книги / Метод крупных частиц в газовой динамике

Рассмотрим теперь постановку граничных условий. Так же, как и в PICметоде, они реализуются с помощью фиктивных ячеек. Например, для ячейки 0, находящейся перед твердым телом (рис. П.1.1), граничные условия записы­ ваются следующим образом:

в конце шага 1

Для возможности расчета обтекания тел более сложной (криволинейной) формы вводятся дробные ячейки (рис. П.1.3). Используются расчетные фор­ мулы для дробных ячеек с учетом специального вида искусственной вязкости q.

Заметим, однако, что приведенные в [24] разностные формулы для дробных ячеек даны без описания одного из важнейших элементов алгоритма дробных

а) если часть стороны ячейки свободна для протекания жидкости в сосед­ нюю ячейку, то q вычисляется по формуле (П.1.8), как в случае целых ячеек; б) если сторона (например, i+ V 2, /) полностью закрыта твердым телом для

Принципиально важный вопрос о постановке граничных условий для дробных ячеек в данной работе не рассматривается, что не позволяет оценить качество предлагаемого алгоритма. По-видимому, авторы метода Жентри, Мартин, Дали здесь натолкнулись на определенные трудности, так как в [24] рассмотрен лишь простейший случай прямолинейной границы, и в дальней­ шем указанный подход развития не получил. Систематические расчеты по указанной методике нам не известны,

В качестве примера расчета методом FLIC рассмотрим задачу о прохож­ дении слабой ударной волны через z-образный туннель [24]. На рис. П.1.4 по­ казаны изопйкнические (р = const) линии в различные моменты времени. Здесь наблюдается сложная система отраженных ударных волн. В момент времени t= 0 ударная волна находится в верхнем левом сечении sx (входной туннель), на последующих этапах происходит взаимодействие волны со стенками. Струк­ тура волны прослеживается на рисунках.

2. В схемах FLIC-метода (в отличие от метода крупных частиц) в качестве энергетического соотношения на первом шаге используется уравнение для внут­ ренней энергии (см. П.1.6). Изучим такой подход более подробно. Покажем, что более рационально и физично рассматривать в уравнениях переноса полную энергию!; как это сделано в методе крупных частиц. Для простоты выкладок исследуем одномерный случай без-искусственной вязкости q. Тогда

у_t/81 и‘др., что и нарушает аппроксимацию (здесь fiyJ— объем дробной ячейки, Л£_"1/в> •—

Часть границы ячейки i, /, открытая для перетекания между ячейками «, / и f—1,/ и т. д.)" Эго ведет, в свою очередь, к нарушению консервативности и т. п.

где

Й ? = У («" + «?)•

Так как на втором шаге осуществляется перенос через границы ячеек полной энергии Е (вычисляются величины АМ*Е, а не А М -З), то схема FLIC-метода является просто консервативной по полной энергии Е и не консер­ вативна по внутренней энергии 3 (схема FLIC не является полностью консер­ вативной в смысле Самарского — Попова [201, 202] ввиду возможного дисба­ ланса по 3). Следовательно, использование в данном подходе на первом шаге уравнения для внутренней энергии 3 не является оправданным.

Рис. П.1.4, Движение слабого скачка по ломаному туннелю (линии р = const) [24].

Как уже отмечалось, на втором шаге FLIC-метода переносится полная энергия Е у поэтому представляет интерес записать энергетическое соотноше­

Заметим, что при выводе (П.1.14) использовалось лишь определение полной

и Амсдена [43].

Позже, в методе ICE был сделан ряд усовершенствований: вместо искус­ ственной вязкости введен полный тензор вязких напряжений; уравнение со­ стояния распространено на произвольный случай (для этого выделен член, пропорциональный квадрату скорости звука, причем изменение плотности представляется по неявной схеме); при решении уравнения Пуассона девяти­

расчетов удара сферического снаряда в случаях как малых, так и больших скоростей [42].

На рис. П.2 Л приведена первоначальная конфигурация. Физическая по­ становка задачи следующая: сферический снаряд радиусом 0,115 см наталки­ вается со скоростью 3,2 м/с на цилиндрическую мишень толщиной 0,4 см. Плотность снаряда и мишени — 1 г/см3. Левая граница рассчитываемой об­ ласти является осью симметрии, три другие границы — жесткие стенки, допускающие свободное скольжение жидкости вдоль себя. В задаче с малой скоростью в качестве скорости звука взята величина С=103*3 см/с, для боль­ шой скорости С = 1 см/с.

