книги / Метод крупных частиц в газовой динамике
..pdf§5] |
|
МЕТОД КРУПНЫХ ЧАСТИЦ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА |
331 |
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
запишетсяСвНвидеХеМа Уравнений Навье “ Стокса на эйлеровом этапе (12.46) |
||||||||||||||||||
/ = |
«?. ! + - £ ^ |
|
|(P?-i/2, / |
Pt+уг, /) + |
(1 Д* [ 4 д г |
(«f+i. /- 2 м ? ., + |
«?-!./) + |
|||||||||||
I |
|
ui. 1+1—2ц?, /+ц? /_1 |
|
, (Л 4-1) , „ |
|
|
|
|
|
|
11 |
|||||||
^ |
|
|
|
|
|
Д ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/+ i + 0?-i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12.47) |
|
< / = ^ ' + |
^ |
|
{<"?■ М |
|
/ » - ^ |
/«/*> + |
И А// [ ^ ( 0 |
? , |
/+1 2м? , + |
«*,_,)+ |
||||||||
_ l_ |
Vi +1* j |
^ Vi. |
|
1, |
/ |
. M |
+ |
l ) / ^ « |
- 4 - м 7 |
• |
____l±n |
tJn |
|
\ ] \ |
||||
^ |
|
|
|
|
|
|
^4ДГд£ { |
t+1’ |
+ |
/-1 |
|
“ i-i. /+i — tt£+i, |
, |
|||||
/ == |
/ “b { * |
2 |
AJC |
|
|
' ^ "~ 1- / |
Pi+i. /) "Ь Pi, / (tt£-i. / — w?+i, /)] + |
|
|
|||||||||
|
|
|
“1 2Ду |
I0?* / (Pi. M |
|
P” |
/+i)“bPi, /(u?. /-1 — |
/+i)]4" |
|
|
||||||||
+ |
|
[ & « . / ) '+ («f-i. /)г- 2 |
(«?. /)2] + 4 д ^ 7 |
[5f+i. / W « . z+i—^+i, M )— |
||||||||||||||
|
|
w£-i. j |
|
/+i |
^?_i, /-i)] + |
2^Ja[(t;?+i, /)2 + (уГ-1, /)Z— 2(tr?f /)z] + |
|
|||||||||||
|
|
4Д*Д*/ |
|
|
|
|
/+i |
|
M?+i. /-О |
^i-i, / |
|
|
/+i— w?-i, /-i)] + |
|
||||
+ |
^ |
- [ ^ |
+,./ + |
^-x. / - 2 5 ? |
/ ] + ! i^ + 2 ) [ (0? /+1)2 + |
(M~? ,_i)2— 2 (o'? ,-)*]+ |
||||||||||||
|
|
|
|
+ l £ r [ K |
,чх)2 + К |
/-x)2—2 (a? ,)*]+ |
|
|
||||||||||
|
“Ь 4ДхД(/ |
/+х (M?+i. /+i |
w£-i. /+x) |
^?. /-x (ы£+х. /-i |
u?-i, /-i)] + |
|
||||||||||||
|
|
4Д^Ду [u£ /+1 (W+i, /+1 |
a£-i. /+x) |
K£. /-iK + l, |
/-i |
®?-i, /—i)] + |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ^ |
[ 5 |
? |
/ +X- 2 5 ? / + |
5?/_ 1]}. |
3. Исследуем вязкостные эффекты полученной разностной схемы [205,214, 252]. Для этой цели используем аппарат дифференциальных приближений.
Выпишем для простоты в одномерном случае дифференциальное прибли жение уравнения импульса. При этом в качестве формул эйлерова этапа будем использовать выражения (12.47), на лангранжевом этапе — формулы для АМ п первого порядка точности с учетом направления потока, на заключи тельном — разностный аналог законов сохранения. Опуская промежуточные выкладки, получим
й Ш + дЛ Е + ^ 1 = (Л + 2 ) + р | и 1 ^ + рм2-£ --§ ■ и | Дх2-
- 1 р | Д х 2- 2 , и ( А + 2 ) | д г } | ^ + 0(Дг2, Дх2). (12.48)
Отсюда видно, что диффузионный коэффициент (выражение при д2и/дх2) мо жет в значительной степени зависеть от аппроксимационной вязкости. По этому в реальных расчетах эффективное число Рейнольдса зависит от молеку лярной н аппроксимационной вязкостей:
Re3lM, = Re(ReM0.„ Rean). |
(12.49) |
Величина схемной вязкости зависит, как известно, от параметров потока в данной точке течения. На рис. 12.3 приведена картина (схема) обтекания
334 РАЗВИТИЕ МЕТОДА КРУПНЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. XII
В обзоре методов для решения уравнений Навье — Стокса [414] при об суждении проблемы больших чисел Re А. А. Дородницын отмечает, что «при ближение к реальному решению может быть достигнуто, когда Re*/i<e<$l, иначе математическая вязкость превысит реальную и мы не сможем узнать, чему отвечает полученное численное решение».
