книги / Метод крупных частиц в газовой динамике
..pdf§1] |
|
МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СХЕМЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ |
311 |
Здесь |
аналогично ранее введенному обозначению |
|
|
|
|
[Щ]а = (1—а) £ ? + « £ ? . |
|
Заметим, что в |
параметрах хф(ср— {«, Е}) символ ф — верхний индекс, |
а не |
|
показатель |
степени. |
|
Придавая конкретные значения параметрам щ , хф, будем получать раз личные разностные схемы:
—при н1= х а= х 3= 1, ив= х 7=1/2, х °= х £=1 получаем разностные схемы типа метода частиц в ячейках (PIC) 1141;
—при х1= х 2= 1, х 3= х 4= х Б=0, хп= х £—1 получается разностная схема метода крупных частиц с ДА! первого порядка точности;
—при х1= х 2= х 3= 1, хв= х 7=1/2, хи= х £=1 получается разностная схема метода FLIC [24] без искусственной вязкости, введенной на эйлеровом этапе;
—однопараметрический класс ^разностных схем метода крупных частиц, получающийся при X i=x2= l, х3=0, х4= х Б= 1 —а, х“= х £=1 (а — параметр), изучался в работе Ю. М. Давыдова, С. П. Шевырева [198J;
— при а= 1 /2 имеем разностную схему, которая была использована
Ю.М. Давыдовым, Л. В. Шидловской [203];
—Хирт [25] рассматривал разностную схему с х1= х 2= х 8= 0, в которую была добавлена искусственная вязкость q (т. е. давление р было заменено на p+ q)t где
а Д х р их, |
их <0,\ |
10, |
их > 0 . |
Гиперболическая форма первого дифференциального приближения (Г- форма п. д. п.) вышеописанного многопараметрического класса разностных схем метода крупных частиц имеет вид:
P t + (« P )* = 4 f - ( M P * ) * + T ( K I * BP X X — J Р « ) • |
|
|
(pu)t + (p+pu*)x = -^ -(1 и КРи)*)*+т ^XJK“ (2pxti)x— у |
(ри)(1^|, (12.5) |
|
(p £ )t + [ ( p + oE) u\x = ^ - (1 «1 (P£ ) , ) , + f - x ( p p- f ) x 1+ |
|
|
+ T |
(рхЕ)х + щ н Е(и (pu)x)x— J |
(p£),t] , |
где l определяется в (12.6). |
|
получаем Г-фор- |
При X i = x 2= l , х3= х 4==хб= 0, x“= x £= l (при этом /= 0) |
му п. д. п. разностной схемы метода крупных частиц с AM первого порядка точности (3.12), которая приводится в работе Е. В. Ворожцова, В. М. Фомина, Н. Н. Яненко [231].
Для разностной схемы метода FLIC [24] без учета искусственной вязкости имеем х1= х 2= х 3=1, хв= х 7 =1/2, х“= х £=1 (при этом/=1). Таким образом, Г-формы п. д. п. разностных схем методов крупных частиц и FLIC отличны, что является следствием различий их разностных схем.
Из Г-формы п. д. п. (12.5) разностной схемы (12.3), (12.4) следует, что: а) члены xKixupXXi 2тх1хи (рхи)х>хКгКи(рхЕ)х появились на лагранжевом этапе при расчете потоков массы, импульса, энергии через границы ячеек
вследствие использования величин и, полученных на эйлеровом этапе; б) член тх2х£ (ц (/ш)х)х возник из-за использования Ё на лагранжевом
эта пе;
в) член 4"т (p ^ f) Ki/ появился из-за использования величин и в уравне нии энергии на эйлеровом этапе.
§Т] МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СХЕМЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ 3 1 3
параметр). При проведении тестовых расчетов одномерной задачи по рас пространению ударной волны было показано, что при а ==1/2 разностная схема дает меньшие колебания на фронте ударной волны, чем при а = 1. Это полностью соответствует выводам а).
