книги / Метод крупных частиц в газовой динамике

342 РАЗВИТИЕ МЕТОДА КРУПНЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. XII

давления на поршень /?(/), скорости поршня u(t), скорости второй фазы не­ посредственно за поршнем v (t) при различных концентрациях второй фазы f 2. Сплошные кривые соответствуют 1%-ному содержанию второй фазы, штри­ ховые—3%-ному (от начальной концентрации). Скорость поршня во вто­ ром случае в момент /=0,002 с уменьшается на «700 м/с. Таким образом, введение твердой фазы, как показывает численный эксперимент, довольно резко меняет количественную картину процесса движения поршня.

Большой практический интерес представляет задача об ударе тела о де­ формируемую поверхность. Расчеты такого плана упруго-пластических задач были проведены Л. И. Шахтмейстером. При этом в алгоритм метода крупных частиц было введено уравнение состояния твердого тела Жаркова — Кали­ нина [418]. На рис. 12.10 показаны профили давления при ударе алюминие­ вого объекта об алюминиевую преграду со скоростью 4 км/с в последова­ тельные моменты времени: 0,5 с (сплошная линия), 1,5 с (штриховая линия), 2,5 с (пунктирная линия). Рассматривалась одномерная задача со скоростями столкновения от 2 до 6 км/с. Проведенные сравнения с экспериментом, анали­ тическими данными и расчетами по другим подходам говорят о том, что схемы метода крупных частиц позволяют получить удовлетворительную точность рас­ четов, используя ЭВМ средней мощности.

Заметим, что рядом авторов успешно исследовались и чисто нестационар­ ные течения. В частности, в [203, 387] решена задача о расчетах возмущений от вспышки в хромосфере Солнца до орбиты Земли на фоне спокойного солнеч­ ного ветра; в [419] с хорошей точностью рассчитана задача об истечении газа из трубы в среду с начальным перепадом давления порядка 10 и т. д. Во всех этих задачах традиционно использовалась неизменная во времени сетка.

Известно, что большие трудности представляет расчет течений газа в об­ ластях с подвижными границами [375 и др.]. Методом крупных частиц рассчи­ тывались газодинамические течения в области переменной конфигурации [420]. При этом смещение границы может происходить как по наперед заданному за­ кону, так и в зависимости от газодинамических параметров потоков.

Результаты некоторых исследований последних лет по методу крупных частиц опубликованы в работах [436—467].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, модифицированный метод крупных частиц позволяет рассматривать широкий класс стационарных и нестационарных течений газо­ вой динамики.

Расчет различных режимов обтекания плоских и осесимметричных тел, построение скачков уплотнения, местных сверхзвуковых областей, срывных зон и т. п. проводится по единому вычислительному алгоритму методом сквоз­ ного счета, причем здесь используется обычно сравнительно небольшое число узлов расчетной сетки (1,5—2,5 тыс. ячеек), что имеет важное значение в прак­ тических приложениях метода.

Отметим теперь некоторые физические аспекты данного подхода, построен­ ного на основе нестационарной модели Эйлера.

Вводя в рассмотрение время и крупную частицу (лагранжев объем — мас­ су дискретной ячейки), удается методу и самому процессу расщепления каж­ дого временного шага придать определенную физическую наглядность и ана­ логию с реальным экспериментом при изучении газодинамических течений.

На первом ( э й л е р о в о м ) этапе временного цикла, где пренебрегаем эффектами перемещения, мы находим значения газодинамических парамет­ ров самой жидкости. Они определятся только силами давления, для чего можно воспользоваться соответствующими дифференциальными уравнениями идеального газа, которые естественно записать для крупной частицы как уравнения баланса в терминах конечных разностей.

На последующих этапах расчетного цикла моделируется обмен (проводится регуляризация расчетной сетки — лагранжев объем возвращается в первона­ чальное положение) и в новый момент времени определяются параметры поля. На втором ( л а г р а н ж е в о м ) этапе рассматривается поток крупных час­ тиц через фиксированную эйлерову сетку (здесь важен учет направления по­ тока), в результате чего происходит перемешивание «старых» крупных частиц. И, наконец, на третьем ( з а к л ю ч и т е л ь н о м ) этапе из законов сохране­ ния массы, импульса и энергии, записанных в разностной форме, опреде­ ляются «нювые» (окончательные) значения крупных частиц и их параметров на фиксированной эйлеровой сетке. Эффекты переноса здесь моделируются в про­

цессе обмена.