4. В качестве примера приведем результаты расчета вязких течений по описанной выше методике [205, 214, 352] (см. гл. VII).
Был осуществлен следующий численный эксперимент. В невозмущенный
плоскопараллельный |
сверхзвуковой поток (Л4в= 2,0) в |
первоначальный |
мо |
||||||||
Re |
|
|
|
мент |
времени |
помещалось тело. |
|||||
|
|
|
Расчет вначале проводился |
по |
|||||||
|
|
|
|
||||||||
500 |
|
|
|
разностной |
схеме |
метода круп |
|||||
|
|
|
|
ных частиц |
без учета |
молеку |
|||||
|
|
|
|
лярной вязкости (т. е. при р = 0 ) |
|||||||
|
|
|
|
о т/= 0 до установления. Посколь |
|||||||
m V |
|
|
|
ку сквозной счет осуществлялся |
|||||||
|
|
|
с аппроксимационной вязкостью, |
||||||||
|
|
|
|
то структуры потока внутри об |
|||||||
|
|
|
|
ластей разрыва (например, удар |
|||||||
|
|
|
|
ных волн) |
не |
соответствовали |
|||||
т |
|
|
|
реальному течению. |
Однако |
на |
|||||
|
-------f=0,1% |
границах этих зон (2—3 счетных |
|||||||||
|
|
ячейки) асимптотика течения (ус |
|||||||||
|
|
------- 0*7% |
ловия |
Гюгонио |
для |
ударных |
|||||
|
|
............0=5% |
волн) |
выполнялась |
с |
хорошей |
|||||
|
|
------- #=fO% |
точностью. |
После |
достижения |
||||||
200 |
|
|
|
установления управляющий |
мо |
||||||
|
|
|
|
дуль |
программы временно пре |
||||||
|
|
|
|
кращал счет старого |
(«невязко |
||||||
|
|
|
|
го») эйлерова этапа |
и |
осущест |
|||||
700 \ |
|
|
|
влял |
поиск |
нового |
(«вязкого») |
||||
|
|
|
Модуля эйлерова этапа |
(соответ |
|||||||
|
|
|
|
ствующего |
решению |
уравнений |
|||||
|
|
|
|
Навье — Стокса), |
комплексиро- |
||||||
а) |
___ |
|
вал модифицированную програм |
||||||||
. т - --------у---- |
му и возобновлял |
счет до |
но |
||||||||
IV*-— V • |
. -Т1- гг.-г |
вого установления. Полученное |
|||||||||
|
0,0777 |
Оу0554 |
0,0700 |
||||||||
|
решение соответствует |
уже |
те |
||||||||
|
|
дона А |
|||||||||
Рис. 12.4. Зависимость допустимых значений чисел |
чению вязкого |
теплопроводного |
|||||||||
газа. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Рейнольдса от разностной сетки при численном ре |
|
|
|
|
|
|
об |
||||
шении уравнений Навье — Стокса с заданной точ |
Следует ожидать, что в |
||||||||||
а) |
Зона |
ностью. |
ластях невязкого течения пара |
||||||||
А — слабовозмущенный поток. |
метры газа останутся теми же. |
||||||||||
|
|
|
|
На ударных волнах и других |
|||||||
|
|
|
|
поверхностях |
разрыва |
профили |
гидродинамических параметров изменятся и будут соответствовать течению газа, обладающего молекулярной вязкостью и теплопроводностью с опреде ленным числом Re. Проведенные расчеты показали, что полученное решение в основном ведет себя указанным образом [214].
