книги / Основы САПР. CAD CAM CAE

ется достаточно плоским, он делится на четыре части. В этом случае квадрантное

дерево соответствующей поверхности обновляется с учетом этих новых лоску­

тов. Также модифицируется список соперников, так что пары, включавшие до

разбиения старый лоскут, удаляются, а вместо них добавляются пары с новыми

лоскутами.

б

РЗ-01 Р4-01

в

8

Рис. К.2. Представление рациональных лоскутов Беэье в виде квадрантного дерева

и его список соперников

На рис. К.З показано, как изменяется квадрантное дерево и список соперников,

когда лоскут делится на части, поскольку не прошел тест на плоскостность.

В данном примере на плоскостность проверяются лоскуты из пары P3-Q1, и лоскут Q1 делится на четыре новых лоскута: Q11, Q12, Q13 и Q14. Здесь мы

предполагаем, что лоскут РЗ прошел тест на плоскостность. Таким образом,

квадрантное дерево, изображенное на рис. К.2, б, обновляется в соответствии с

рис. К.З, б. После этого производится тест на пересечение между новыми лоску­

тами и РЗ для обновления пары P3-Q1 в исходном списке соперников. Если но­

вые лоскуты располагаются, как показано на рис. К.З, а, то пара P3-Q1 будет за­

менена на две пары P3-Q11 и P3-Q12 (рис. К.З, в).

б

РЗ- 011 РЗ-012 Р4- 01

в

а

Рис. К.З. Обновление квадрантного дерева и списка соперников после теста

на плоскостность

К.2. Нахождение пересекающихся сегментов

Мы получили квадрантные деревья пересекающихся поверхностей и список со­

перников. Теперь можно приступить к поиску пересекающихся сегментов, начи­

ная с одной из пар в списке соперников. Сначала мы можем взять любую из пар в списке соперников и вычислить сегмент их пересечения (или, точнее, две ко­

нечные точки). Для вычисления этих конечных точек мы используем пересече­ ние двух плоскостей, поскольку все лоскуты в списке соперников уже прошли

тест на плоскостность. Обозначим эти точки как А1 и А2. Вспомните, что мы

всегда находим точные координаты соответствующих точек, когда получаем ко­

нечные точки по пересечению двух плоскостей. Конечная точка используется

как первоначальное грубое приближение для точного нахождения соответствую­ щей точки путем решения уравнения (7.50).

Теперь необходимо найти следующую пару лоскутов, которые дадут сегмент пе­

ресечения, соединенный с одним из концов текущего сегмента пересечения. До­ пустим, что мы ищем точки пересечения от А1 к А2. Соответственно, нам нужно найти пару, которая даст сегмент пересечения с точкой А2. Процедура нахожде­

ния следующей пары показана на рис. К.4. Следующая пара, Х1-У2, находится после получения текущей точки пересечения А2 из текущей пары, Х1-У1, сле­ дующим образом.

Лоскут У1

Лоскут Х1

Рис. К.4. Поиск следующей пары

ООпределяется местоположение текущей точки пересечения, в данном случае А2, по отношению к лоскутам текущей пары. Таким образом, А2 на"одится на

границе лоскута У1 и внутри лоскута Х1.

ОЛоскут, полностью содержащий в себе текущую точку пересечеюfя, то есть

лоскут Х1, используется снова для следующей пары. После этого мы выбира­

ем один из лоскутов, соседствующих с У1, в качестве второго лоскута для

следующей пары. Выбор определяется местоположением текущей точки пе­ ресечения относительно У1. В данном случае мы выбираем правыit соседний

лоскут, поскольку текущая точка пересечения А2 находится на праnой грани­ це лоскута У1. Затем мы вычисляем точки пересечения для этой новой пары, и для поиска следующей пары роль текущей точки пересечения оозьмет на

себя другая точка, отличная от А2.

Эта процедура завершается, когда точка пересечения достигнет границы одной

из пересекающихся поверхностей (рис. К.5). После этого точки пересечения про­

ходятел в обратном порядке, начиная с исходного сегмента пересечения. Можно

считать, что текущая кривая пересечения получена полностью, если она превра­

щается в замкнутый Iюнтур или пересекается с одной из поверхностей по двум граничным кривым. Мы можем также найти остальные кривые пересечения, вы­

полнив поиск точек пересечения от одной из пар в списке соперников, которая

не участвовала в вычислении уже полученных кривых пересечения. Так, если

мы не оставим в списке соперников ни одной пары, которая бы не участвовала

в вычислении какой-либо кривой, то мы тем самым найдем все кривые пересе­

чения.