На рис. П.2.2 приводятся картины течения в последовательные моменты времени в случае удара с малой скоростью (несжимаемый случай). На рис. П.2.3 показаны аналогичные конфигурации в те же моменты времени для удара с большой скоростью (сжимаемый случай). В первом варианте расчеты хорошо согласуются с расчетами по методу SMAC для несжимаемой жидкости, во втором — с расчетами по PIC-методу.

Начиная с момента /=0,00052, на рис. П.2.2, П.2.3 видно качественное отличие сжимаемого и несжимаемого случаев. На рис. П.2.3 уровень жидкости справа остается неизменным: возмущения еще не дошли до правой границы — через сплошную среду распространяется скачок уплотнения. На рис. П.2.2 уровень жидкости справа поднимается, как и должно быть для сохранения объема несжимаемой среды.

§ 3. Метод ALE-^ произвольный лагранжево-эйлеров численный подход

1. Метод ALE (Arbitrary Lagrangian—Eulerian) является комбинирован­ ным эйлерово-лагранжевым подходом, .позволяющим численно рассчитывать

нестационарное движение несжимаемой жидкости [44]. Этот метод интересен тем, что он предусматривает различные варианты перестройки ячеек расчет­ ной сетки в процессе расщепления. В нем можно осуществить три случая перемещения вершин ячеек: 1) чисто лагранжево перемещение вместе с жид­ костью, 2) вершины ячеек могут оставаться фиксированными при проведении чисто эйлеровой вычислительной процедуры, 3) движение осуществляется произвольно заданным образом.

Использование таких широких возможностей является весьма целесооб­ разным для задач, в которых применение чисто эйлеровых или чисто лагранжевых разностных схем оказывается малоэффективным. Характерным приме­ ром таких сложных течений может служить расчет движения крови по гибким артериям. В предельном случае, когда границы расчетной области представ­ ляют собой твердые стенки или поверхности, через которые жидкость может втекать или вытекать, метод ALE вырождается в чисто эйлерову методику.

2. Перейдем к описанию метода. Рассчитываемую область течения разобьем на систему четырехугольных ячеек (рис. П.3.1). Вершины ячеек, обозначаемые индексами ь /, имеют координаты (х{, у[). В этих же точках определяются

скорости (wj, uj) и масса М[. С другой стороны, в центрах ячеек, обозначенных дробными индексами (/-М/г, /-М/г), вычисляются параметры, соответствую­ щие каждой ячейке,— плотность р, объем V и давление р.

Движение жидкости будем описывать системой законов сохранения, взя­ тых в интегральной форме:

(П.3.1)

где V — объем интегрирования, s — его поверхность, п — внешний вектор

Рассмотрим уравнение импульса. Первый член в нем представляет собой скорость изменения количества движения, заключенного в объеме V; второй член является скоростью изменения импульса из-за конвективного потока через поверхность s, движущуюся со скоростью uR относительно жидкости;

упругие силы) — их лучше аппроксимировать с помощью интегралов по по­ верхности, 3) А — силы, которые удобно определять в вершинах ячейки (силы тяжести и поверхностного натяжения) — их лучше аппроксимировать с по­ мощью интегралов по объему.

Представим уравнение импульса системы (П.3.2) в конечно-разностном виде. Для этого в качестве области интегрирования возьмем четырехуголь­ ник (рис. П.3.1), ограниченный штриховыми линиями. Массу жидкости, со­ держащейся внутри области интегрирования, обозначим М вп (она равна уд­ военной массе, отнесенной к вершине ячейки). Масса, отнесенная к вершине ячейки, равна четверти от суммы масс четырех соседних ячеек. Такие соотно­ шения точны лишь для ячеек, имеющих форму параллелограмма. Однако и для ячеек более общей формы они выполняются с точностью до первого по­ рядка относительно линейного размера ячейки.

Аппроксимируем производную по времени в левой части уравнения им­ пульса следующим образом:

MwUn)l№ .