Некоторые результаты данного численного эксперимента приведены на рис. 7.41, а, б, где показаны профили плотности р и числа Маха (М) вдоль оси симметрии AO(j—1) (рис. 12.3). Сплошные линии соответствуют течению без молекулярной вязкости, пунктирные — с ее учетом. Параметры вязкого газа были таковы: М „= 2 ,0; р=0,01; А = —0,67; £=2,15. В данном случае расчеты проводились при неизменном во всем поле течения коэффициенте молекуляр-
|
я л д ЧАСТИЦ КРУПНЫХ МЕТОД |
Рис. 12.4. Зависимость допустимых значений чисел Рейнольдса от разностной сетки при численном |
СТОКСА—НАВЬЕ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЯ |
решении уравнений |
|
Навье — Стокса с заданной точностью. |
|
б) Зона В — ударный слой. |
go |
в) Зона С — срывная область возвратно-циркуляционного течения. |
336 |
РАЗВИТИЕ МЕТОДА КРУПНЫХ ЧАСТИЦ |
[ГЛ. XII |
ной вязкости. Однако введение в описанную разностную схему |
надлежащего |
|
закона изменения |
р, не представляет особых затруднений. |
|
По приведенной разностной схеме можно проводить счет от произвольных начальных данных (как при решении уравнений Эйлера), в том числе и от первоначально невозмущенного плоскопараллельного потока. Однако при этом время счета будет значительно больше, чем в случае использования не вязкого модуля эйлерова этапа, так как введение навье-стоксовских членов накладывает более жесткие ограничения на условие устойчивости используе
мой явной разностной схемы.
Разностные схемы такого типа предпочтительны при решении нестацио нарных аэродинамических задач при наличии разнохарактерных областей взаимодействия (течения со вдувом, струйные задачи, турбулентные движе
ния и |
др.). |
|
§ 6. Развитие трехмерных возмущений |
|
при рэлей-тейлоровой неустойчивости |
1. |
В настоящее время практика выдвигает ряд задач, требующих иссле |
дования различного вида гидродинамических неустойчивостей [320, 329 и др.]. Особый интерес представляет при этом не только начальная линейная фаза развития возмущений, но и развитая неустойчивость.
Исследование рэлей-тейлоровой неустойчивости (РТН) является весьма актуальной задачей. Помимо несомненного теоретического интереса, она имеет большое значение для ряда важных практических проблем, например, при изу чении устойчивости сжатия оболочек в задачах лазерного термоядерного син теза, при получении сверхсильных магнитных полей и др.
Большой вклад в развитие обсуждаемой проблемы внесли работы Э. Фер ми [321—323]. В них рассматривается развитие тейлоровской неустойчивости на границе «жидкость — вакуум» в линейном [321] и нелинейном [322] слу чаях, а также на границе двух жидкостей [323]. При этом в нелинейных слу чаях приводятся постановки, геометрически близкие к численным. В част ности, плавная поверхность раздела аппроксимируется кусочно-линейной ступенчатой функцией.
В развитии РТН прослеживаются следующие ярко выраженные стадии: линейная, промежуточная, регулярная асимптотическая и турбулентная [421, 422]. Линейная стадия характеризуется малостью амплитуды а, по сравнению с длиной волны возмущения L, и экспоненциальной скоростью роста. Когда величина амплитуды возмущения а достигает 0,4L, процесс вступает в стадию, промежуточную между линейной и регулярной асимптотической. На регулярной асимптотической стадии, наступающей при a«0,75L, окончательно форми руются пики тяжелой жидкости, проваливающиеся с постоянным ускорением, и пузыри легкой жидкости, всплывающие с постоянной скоростью. Эта стадия РТН является^ неустойчивой [421, 422] и сменяется турбулентной стадией, в ходе которой происходит интенсивное взаимодействие возмущений различ ных длин волн и перемешивание жидкости.
РТН наиболее исследована для случая плоской поверхности раздела и стремящегося к бесконечности отношения плотностей тяжелой и легкой жид костей. Линейная стадия подробно изучена в классических работах Рэлея, Тейлора и Льюиса [423—425], регулярная асимптотическая — в [426—428], в [429] развита феноменологическая теория турбулентной стадии, а в [422] высказаны некоторые соображения о механизме ее образования.
Однако аналитического математического аппарата для анализа в целом столь сложного явления, как РТН, недостаточно, экспериментальные же ис следования весьма трудоемки. Наиболее полная информация может быть по лучена из численных расчетов. Так, случай свободной поверхности изучался
§6] |
ТРЕХМЕРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ПРИ РЭЛЕЙ-ТЕЙЛОРОВОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ 337 |
В И |
’ сДучайдвУх несжимаемых ж идкостей -в [431], двух сжимаемых с р е д - |
в L432J. Отметим также [433], где проводится численный расчет РТН сжимае |
|
мой |
оболочки. |
До сих пор во всех как аналитических, так и вычислительных работах исследовался только двумерный случай. Однако двумерная модель неадек ватна, вообще говоря, физике явления: в физическом эксперименте двумерные
структуры разрушаются из-за поперечной коротковолновой неустойчивости и превращаются в трехмерные.