Рис. К.5. Обратный поиск

Приложение Л

Формулировка системных уравнений

конечноэлементного анализа на базе основного дифференциального

уравнения

В разделе 8.2 мы рассматривали формулировку и решение системных уравнений

конечноэлементного анализа непосредственно на основе интегрального уравне­

ния, описывающего условие равновесия решаемой задачи. Однако большинство

инженеров знакомы с уравнениями равновесия, выраженными в виде дифферен­ циальных уравнений. Например, уравнения равновесия для задач, связанных с

распространением тепла, вибрацией и потоком жидкости, обычно выражены в

дифференциальной форме. В этом приложении мы опишем использование мето­ да взвешенных остатков как одного из методов формулировки уравнений конеч­

ноэлементного анализа на базе основного дифференциального уравнения1•

Метод взвешетtых остатков (тethod of weighted residuals) -это численный метод

получения приближенных решений дифференциальных уравнений. Он состоит из двух шагов. Сначала выбирается приближенное решение, удовлетворяющее

дифференциальному уравнению и его геометрическим граничным условиям.

Приближенное решение обычно дается в виде линейной комбинации известных

функций с неизвестными коэффициентами. Эти известные функции эквива­

лентны функциям формы, а неизвестные коэффициенты эквивалентны смеще­

ниям узловых точек. Когда это приближенное решение подставляется в диффе­ ренциальное уравнение и граничные условия, получается ошибка, или остаток.

Соответственно, решение исходного дифференциального уравнения эквивалент­ но устремлению этого остатка к нулювнекотором усредненном смысле во всей

области решений. Отсюда возникают интегральные уравнения. На втором шаге

интегральные уравнения решаются относительно неизвестных коэффициентов,

и таким образом получается приближенное решение.

Рассмотрим каждый шаг несколько более подробно. Прежде всего будем счи­

тать, что основное дифференциальное уравнение имеет вид

1 Вариационный метод основан на мюшмизации соответствующего функционала, эквива­

лентного дифференциальному уравнению равновесия, и может быть использован длS\ формулировки уравнений конечноэлементного анализа из основного дифференциально­

го уравнения. Однако метод взвешеш1ых остатков можно исnользовать даже в том слу­ чае, когда функционала, эквивалентного дифференциальному уравнению равновесия, н~

существует. Формулировка уравненш1 с nомощью вариационного метода представлещ в [ 166] и [145].

Обратите внимание, что элемент объема dv заменяется на А dx, где А - это пло­

щадь поперечного сечения в точке Х.

Интегрируя первое слагаемое по частям и опустив постоянную площадь, полу­

чим

Когда будет выполнено суммирование по всем элементам, первое слагаемое каж­

дого элемента в уравнении (Л.11), кроме первого и последнего, уничтожится, по­

скольку в следующий элемент входит такое же слагаемое с обратным знаком. Поэтому данное слагаемое достаточно выч~:~слить только для элементов с номе­ рами 1 и М, если считать, что элементы нумеруются последовательно, а М - это общее число элементов.

Чтобы вычислить это слагаемое для первого и последнего элемента, рассмотрим один из концов тела (рис. Л.2). Внешний поток тепла обозначен как q., поток тепла, обусловленный теплопроводностью, - qX1 а поток тепла за счет конвек­

ции- qcv.

~1

Рис. Л.2. Теnлообмен на границе в одномерной задаче расnространения теnла

Баланс энергии на этом конце тела дает

Мы знаем, что поток тепла, обусловленный теплопроводностью, согласно закону

теплопроводности Фурье может быть выражен в виде

Используя формулы (Л.12) и (Л.13), можно вывести следующее выражение для

NkA dT в уравнении (Л.11)1 прих= ~:

dx

(Л.14)

={-NhiAi(T-Tиi)+NAiqi}l ={-NhiAiT+NhiAiTai +NAiqi}l .

1Поток тепла за счет конвекции qcv равен hi(T- Tuj), где Taj- это окружающая температура при х =Xj. Более того, q,, в точке х =Xj заменяется на qi в узле j. Вспомните, что точка

х=Xj обозначает один из концов стержня.

Приложение М

Сравнение САD-систем на платформе

Windows1

1 Источиик: Computel· Gmpllics \Voгld. Vol. 20, No. 5, Мау 1997, PennWe\1 PuЬiishing

Сашраnу.