книги / Основы САПР. CAD CAM CAE

В зависимости от типов уравнений, используемых для представления каждой

поверхности, можно использовать различные методы вычисления кривых пе­

ресечения, как описано в главе 7. Кроме того, конечные точки ксегмента нахо­

дятся по точкам пересечения кривой пересечения с ребрами граней, как опи­

сано в главе 6.

2.Ксегменты, полученные на шаге 1, наносятся на соответствующие грани объе­ мов А и В (рис. Г.З). Каждый ксеrмент добавляется как новое ребро соответ­ ствующей грани каждого объема с помощью операторов Эйлера, так что разделение граней учитывается автоматически. Операторы Эйлера выбира­

ются в зависимости от расположения ксеrмента относительно грани, на кото­

рую он должен быть нанесен. Есть пять возможных вариантов расположения (рис. Г.4). На рис. Г.4, а изображена ситуация, в которой новое ребро совпада­

ет с существующим; здесь никаких действий не требуется. На рис. Г.4, б два

конца нового ребра совпадают с существующими вершинами, но само ребро не совпадает с существующими ребрами; в этом случае необходимо при­

менить оператор MEL. На рис. Г.4, в один конец нового ребра совпадает с су­

ществующей вершиной, а другой расположен внутри грани; в этом случае

применяется оператор MEV. На рис. Г.4, г оба конца нового ребра находятся

внутри грани; в этой ситуации мы действуем операторами MEWLS и КРМН.

Здесь оператор КРМН иреобразует кольцо, созданное оператором MEWLS,

вкольцо отверстия, принадлежащее внешнему кольцу грани. Одновременно

он устраняет избыточную оболочку, если кольцо, которое иреобразовывается

вкольцо отверстия, было связано с отдельной оболочкой. На рис. Г.4, д два

конца нового ребра связаны с разными кольцами на грани; в этом случае при­

меняется оператор МЕКН. Из этих объяснений мы можем заключить, что каж­ дый ксегмент можно нанести на соответствующую грань каждого из объемов

автоматически, если можно автоматически определить его положение по от­

ношению к этой грани. Для этого необходимо проверить, где лежат конечные точки нового ребра: внутри, снаружи или на границе грани. Такая проверка

называется тестом. ua вхождение (injout test).

Рис. Г.З. Добавление новых граней к объемам А и В

Рис. Г.4. Возможное расположение ксегмента по отношению к соответствующей грани

3.Грани объема А классифицируются по их расположению относительно объе­

ма В. Иными словами, для каждой грани определяется, расположена ли она

внутри, снаружи или на граничной поверхности объема В. Грани объема В

классифицируются таким же образом по отношению к объему А.

Классификация требует большого объема вычислений, поэтому мы будем из­

бегать ее, если результат можно вывести из результата для соседних граней.

К счастью, группы граней одного объема могут иметь одинаковое положение по отношению к другому объему. На рис. Г.S грани, принадлежащие к каждой

из групп, имеют одно и то же положение относительно другого объема

(то есть грани в группе А1 находятся вне объема В, грани в группе В1 находят­ ся внутри объема А). Эти группы также разделены новыми ребрами, получен­

ными из ксегментов.

~~

Групnа в,

ГpynnaA2

Групnа В2

Групnа А,

Рис. Г.5. Груnnы граней

Таким образом, грани, принадлежащие группе, можно определить путем об­

хода соседних граней, начиная с любой грани в группе, без пересечения ксре­

бер (xedges)- новых ребер, полученных из ксегментов. Будем искать грани, принадлежащие одной группе, начав обход с грани, которая заштрихована на рис. Г.S. Сначала из всей совокупности соседних граней отбираются только те, которые не имеют общих ксребер с заштрихованной гранью. Затем проце­ дура повторяется: каждая из отобранных ранее граней используется в качест­

ве вторичной начальной грани, и обнаруженные на данной итерации грани добавляются к отобранному множеству. Процесс останавливается, когда каж­ дая грань из отобранного множества побывает в роли вторичной исходной грани. В данном примере будут отобраны грани из группы А1• После этого

в качестве вторичной исходной грани будет выбрана любая из граней, не при­ надлежащих к группе А1; тот же самый процесс будет повторен для нахож­ дения граней, принадлежащих к группе А2• Еслп какая-либо грань не принад­

лежит ни к А1, ни к А2, то далее находятся грани группы А3 (которые не

существуют в данном примере). Такой же процесс применяется к объему В,

в результате чего получаются группы граней В1 и В2 (рис. Г.5).

После того как грани объемов А и В будут разделены на группы, необходимо

определить положение каждой группы граней по отношению к противопо­

ложному объему. В качестве примера рассмотрим метод для группы А1• Ос­ тальные группы можно обрабатывать так же. Сначала произвольно выбирает­

ся одно из ксребер, образующих внешнюю границу группы А1, и обозначается как Хе (рис. Г.6). Любая из граней группы А1, имеющая Хе одним из своих ре­

бер, обозначается F3 , а грань объема В, делящая ребро Хе с F3 , обозначается Fь.