Из графиков, представленных в работе Н. Н. Анучиной Ц4], следует, что в методе PIC, которому соответствует х1= х 2=Из=1» хв= х 7=1/2, xu= x f = l , наибольшие колебания в задаче о распаде разрыва (обусловленные, в частности, немонотонностью разностной схемы) возникают при использовании на лагран-
жевом этапе величины* скорости и. При употреблении ы = ~ (и+ и) = \и\х/г
колебания уменьшаются, а при и |
становятся еще меньше. |
В обозначени |
ях разностной схемы (12.3), (12.4) |
это соответствует х“=0; |
0,5; 1. Исполь |
зование 1и]ни вместо и на лагранжевом этапе приводит к появлению членов хнт (ирх)х X2, нпт(Ерх)х в уравнениях неразрывности, импульса, энер
гии соответственно Г-формы |
п. д. п. (12.5). |
Таким образом, здесь |
|
Аа1г —тх“рр, |
Аа22= —2ххии2ра, Дд33 = тхГЕрз. |
Два коэффициента диффузии аХ1и а33 увеличиваются, а а22 уменьшается с уве личением х“. Следует, однако, заметить, что в области малых скоростей умень шение а22 несущественно, так как в а22 входит член 0,5р|ы|Дх, пропорциональ ный модулю скорости. В зонах больших скоростей влияние Аа22 может быть существенным. Суммарный эффект использования Ы ха на лангранжевом этапе
заключается, по-видимому, в увеличении роли вязкостных членов разностной схемы, что приводит к сглаживанию колебаний в области немонотонного счета (что соответствует результатам [14]).
2. В связи с развитием метода крупных частиц для решения сложных за дач газовой динамики представляет определенный интерес сравнить его раз ностную схему с разностной схемой метода FLIC без искусственной вязкости.
Разностные уравнения сохранения массы й импульса совпадают, а раз ностное уравнение для уравнения сохранения энергии на эйлеровом этапе
записывается |
в виде |
|
£? = |
£ ? - -ЦЩ [(Р?+1 + Р?) (и?+1 + «?)-(Р? + Р?-1) («? + «?-!)] |
|
для метода крупных частиц и |
|
|
Щ = |
[“Я1/2+ pi |
—PiK -Ji/2 —p?-i 0?]i/s] |
для метода FLIC. |
|
|
В некотором смысле разностная схема |
метода FLIC представляет собой |
одну из разностных схем многопараметрического метода крупных частиц, в которай для аппроксимации члена (ри)х в уравнении энергии на эйлеровом этапе применяется ZIP-метод [25]. При этом используется [MJ-II/,.
Коэффициенты диффузии, представляющие собой диагональные элементы матрицы аппроксимационной вязкости, совпадают для уравнений неразрыв ности и импульса и различаются для уравнения энергии, причем
Аа39= — -у ру их Ах2 + Atpa (Е + и2)
для метода крупных частиц и
Да31 = -^ - р а ^ + Atpa (£ + и2)
для метода FLIC.
314 |
РАЗВИТИЕ МЕТОДА КРУПНЫХ ЧАСТИЦ |
[ГЛ. XII |
Из полученных результатов следует, что в методе крупных частиц коэффи циент диффузии ааз на волнах разрежения (их> 0) меньше, чем у метода FLIC,
а на волнах сжатия |
(их< 0) больше, если 2 —-^g-< | м*|, и |
меньше, если |
|
2 ■р"£? > I “* !• |
|
|
|
При практических расчетах обтекания затупленных |
тел в |
зоне ударной |
|
волны членом-— р а ^ |
можно пренебречь по сравнению с |
\их\рд Дх2/4, т. е. ко |
эффициент диффузии а88 метода FLIC меньше, чем у метода крупных частиц. Этим, по-видимому, и объясняется тот факт, что метод крупных частиц устой-
чив без введения явных членов искусственной вязкости, а метод FLIC — неус тойчив. В окрестности волны разрежения метод крупных частиц имеет мень ший коэффициент диффузии а33, чем метод FLIC. Однако, как показали много численные расчеты, метод крупных частиц устойчив и в этих зонах. Увеличе ние диссипации может привести к большему размазыванию и, в конечном счете, к снижению точности.
3.Система уравнений (12.1) описывает одномерное движение невязкого
и нетеплопроводного газа без учета ряда физических эффектов (излучения и т.’д.), которые могут (при определенных условиях) оказывать большое влияние]на течение. Например, при Т Х Ю 4)К учет излучения приводит к сущест венному возрастанию плотности и понижению температуры в ударном слое.
Подробное описание алгоритма метода крупных частиц для задач радиа ционной газовой динамики и результатов численных расчетов дано в гл. XI. Здесь для анализа полученных разностных схем исследуется одномерный (по пространству) случай.