Расчет нового значения скорости их осуществляется также в два этапа. Вначале не учитывается градиент сил давления и вычисляется некоторое предварительное значение скорости

U v

Затем определяются давления и рассчитываются окончательные значения лагранжевой скорости на фазе 1

Для вычисления членов в фигурных скобках применяются консервативные конечно-разностные схемы. Их вид не существен д л я метода ALE.

Величина давления, используемого в (П.3.4), определяется из условия несжимаемости жидкости. В конце фазы 1 координаты вершины ячейки будут следующими:

Х * = Хп + ^ ( и п+ и*),

шинам ячейки, пронумерованным в направлении против часовой стрелки. Учитывая выражение (П.3.4) для и J?, мы находим из (П.3.6) выражение для объема ячейки, содержащее неизвестные величины давления. Из условия сохранения объема (каждый новый объем ячейки должен равняться его вели­ чине в начале цикла) получаем нелинейную систему алгебраических уравне­ ний для определения давления. Нелинейности здесь имеют более высокий по­ рядок относительно At, поэтому их можно опустить с хорошей степенью при­ ближения. Полученные линейные уравнения решаются методом точечной верх­

где uR, vR — скорости для перестройки ячеек, определяемые после нахожде­ ния лагранжевых скоростей. Согласно новым координатам (П.3.7) вычис­ ляются новые объемы ячеек и их массы.

Ф а з а 2. Проводятся вычисления, учитывающие обмены массой и им­ пульсом между ячейками при их перестройке. Схема вычислений здесь анало­ гична расчетам на фазе 1.

Величины давления в (П.3.9) находятся из условий несжимаемости по­ тока, т. е. из условия равенства нулю дивергенции скорости в каждой ячейке

J V-яdK « v

4

~iuk (Ук+i— Ук~0 +

данным законом движения.

3. В качестве примера, иллюстрирующего вычислительные возможности метода ALE, приведем расчет колебаний жидкости в прямоугольном сосуде под действием приложенного импульса давлений. Расчет ведется на сетке 12x9. Ускорение силы тяжести равно единице и направлено вниз [44].

В начальный момент времени на свободной поверхности жидкости задается возмущение: косинусоидальный импульс давления. В результате реализуется

3 6 0 ПРИЛОЖЕНИЕ

периодическое колебательное движение с периодом Г = 12,8 единиц, который разбивался на 64 расчетных шага (Д£=0,2).

Многообразие возможностей метода ALE иллюстрирует рис. П.3.2, где приводятся шесть различных счетных вариантов перестройки ячеек расчетной сетки.

Вариант а) (/=3) отвечает чисто лагранжеву расчету без перестройки ячеек и хорошо совпадает с аналогичными расчетами, проведенными по ме­ тоду LINC.

В случае б) осуществлялась перестройка границ ячеек так, чтобы вершины лежали на вертикалях, проходящих через вершины ячеек, находящихся на свободных поверхностях.

Пояснйм процесс перестройки ячеек. Пусть, например, вершины ячеек должны оставаться на заданных вертикалях. Переместим вначале все вершины ячеек в те положения, которые они могли бы занять, если бы следовали за жидкостью согласно формулам (П.3.6). Затем найдем точки пересечения за­ данных вертикальных линий и новых горизонтальных линий сетки, прове­ денных через определенные положения вершин ячеек. После этого можно вычислить скорости, необходимые для того, чтобы переместить вершины ячеек в полученные точки пересечения. Затем вершины ячеек передвигаются по фор­ мулам (П.3.7).

В варианте в) вершины ячеек смещались по горизонтали до своих перво­ начальных положений: т. е. по горизонтали течение рассчитывается по эйле­ ровой схеме, а по вертикали — по лагранжевой.

Случай г) отличается от в тем, что на каждой вертикали вершины распола­ гаются с постоянным шагом.

Предельный случай метода ALE — эйлеров подход — осуществляется тогда, когда перестроившиеся ячейки занимают свою первоначальную конфи­ гурацию. На последних двух рисунках эйлеровость сохраняется на четырех нижних рядах ячеек.

Случай д) иллюстрирует недостаточно благополучную ситуацию, когда на границе эйлеровой и лагранжевой областей возникают нежелательные искрив­ ления сетки. Для регуляризации расчетной сетки верхние ячейки перестраи­ ваются так, чтобы координаты каждой вершины являлись осредненными зна­ чениями координат восьми соседних вершин. Вариант е) показывает эффектив­