимация прямолинейными сегментами может использоваться для вычисления начальных значений точек пересечения между кривыми Безье. Реализация алгоритма де Кастильо на языке С представлена в листинге Е.1.

С помощью алгоритма де Кастильо можно также вычислить производные кри­

вой Безье. Дело в том, что производмая любого порядка от кривой Безье может быть выражена уравнением кривой Безье, как отмечалось в разделе 6.4.1.

Рис. Е.1. Применение алгоритма де Кастильо

Рп---+ Р~-~ Р~-2 • •

Рис. Е.2. Схематическая иллюстрация алгоритма де Кастильо

Листинг Е.1. Реализация алгоритма де Касrильо на языке С

float decas(degгee. coeff. u)

/*

Использует алгоритм де Кастильо для вычисления одной координаты точки кривой Безье. Должна вызываться для каждой координаты

Сх. у и/или z) задающего многоугольника.