Рассмотрим следующую систему уравнений газовой динамики:
|Pt+(p«)*=o,LJ(p«)t+(p-f p«s+Q B)«=o, L |
П2 g. |
( p £ ) f - H ( p + p £ ) « + = о, |
1 ' ; |
где|(2ф=Ф ф(Р» ut E), (cp={w, £}) — известные функции плотности, скорости и удельной полной энергии. Здесь ф ={и,£} — верхний индекс, а не показатель степени.
Для построения рациональн ой разностной схемы воспользуемся расщепле нием (12.8) на две вспомогательные системы:
Гр?1- о.Нр^ + х^ + х*ю»)?- о,
(12.9)
р™Е?>+щ (ри)У +хя W - 0 ) ;
и
р{2,+ ( р ^ 2) = 0, |
(рu)^ + ( p u ^ + ( \ - K 1)p ^ + ( \^ y c a) ( Q % ^ 0 9 |
(РЕ)?+ |
(риЕу?+ (1 - х .) (ри)Т+ (1 - х*) т ? = 0- |
_Д ля аппроксимации (12.9), (12.10) используем разностную схему (12.3), (12.4), в которой члены (Q4*)* (ф= {«,£}) будут аппроксимироваться цент ральными (разностями, т. е.
'*2Ах [ ^ Ф)?+1— №Ф)*-1]>
как!для системы (12.9), так и для системы (12.10). Заметим, что подобным об разом аппроксимируется член рх.
§1] |
МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СХЕМЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ |
3 1 ? |
|
Дифференциальное приближение запишется следующим образом: |
|
||
|
Р< + (р“)х = AjJ+ A<Q£—у А* Ах ( раг- | - ) х |
|
|
e>«)i+o»+p»*)*+Q , “ |
|
|
|
= д ; + |
(uQ'%— j |
[(рВ)<^ ] в Ах A t— J («ОД, AJCA /| х“х„, |
(12.15> |
Qf +(p£)* + [(P + РЕ) и], = Дя + At (EQ“)Xх“х„ + At (uQ % х% £- |
|
||
|
—J |
A* A t— J X£X£ («Q|)xДх A*, |
|
где AJ, A*, |
Af — члены |
дифференциального приближения порядка |
Ах, Atr |
Ах2, Ах3, АхДt в случае к„=Ия=0, т. е. при учете Qu, QE только на втором: этапе.
Следует заметить, что дифференциальное приближение (12.15) было по лучено для потока, текущего слева направо, т. е. при *С>0. Для противо положного направления потока достаточно заменить (Ах) на (—Ах) в (12.15).
Если в (12.15) учитывать только члены, пропорциональные At, то учет
расщепления приводит к |
появлению членов x axuAtQ“, |
2xuxuAt(uQa)xt |
xuxnAt(EQtl)x+ x ExEAt(uQE)x |
в уравнениях неразрывности, |
импульса и |
энергии соответственно. Приведем два показательных примера, в которых используются более сложные, чем описываемые (12.1), модели течения и ад дитивно добавляемые члены Qu и QE имеют конкретный физический смысл.
В качестве п е р в о г о примера использования (12.15) рассмотрим одно мерные течения идеального невязкого, нетеплопроводного газа с учетом излу чения. Излучение будем вводить в приближении объемного высвечивания. Газ будем считать серым, коэффициент поглощения с учетом вынужденного испускания которого не зависит от частоты, температуры и давления. В этом случае имеем
|
Q« = 0, QE = a 3 * ~ Т \ |
где а = const, |
3 — удельная внутренняя энергия. |
Из (12.15) |
следует, что учет излучения как на первом, так и на втором |
этапах приводит к уменьшению коэффициента диффузии а33 на величину
2AtxExEa]u\33Ax, |
следствием чего |
должно являться меньшее (большее)1 |
|
размазывание зоны |
ударной |
волны, |
если х ехе> 0 (хЕхЕ<$). |
В качестве в т о р о г о |
примера рассмотрим течение стратифицирован |
ной жидкости в поле |
силы тяжести [368, 369 и др.]. В этом случае система урав |
нений запишется в |
виде (12.14), где Q“ = — -jip-g*; QE = — jUg*, g * > 0 |
(Fr — число Фруда). Для определенности будем считать, что сила тяжести направлена вдоль оси х. Введение силы тяжести, помимо усложнения ис ходной системы (12.1), приводит к стратификации: первоначальному полк> параметров потока с
Рх(Х, t) |<=0 > О, РА- (х, t) |t—о > 0.