Численные методы, примененные в [430, 431], в принципе могут быть рас пространены и на трехмерный случай. Однако это ведет к столь значительному увеличению времени счета и возрастанию объема необходимой машинной па мяти, что подобные расчеты на современных ЭВМ не реальны.
2. Алгоритм метода крупных частиц для расчета пространственно-трех мерных нестационарных течений весьма экономичен и позволяет рассматри вать обсуждаемую задачу [213].
Развитие двумерной РТН вплоть до больших амплитуд, когда процесс носит существенно нелинейный характер, впервые изучалось данным методом Ю. М. Давыдовым в [432]. В этой работе показано, что проведенные численные расчеты дают скорость развития неустойчивости на несколько десятков про центов (в зависимости от варианта) меньшую по сравнению с аналитическими оценками [322]. Согласно многочисленным исследованиям тяжелая жидкость должна проникать в легкую с постоянным ускорением. Экспериментальные данные Д. Льюиса [325] подтверждают это положение.
Методом крупных частиц здесь решается полная пространственно-трех
мерная |
нестационарная вихревых уравнений Эйлера с учетом гравитацион |
||
ного поля |
dp/d/ + div (р ^ ) = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
dpu/dt + div (рм W') + др/дх = 0, |
|
|
dpv/dt + div (pa W ) + др/ду + pg= 0, |
(12.60) |
|
|
|
dpw/dt + div (рш W ) + dpjdz = 0, |
|
|
dpEldt + div (pE W) + div (p W) + pgv = 0e |
|
|
где W = {u , a, w} — вектор |
скорости, p — плотность среды, E = 3 + W 2/2 — |
||
удельная |
полная энергия, |
3 — удельная внутренняя энергия, |
р — давле |
ние; ускорение свободного падения g направлено по оси у .
Программно данный численный эксперимент был выполнен в рамках па кета прикладных программ КРУЧА (крупные частицы) [455], в который бы ли добавлены модули, отражающие специфику задачи (гравитацию, начальные данные). Отметим, что хотя в качестве уравнения замыкания системы (12.60) используется уравнение состояния идеального газа 3=р11(к—1)р] (х — по казатель адиабаты), сжимаемость мало влияет на характер процесса (значение числа Маха в расчетной области нигде не превышает 0,3).
Расчет производится сквозным образом без выделения контактной по верхности раздела тяжелой и легкой жидкостей. Двумерные расчеты показали, что, несмотря на размазывание контактной поверхности раздела (7 8 ячеек в районе пика и 4—5 ячеек в районе пузыря), ее с достаточной точностью можно отождествлять с поверхностью, на которой р=0,5 (pi+Рг)! где Рг плотность тяжелой жидкости, pi — легкой (близкие результаты дает определение этой поверхности разрыва другими эвристическими способами: по шах grad р и т. д.).
Для сравнения с данными других авторов по трехмерной программе были рассчитаны двумерные тестовые задачи. Начальные данные и параметры тестов были идентичны используемым в [431], за исключением того, что рассматри валась среда с уравнением состояния идеального газа. Из-за малости числа
§ 6] |
ТРЕХМЕРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ПРИ РЭЛЕЙ-ТЕЙЛОРОВОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ 3 3 9 |
|
Заметим, что при задании начального возмущения в расчетах со сжимае |
мыми средами важно везде соблюдать условие div W ^O (за исключением по верхности раздела). Иначе возникнут возмущения плотности, которые могут исказить картину развития РТН.
Двумерные расчеты РТН методом крупных частиц показало хорошее сов падение с [431]. На рис. 12.5 приведены формы контактной поверхности при
Рис. 12.6. Динамика формы поверхности раздела при трехмерной рэлейтейлоровой неустойчивости в перспективной проекции.