Исходная система уравнений аппроксимируется суммарно на всех трех этапах вычислительного цикла.

Итак, эволюция всей системы за время Д£ осуществляется в этом методе

в предположении их «замороженности» или неподвижности (эйлеров этап), а затем рассматриваются смещения всех частиц, без изменения внутреннего состояния подсистем (лагранжев и заключительный этапы). Стационарное состояние системы (если оно существует) вырабатывается в процессе установ­ ления.

3 4 4 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Аналогия с экспериментом определяется самим построением вычислитель­ ного процесса — изучением потоков крупных частиц, процессом расщепления

разностные схемы, построенные на основе модели Эйлера с приближенным механизмом диссипации при прямой аппроксимации нестационарности, яв­ ляются дивергентно-консервативными и диссипативно-устойчивыми: они ап­ проксимируют исходную систему уравнений, обеспечивают устойчивый счет и имеют решение, аналогичное по своей структуре скачку уплотнения. С их помощью и исследуются осредненные характеристики сложных задач газовой динамики для предельных режимов течений.

Моделирование истинного временного процесса дает возможность изучать динамику нестационарных явлений. Уравнения с диссипативным механизмом (аппроксимационной вязкостью) позволяют определять с достаточной точ­ ностью положение, скорость распространения и характер взаимодействия разрывов: скачков уплотнения, контактных поверхностей, узких слоев сме­ шения в следе за телом и т. п. Однако внутренние структуры этих разрывов, которые определяются молекулярными эффектами, такими подходами не «улав­ ливаются».

Подчеркнем, что в однородных разностных схемах сквозного счета, пост­ роенных на базе уравнений Эйлера, наличие аппроксимационной вязкости обеспечивает устойчивость решения в целом как в областях гладкости решения, так и на разрывах. При этом, однако, надо помнить, что при расчетах с аппрок­ симационной вязкостью можно претендовать на получение решения лишь в тех областях, где влияние последней незначительно.

Вид вязкостного тензора, который можно определить из анализа диффе­ ренциальных приближений, имеет, естественно, различную структуру для разного класса задач. В зависимости от типа течения целесообразно рассмат­ ривать и различные виды диссипации. Указанный анализ может проводить, в принципе, электронно-вычислительная машина, используя отмеченные выше критерии. Так ЭВМ может «конструировать» или «подправлять» соответствую­ щую математическую модель задачи.

Оказалось целесообразным введение и использование здесь понятия диф­ ференциального приближения. Действительно, рассмотрение нулевого диффе­ ренциального приближения (с оценкой порядка следующих членов разложе­ ния) позволяет исследовать вопрос о порядке аппроксимации схем, первое дифференциальное приближение объясняет вязкостные эффекты разностных уравнений, а первое и более высокие дифференциальные приближения дают возможность оценить критерии устойчивости конечно-разностных схем. Та­ ким образом, делается попытка с единых позиций описать все основные свойства системы нелинейных разностных уравнений метода крупных частиц, хотя в ряде моментов рассуждения носят эвристический характер.

Строго говоря, обобщенное решение указанного класса задач для предель­ ных режимов течения (Re->-oo)f построенных на базе нестационарной модели Эйлера с приближенным механизмом диссипации, должно получаться по схе­ мам метода крупных частиц в процессе двойного предельного перехода: при расчетах на большие временные интервалы и при стремлении к нулю коэффи­

При машинной реализации за предельное осредненное решение прини­ мается установившееся (в общем случае нестационарное) численное решение, которое при последовательном дроблении сетки в рамках устойчивости вычис­ лений приводит к стабилизации основных характеристик потока *).

Таким образом, если в уравнения идеального газа или соответствующие разностные схемы введены диссипативные члены, то (как показали исследо­ вания и расчеты) при достаточно широких предположениях относительно ха­ рактера диссипации обобщенное решение большого класса задач для предель­ ных режимов течения можно получить с определенной точностью путем пре­ дельного перехода из уравнений с приближенным механизмом диссипации (обеспечивающим устойчивость решения), а не из уравнений Навье — Стокса.