Вначале рассмотрим влияние введения в разностную схему члена с силой, тяжести. Из (12.15) следует, что при наличии силы тяжести учет расщепления приводит к увеличению (уменьшению) коэффициентов диффузии а1Ъ ай2, а33 на величины
At Ах х“х„, ^ r TA tA x х"хц, |
At Ах х“хи |
соответственно, если
хих “и > 0 |
(хпх ии < 0). |
Таким образом, если направление потока совпадает с направлением дейст вия силы тяжести, то учет расщепления приводит к увеличению диагональных
318 РАЗВИТИЕ МЕТОДА КРУПНЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. XII
элементов матрицы а; в противном случае коэффициенты диффузии умень
шаются.
Теперь рассмотрим вторичный эффект действия гравитационного поля — влияние стратификации, обусловленной силой тяжести. Если в предыдущих параграфах не учитывалась априорная информация о знаках р*, рх> то в слу чае стратифицированной среды р^Х ) и р^Х ) в первоначальный и близкие к нему моменты времени. В случае ux\t=o=0 анализ диагональных членов матрицы (12.6) показывает, что а2а и а33 уменьшаются.
Из полученных в настоящем параграфе результатов следует, что введение расщепления приводит к появлению добавочных членов в дифференциальных приближениях разностных схем (Г-, П-формах дифференциального представ ления или п. д. п.). Априори неясно, какую роль будут играть эти члены. В ряде случаев (например, в методах PIC, крупных частиц, FLIC) расщепле ние системы уравнений газовой динамики происходит по физическим процес сам [222, 232, 233], что соответствует учету сил давления на первом этапе и конвективных членов на втором.
Таким образом, остаточные члены, возникающие из-за расщепления, мо гут как улучшать (уменьшать колебания за ударной волной), так и ухудшать результаты (давать большее размазывание монотонного профиля ударной волны). Они требуют детального анализа, что и было проведено выше для раз личных видов течений. По параметрам, входящим в разностные схемы, можно оптимизировать решения [401] и разностные схемы [221].
Как отмечает Г. И. Марчук [222], формальное расщепление может ском прометировать саму идею расщепления, и лишь дополнительные соображения приводят к схемам, теоретически оправданным и эффективным в приложе ниях.
§ 2. Разностные схемы метода крупных частиц для расчета нестационарных трехмерных течений
1. В этом параграфе будут рассматриваться многопараметрические классы разностных схем метода крупных частиц для решения пространственнонестационарных задач аэрогазодинамики (Ю. М. Давыдов [213, 219, 437]).
Система уравнений газовой динамики для трехмерных течений записы вается в виде
Pt + (р“)* + iPV)y + |
(pi»), = |
0, |
|
|
(P“)f + Рх + (ри*)х + |
(рк»)„ + |
(puw)2= |
о, |
|
(р°)t+ Ру + (Р“»), + |
(р^а)</+ |
(р»1»), = |
0, |
(12.16) |
(P«0t + Pz + (P«I»)x + |
(pw»)„ + |
(pi»2), = |
0, |
|
(p£)t+ [(P+ pE) « ],+ [0>+ pE) »]„+ [(p+ pE) w]2= 0 ,
P=»P(P,3), 9 = E — 2 ( U* + V2 + W*),
где и, v, w — компоненты вектора скорости вдоль осей х, у, г соответственно. Сначала рассмотрим традиционную разностную схему метода крупных
частиц с AM первого порядка точности [1, 20, 22].
Как и для двумерных (плоских и осесимметричных) задач, расчет каждого шага по времени разбивается на три этапа:
1) э й л е р о в этап, когда пренебрегается всеми эффектами, связанными с движением жидкости (потока массы через границы нет)) это соответствует
пренебрежению конвективными членами в (12.16); |
|
||
2) л а г р а н ж е в |
этап, где |
вычисляются потоки |
массы, импульса и |
энергии через границы |
ячеек; |
|
|
3) з а к л ю ч и т е л ь н ы й |
этап — определение |
окончательных зна |
чений параметров потока ф={р, и, vt w, В ) на основе интегральных законов сохран ния массы, импульс v энергии ля каждой ячейки.
§2] |
РАЗН0СТНЫЕ1СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТРЕХМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЙ |
319 |
|
Такая конструкция соответствует расщеплению по физическим |
процес |
сам [222, 232, 233]: учет сил давления производится на эйлеровом этапе, а эффекты конвективного переноса — на лагранжевом и заключительном.