ра/р1 = 10 в различные моменты времени: 0,25; 0,49; 0,73; 0,97; 1,21; сплошные линии соответствуют расчетам методом крупных частиц, штриховые ре зультатам работы [4311. График скорости движения пика также близок к при веденному в [431], среднее ускорение пика, как и в [431], составило примерно
340 |
РАЗВИТИЕ МЕТОДА КРУПНЫХ |
ЧАСТИЦ |
[ГЛ. XII |
половину ускорения |
силы тяжести. Отношение |
радиуса |
кривизны пузыря |
к длине волны возмущения RI2L составило 0,40, что ближе к значению 0,39, приведенному в [430], и теоретическому значению 0,35 [426], чем 0,48 в [431].
Скорость подъема пузыря оказалась несколько большей, чем в [431]. |
Нами |
||||||||
получено значение ив ^ |
.2r i Pi gR^j |
1/2 = 0,44, в [431] — соответственно |
[0,32, |
||||||
теоретическое значение для этой величины |
^ 0 ,5 |
[427]. |
|
|
|
||||
Заметим, что, несмотря на размазывание контактной поверхности, метод |
|||||||||
крупных частиц позволяет также проследить развитие неустойчивости |
Кель |
||||||||
|
|
|
|
вина — Гельмгольца при малых значениях |
|||||
х= 0 (г=д) |
|
|
pa/pi. На рис. 12.5 приведены формы кон |
||||||
|
|
|
|
тактной |
поверхности |
при pa/pi= 2 |
в мо |
||
|
|
|
|
менты времени 0,45; 0,89; 1,34; 1,79. |
|||||
|
|
|
|
Перейдем к рассмотрению результатов |
|||||
|
|
|
|
численного моделирования трехмерной РТН |
|||||
|
|
|
|
методом крупных частиц. Размеры расчет |
|||||
|
|
|
|
ной области составляли 20, 60 и 20 ячеек |
|||||
|
|
|
|
по осям ху у и z соответственно. При этом |
|||||
|
|
|
|
сеточные параметры Ax—Ay—Az. В трех |
|||||
|
|
|
|
мерном |
случае |
возмущения |
поверхности |
||
a) |
|
|
|
раздела |
могут образовывать либо гексаго |
||||
Рис. |
12.7. Трехмерная рэлей-тейло- |
нальную, либо квадратную решетки [434]. |
|||||||
ровая |
неустойчивость. Сечения |
трех |
В данной работе был выбран последний |
||||||
мерной контактной поверхности |
раз |
случай |
(не представляет затруднений про |
||||||
личными плоскостями в момент t= 1,5. |
моделировать |
гексагональную |
решетку). |
||||||
Для его реализации начальное возмущение задавалось |
в виде |
|
|
||||||
|
ы = Л sin |
cos ?j- [2Н {у)— 1] exp |
|
, |
|
|
|||
|
и= Л cos |
cos |
exp ( “ M |
i l ) t |
|
|
|
|
w = A c o s ^ - s m ~ - [ 2 H ( y )~ 1]ехр ( ~ 2" ' у1- ) .
В остальном все начальные, граничные условия и парагоны задачи были такими же, как и в двумерном случае.
На рис. 12.6, а — г приведены поверхности раздела ь перспективной проекции, построенные в последовательные моменты времени ^=0,6; 0,9; 1,2; 1,5 соответственно. Отчетливо видно всплывание широких пузырей и проваливание достаточно узких пиков.
Заметим, что высоты (размеры по оси у) пузыря и пика на рис. 12.6 в дейст
вительности не одинаковы. Это объясняется тем, |
что точка |
поверхности раз |
|
дела с координатами x= z= L /2, у= 0, |
в которой первоначально u = v = w — 0y |
||
движется вниз с ускорением, равным |
примерно |
половине |
ускорения пика. |
Более четкое представление о характере процесса дает рис. 12.7, на котором изображены сечения контактной поверхности в плоскостях х = 0 (z=0) и JC= Z, х = —г при р=0,5(р1+ра) в момент времени *=1,5.
Отношение радиуса кривизны пузыря к длине волны возмущения R/2L составляет 0,34 в сечениях х= 0 и z=0 и 0,31 в сечении х= г. Теоретическое и экспериментальное значения этой величины, полученные при исследовании подъема воздушных пузырьков в вертикальных трубах, заполненных жидко стью, составляют 0,35 [122]. Безразмерная скорость подъема пузыря uB(2Lg)-li* равнялась 0,31 ±0,02, в то время как согласно данным, приведенным в [122], для цилиндрических труб она составляет 0,32, а для труб прямоуголь ного сечения с отношением сторон прямоугольника 1 : 4 — 0,29. Ускорение пика было примерно на 20% больше, чем в двумерном случае, в то время как сам пик был несколько шире.