Указанный подход целесообразно применять.для задач, где имеют место большие деформации, перемещения, сильные взаимодействия, сложные кон­ фигурации ударных волн, развитая турбулентность и др., т. е. для решений, соответствующих предельному случаю, когда число Рейнольдса Re-^-oo и те­ чение определяется эффектами, значительно превосходящими молекулярные взаимодействия. Для задач, внутренняя структура которых определяется молекулярной вязкостной диффузией, указанный подход в такой форме не применим (хотя сам процесс расщепления, как было показано выше, может использоваться и там), так как влияние аппроксимационной вязкости в раз­ ностных уравнениях «забивает» молекулярные эффекты.

Возможно, что отдельные тонкие детали течения не удастся определить таким путем, однако основные свойства течений не должны, по-видимому, существенно зависеть от точного описания малых структур.

С помощью метода крупных частиц изучался широкий класс различных задач газовой динамики. Рассматривались трансзвуковые и гиперзвуковые режимы обтекания, явления в быстропротекающих процессах, дифракцион­ ные задачи, внутренние нестационарные течения, моделировался сложный вид движения в областях срыва за конечным телом, потоки со вдувом струи и т. п. Если трактовать турбулентный поток как устойчивое нестационарное тече­ ние, формирование которого происходит в процессе достаточно больших вре­ менных интервалов независимо от конкретных начальных данных, то можно предположить, что указанный подход будет справедлив (как по постановке задачи, так и по разработанной методике) и для численного исследования осредненных характеристик крупномасштабных турбулентных движений.

Описанные выше результаты, методические расчеты и аналитические оценки позволяют сделать следующие выводы:

— для исследования большого класса задач (в том числе течений с удар­ ными волнами, местными сверхзвуковыми зонами, в донной области за конеч­ ным телом, крупномасштабных турбулентных движений на инерционном ин­ тервале при очень больших числах Рейнольдса и др.) вполне допустимо и целесообразно использование в качестве исходной системы нестационарных

уравнений модели Эйлера;

— рассматриваемые здесь дивергентно-консервативные и диссипативно­ устойчивые разностные схемы метода крупных частиц с приближенным меха­ низмом диссипации при точном моделировании нестационарности обеспечи­ вают при сравнительно небольшом числе узлов расчетной сетки (1,5—2,5 тыс. ячеек) проведение на ЭВМ средней мощности устойчивых вычислительных процедур при решении широкого класса сложных задач аэрогазодинамики и вычислительной физики;

*) Опыт вычислений, например, для задач со вдувом или в ближнем следе за конечным телом показал, что для больших интервалов времени осредненные течения весьма устойчивы н их свойства не зависят практически от конкретных начальных данных — расчеты проводились от начального равномерного (или неравномерного) потоков, вносились разной интенсивности возмущения, использовались различные шаги по времени и т. п.

346 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

— влияние аппроксимационных диссипативных членов разностных урав­ нений проявляется в расчетах согласно физической постановке задачи лишь в узких зонах (слоях смешения, ударных волнах и т. д.), структуры которых в этом подходе не изучаются (расчеты на разных сетках аппроксимации под­ твердили справедливость этого вывода и правомерность математической поста­ новки задачи);

— обобщенное решение рассматриваемого класса задач для предельного режима течения находится путем предельного перехода для больших интерва­ лов времени из уравнений с приближенным механизмом диссипации.

Использование указанных вычислительных методик типа частиц в ячей­ ках (численный эксперимент) позволяет существенно расширить класс иссле­ дуемых задач аэрогазодинамики. Аналогичные принципы можно использовать и для построения численных алгоритмов, основанных на уравнениях Навье — Стокса и Больцмана (статистический метод частиц в ячейках), при изучении свойств течений вязкого и разреженного газа [55, 204—211, 215, 340 и др.К

ПРИЛОЖЕНИЕ

В Приложении приводится серия оригинальных методик, разработанных под руководством Харлоу за последние годы. Не останавливаясь на деталях (их можно почерпнуть из цитируемой литературы), обратим основное внима­ ние на наиболее характерные особенности каждого из методов и приведем иллюстрирующие примеры.

Описанные ниже подходы интересны тем, что позволяют моделировать сложные физические явления, но, вместе с тем, они предъявляют очень высо­ кие требования к мощности ЭВМ. При разработке указанного направления прослеживается тенденция к рациональной организации математической технологии — одни методы нацелены на достаточно общую трактовку про­ цесса расщепления, что позволяет рассматривать широкий диапазон режимов течения (методы YAQUI, MAC); в других подходах делается упор на органи­ зацию общего процесса перестройки ячеек расчетной сетки (метод ALE и др.); в третьей группе отрабатываются чисто эйлеровы (для «сжимаемо-несжимае- мых» сред) или чисто лагранжевы подходы, применительно к задачам с поверх­ ностями раздела двух сред (методы ICE, LINC и т. д.).