Введем равномерную сетку по пространству с сеточными параметрами Ах, Ау, Аг и индексами i, /, k вдоль осей х, у , г соответственно. Шаг по вре мени At может быть переменным.
На эйлеровом этапе будем использовать центрально-разностные аппрок симации:
|
/, k — |
/, km |
Pi+i, /, fe—Pt-i, /, fe |
А/ |
||
|
2 Д* |
Pi, /, fe |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
JTrt |
__'-.rt |
P?, /+1, k |
Pj, / - 1, fe |
A* |
|
|
v i , i , k |
— |
v i t i t k |
2Дг/ |
p* /Aj’ |
|
|
|
|
|
|
|
(12.17) |
|
j f i . k = w * ■ . _ p" i . k +l - P l i . k - i _ M . |
|||||
|
i.y. fe |
t . /, fe |
2Az |
P?,i,k* |
||
£?. /, fe = £ ? , /, ft--- |д ^ |
(P?+l/2, /, kUi+1/2, /, ft--- P?-l/2, /, ft |
/, ft) + |
||||
4" |
(P?, /+1/2, ft^?, /+1/2, fe---Р/, |
/—1/2, ft &f( /—1/2, fe) + |
||||
|
|
+ |
(Pf. /, fe+1/2, /ш?, /. ft+i/2 — P” /, k-UiM, /, ft-i/з) | |
Разностные формулы на лагранжевом и заключительном этапах запишутся в виде
(p?,+£fe--p?./,rfe)A*A*/Az = |
|
|
|
|
|
|
ДМ?, /, fe+1/2» |
||||
= AMJLJ/2,/, ft |
АМ?+1/2. /, ft+AMj /—1/2,'ft AM“f /+l/2,fe+AM" /, ft—1/2 |
||||||||||
(p?,V. йФП ft— P7, /. *ф?. /. ft)A* AP A* = |
|
|
|
|
! <12-18) |
||||||
= <Ф^?-1/2, /, feAM?_i/2, /, fe |
<ф>?+1/2, /, feAAff+i/2, /, й + <ф>?, /—1/2, feAM?, /—1/2, fe |
||||||||||
---<ф>?, /+1/2, ftAMf, /+1/2, fe4“<ф>?, /, fe-l/2^M”f ft k-1/2 |
|
<Ф>£, /, ft+l/2^Mf( /, fe+1/2 » |
|||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДМ?_а/2> /, fe = |
4 P?-l. /. fe |
/. fe + «?. /. ft) AP A2 A/> |
<Ф>?-1/2, /, fe = |
Ф?-1, /. fe» |
|||||||
если |
|
fe + u7t/Vfe>0, |
и |
|
|
|
|
|
|
||
MMUn.-l. ft = у |
P" /. ft |
/. ft + |
/. ft) byAzAt, |
<ф>?_1/2, /. * |
- Ф?,/, ft, |
||||||
если й",., /-ft+«?./.ft<0 и т. д. Здесь Ф ={ы, |
оу, £}. |
|
|
||||||||
П. д .’п. по Ах и нулевое по А/ разностной схемы (12.17), (12.18) запишется |
|||||||||||
следующим |
образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Pt + |
(р и Ь + М у + № )г = т (I w IР*)* А* + Т |
<М Ру)г/А0 + Т (ИР*)* Аг* |
|||||||||
(ры), + Р *+ (рйг)я+ |
(ри^)„+ (puw)2= |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
- |
у (| и | (ри)1), А*+ у |
(| ОI (Р«)„)„ д0 + у |
( N (p«)i).Дг- |
||||||
(pt>), - Ь Р у + |
( р ш ) х + |
(ри2)„ + (рт ) г = |
|
|
|
|
( 1 2 Л 9 ) |
||||
|
|
|
- у |
(1!“ЯИ * )* А*+Т.(1и I (И Л А^ + Т о» I<ИЛАг, |
|||||||
(pay), + |
р г + |
(рноу)*+ |
(Рш )у+ (РШ |
= |
|
|
|
|
|
||
|
|
= |
у (I и I (pay)*)* Д * + у ( |о | (pw)y)y Ау.+ у |
( М <Р®)Л д 2, |
|||||||
(р£), + |
[(р + р £ ) и ] ,+ [(Р+ Р£ Н |
+ [(Р+ Р£ ) |
= |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
= у |
(I «I (р£)*)лд* + У (I« I (р£)«), д г/+ у (I |
I (р£ )*)г Дг- |