Затем находятся векторы Na и Nь внешних нормалей к граням Fa и F1,, а также тангенциальный вектор Т в любой точке Хе (рис. Г.6). Тангенциальный век­

тор Т имеет направление против часовой стрелки, чтобы он был согласован с

направлением внешнего кольца La грани Fа при взгляде снаружи. Наконец,

классификация группы А1 по отношению к объему В находится из значения (Na Т)· Nь следующим образом. Группа А1 находится вне объема В, если это

значение положительно, внутри - если значение отрицательно, и на поверх­

ности объема, если это значение равно нулю. Если выясняется, что группа А находится на поверхности объема В, она далее классифицируется как ON_ SАМЕ (если Na и Nь имеют одно и то же направление) или ON_OPPOSIТE (если Na и Nь направлены противоположно).

Nь

Рис. Г.6. Классификация групп граней

4.Группы граней отбираются в соответствии с конкретной булевекай опера­

цией. Правила отбора групп определяет табл. Г.1. Мы объясним, как исполь­

зовать эти правила для операции объединения, а для прочих операций они

используются точно так же. Для операции объединения табл. Г.1 показывает,

что нам необходимо отобрать элементы О и О(Х) в столбце •Объединение•.

Это означает, что мы должны отобрать группы объема А, находящиеся вне

объема В, группы объема В, находящиеся вне объема А, и группы объема А, классифицированные как ON_SAME (или группы ON_SAME объема В). Символы О(Х) и Х(О) в табл. Г.1 подразумевают, что элемент объема А соот­ ветствует элементу объема В, и что данный элемент должен быть отобран

лишь единож:tы. Если мы применим это правило к группам граней на

рис. Г.5, мы выясним, что для операции объединения будут отобраны группы

А1 и В2• Правила для операций разности и пересечения вы можете проверить,

применяя их к группам граней на рис. Г.5.

Табпица Г.1. Группы граней, отбираемые для булевских операций

5.По результатам, полученным на шаге 4, ненужные группы граней удаляются

из каждого объема. Для примера с операцией объединения из объемов А и В

удаляются соответственно группы А2 и В1• Форму объемов А и В после удале­ ния ненужных групп граней илюстрирует рис. Г.7. Сложной топологической

операции, необходимой для создания объема, можно избежать, удалив не­

нужные группы граней из исходного объема, вместо того чтобы создавать но­

вый объем из отобранных групп граней. Как упоминалось ранее, подходы, изложенные в работах [132, 115], требуют этой топологической операции.

Рис. Г.7. Объемы nосле удаления ненужных групn граней

Вкачестве примера рассмотрим удаление группы граней А2 из объема А. Гра­ ни группы А2 можно удалить путем уничтожения ребер Е1 и Е2 (рис. Г.8).

Вобщем случае грани, принадлежащие группе, удаляются путем уничтоже­

ния всех их ребер, кроме ксребер. Керебра уничтожать не следует, поскольку

они также являются граничными ребрами других групп граней, которые со­

храняются. Ребро Е1 удаляется оператором Эйлера KEL, который также объе­

диняет грани F 1 и F"2 (рис. Г.9, а). Аналогичным образом.с помощью операто­ ра KEL удаляется ребро Е2 (рис. Г.9, 6). Теперь геометрическая информация,

Приложение д

Структура данных и топологические

операторы для немногообразных систем

моделирования

Д.1. Структура данных

В разделе 5.3.2 мы представляли объем в виде трех таблиц - грани, ребра и вер­

шины. Можно представить себе хранение списков топологических элементов

немногообразной модели аналогичным способом. Такой подход, предложенный

в [109], иллюстрирует рис. Д.1. Объект, в данном случае пирамида со слоистой

гранью и свободным ребром, состоит из объема, соответствующего пирамиде,

грани, соответствующей слоистой грани, и ребра, соответствующего свободному

ребру. Объем определяется оболочкой, окружающей объект, а оболочка снова

определяется списком поверхностей (см. таблицу граней в разделе 5.3.2). Далее, с каждой гранью связаны кольца, и каждое кольцо имеет список ребер (см. таб­ лицу ребер в разделе 5.3.2). Аналогичным образом, каждое ребро имеет список вершин (см. таблицу вершин в разделе 5.3.2). Структура данных, представлен­

ная на рис. Д.1, а, представляется весьма компактной и четкой, поскольку она

является простым расширением структуры данных на случай немногообразных

моделей. Однако эта структура не дает достаточно информации для получения

сведений о смежности топологических элементов. Например, при добавлении к

модели новой грани (рис. Д.1, а) мы должны выяснить отношения смежности

между гранями. Если добавленная грань создает новую оболочку с существую­ щими гранями, необходимо определить эту оболочку и добавить ее, изменив

оболочку 51 в структуре данных, пш<азанной на рис. Д.1, б. Чтобы можно было

определить оболочку, образуемую гранями, необходимо иметь информацию о

смежности граней.

Разработано несколько подходов к описанию немногообразной топологии, в осо­ бенности информации о смежности. Наиболее значительная работа была проде­ лана Вейлером, который ввел структуру радиальных ребер для представления

немногообразных топологий [156]. В случае многообразных твердотельных мо­

делей информация о смежности хранится в виде двух типов циклического упо­

рядочивания (то есть цикл -«грань - ребро» и цикл -«вершина - ребро»). Цикл <<грань - ребро• - это список ребер для каждой грани или кольца, а цикл -«вер­ шина - ребро» - список связанных ребер, сходящихся в заданной вершине. По­ смотрев на структуру полуребер и структуру крыльевых ребер в разделе 5.3.2,

можно убедиться, что эти сведения о циклах хранятся прямо или косвенно. Ме­

жду тем, для представления немногобразной модели общего вида необходимо