Приложение состоит из 7 параграфов. При нумерации формул и рисунков использовались следующие обозначения: буква П означает — Приложение, далее следует номер параграфа и номер формулы (рисунка). Например, (П.6.5) — 5-я формула из § 6 Приложения; рис. П.1.3—3-й рисунок § 1 При­ ложения.

§1. FLIC-метод для расчета высокоскоростных течений газа

1.Метод FLIC (Fluid-in-Cell Method), разработанный Жентри, Мартином

иДали, является, по существу, вариантом эйлеровой схемы. Опишем его,

следуя работе [24] *).

Для получения решения объем, содержащий жидкость, делится на эйле­ ровы ячейки (рис. П.1.1). Каждой ячейке, как обычно, приписываются в дву­

*) В работе [24] содержатся фактические неточности. При описании метода FLIC в дан­ ном параграфе они устранены.

Геометрические размеры ячеек определяются из следующей таблицы:

Система исходных уравнений включает в себя уравнения неразрывности, импульса и энергии. Можно вычислять как удельную внутреннюю энергию 3, так и удельную полную энергию Е непосредственно из конечно-разностных уравнений. Вторая из этих возможностей в большинстве случаев предпочти­ тельнее для эйлеровых методик, где транспортные члены сохраняются в раз­ ностных уравнениях (что делает их легко пригодными для выполнения закона сохранения энергии). В методе FLIC, однако, вычисляется непосредственно

внутренняя энергия. При этом используется разност­ ное представление следующего уравнения энергии:

в решении, которые могут появиться при использовании других схем *). Ап­ проксимации ZIP также эффективны в том смысле, что они уменьшают воз­ можность появления в процессе вычислений отрицательных значений удель­ ной внутренней энергии. Действительно, возникновение отрицательных ве­ личин Ь может быть предотвращено надлежащим ограничением на величину А/, если жидкость удовлетворяет политропическому уравнению состояния.

давления. В каждой ячейке вычисляются величины давления р£у, а затем находятся промежуточные величины компонент скорости и, v и внутренней

*) Здесь авторы FLIC-метода говорят лишь о внешней стороне вопроса. Ответ на истин­ ные причины введения таких аппроксимаций дает проведенный в гл. IV данной монографии анализ многопараметрических схем расщепления: только в случае использования таких ап­ проксимаций достигается консервативность по энергии.

Величина pi+y,, / — член искусственной вязкости, добавляемый в (П.1.4) — (П.1.6) для обеспечения устойчивости разностных уравнений в областях, где скорость жидкости мала по сравнению с локальной скоростью звука.

Если

k (и* -J- t/2)i +i/2, / <С ( £ 2)?+1/2, /

и

Величина k здесь определяется как максимальное значение числа Маха на границах ячеек, для которых вводится <7; В — амплитуда вязкостного давления (обычно £ < 0,5) *).

*) Величина В должна быть достаточно велика, чтобы обеспечить устойчивость счета, но, с другой стороны, и достаточно мала, чтобы избежать «замазывания» важных деталей решения. Одномерный линейный анализ для области торможения показывает, что для обеспечения ус­

если искусственная вязкость равна нулю. Заметим, что относительно значений величины В в [24] даются противоречивые указания: при описании численного алгоритма отмечается, что £ ^ 0 ,5 ; из анализа устойчивости допускается £ > 1 .

Ш а г 2. Вычисляются эффекты переноса (происходит перестройка рас­ четной сетки на первоначальную эйлерову конфигурацию).

Определим, например, потоки массы через правую и верхнюю стороны ячеек (схемы 1-го порядка точности)

Тогда новые значения плотности на следующем временном слое опреде­ лятся так:

РГ/ = Р?. / + T J (AAf" /-v. + A A ftirt. /-A A fJ: /«,. -A M ?+1/S. ,).

Будем также считать, что газ, перетекая из одной ячейки в другую, переносит через границы ячеек компоненты скорости ы, v и внутреннюю энергию д .

4

/

2

Вычислительный цикл, таким образом, закончен. Формулы (П.1.4) — (П.1.12) представляют собой разностные формулы метода FLIC.