книги / Математическое моделирование в естественных науках

этих целей широко используется термомеханическая обработка. Под воздействием нагрузок и изменения температуры в стальных деталях происходят фазовые превращения, которые определяют изменения свойств деталей. Мартенситный переход является одним из наиболее сложных фазовых переходов. Мартенсит – это структура, которая обладает высокой твердостью, возникающей во многих быстро охлажденных сталях. Превращение в мартенсит происходит лишь в тех случаях, когда сплав охлаждается со скоростью [1], не ниже некоторой критической, зависящей от химического состава стали, ~ % С. Мартенситный переход – это твердотельный фазовый переход, при котором ГЦК-решетка исходной аустенитной фазы превращается в ОЦТрешетку мартенсита. При этом превращение происходит со скоростями, близкими к скорости звука, атомы перемещаются не за счет диффузии, поэтому переход называют бездиффузионным.

Описание напряженно-деформированного состояния материала, в котором произошел мартенситный переход, – сложная задача, поскольку превращение сопровождается физикомеханическими процессами на различных масштабных уровнях: происходит перестройка решетки кристалла, появившиеся пластинки мартенсита искажают материал окружающей исходной фазы аустенита, что приводит к возникновению остаточных напряжений и изменению упругих свойств материала в целом.

Мартенситные превращения рассматриваются на уровне представительного мезообъема (на уровне кристаллита).

В качестве определяющего соотношения на мезоуровне принимается закон Гука в скоростной релаксационной постановке (анизотропный):

σcr ≡ σ− ω σ+ σ ω = п: (ζ − ζin ),

ζin = ζp + ζtr + ζth ,

ζ = ˆ υˆ r .

531

В качестве мер скоростей изменения напряженного состояния используются коротационные производные. По физическому смыслу коротационные производные определяют скорости изменения величин, которые фиксируются наблюдателем в жесткой подвижной системе координат.

Здесь σ – тензор напряжения Коши, ω – тензор спина решетки, который описывает движение подвижной кристаллографической системы координат (КСК) относительно ЛСК (на дан-

ном этапе не учитывается), ζp – пластическая составляющая тензора неупругой деформации, ζtr – неупругая составляющая деформации скорости, связанная с мартенситным переходом, ζth – термическая составляющая деформации скорости, п – тен-

зор упругих свойств кристаллита; все эти величины (обозначаются малыми буквами) относятся к мезоуровню.

Тензор трансформационной деформации скорости, термическая составляющая и пластическая составляющая могут быть записаны в виде:

ζtr = ξМ (β) (s(β)m(β) ),

β=1

ζth = αθI,24

n

ζp = ξA b(k )n(k ) γ(k ) , k =1

где ξM (β) – доля мартенситной фазы, образовавшейся по β-й

трансформационной системе, m-s – аффинное преобразование и в отличие от сдвигов s не ортогонально m, α – тензор термиче-

ского расширения, γ(k ) – скорость сдвига по k-й системе скольжения i-й фазы, n(k ) – единичный вектор нормали к плоскости

скольжения; b(k ) – единичный вектор по направлению вектора Бюргерса, который характеризует направление скольжения.

Для определения доли мартенситной фазы, появляющейся на каждой трансформационной системе, необходимо вычислить

532

величину движущей силы, которая представляется в виде суммы составляющих, соответствующих различным механизмам [2]:

где fm(β) , fth(β) – механическая и термическая составляющие движущей силы, hA – удельная теплота фазового перехода фазы

аустенита, h(β) – удельная теплота фазового перехода фазы мартенсита, θT – температура мартенситного перехода при отсутст-

вии упругих деформаций, θ – температура, λT(β) – скрытая теп-

лота мартенситного перехода.

Тогда скорость изменения доли мартенсита на трансформационной системе [3]

где fcr(β) – критическое значение движущей силы на трансформационной системе, v – параметр типа вязкости.

В результате работы была разработана программа, вычисляющая ξМ и иллюстрирующая её изменение.

Как видно из графика, количество мартенсита возрастает с понижением температуры от начальной 210 град при заданной скорости изменения температуры 200 град/с.

Вработебыласформулированнаипоставленазадачадлямартенситного перехода под действием нагрузок и изменения температуры на макро- и мезоуровне. Поставлен численный эксперимент на

533

мезоуровне. Построенный график позволяет наглядно изобразить изменение количества мартенсита со временем (рисунок). Данная работа является составной частью двухуровневой модели мартенситныхпереходовпритермомеханическойобработкесталей.

Рис. Изменение доли мартенсита при изменении температуры

Работа выполнена в Пермском национальном исследовательском политехническом университете при поддержке Правительства Российской Федерации (Постановление № 220 от 9 ап-

реля 2010 г.), договор № 14.В25.310006 от 24 июня 2013 г.

Список литературы

1.Исупова И.Л., Трусов П.В. Обзор математических моделей для описания фазовых превращений в сталях// Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2013. – № 3. – С. 157–191.

2.Yadegari S., Turteltaub S., Suiker A. Coupled thermomechanical analysis of transformation-induced plasticity in multiphase steels // Mechanics of Materials. –2012. – 53. – С. 1–14.

3.Tjahjanto D.D., Turteltaub S., Suiker A.S.J. Crystallographically based model for transformation-induced plasticity in multiphase carbon steels // Continuum Mech. Thermodyn. – 2008. –

19.– С. 399–422.

534

ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ МНОГОСЛОЙНОЙ ПОЛОСЫ ПРИ ФОРМИРОВАНИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ЗАГОТОВКИ

Д.В. Струнгарь

Пермский государственный национальный исследовательский университет,

Пермь, Россия, dmitriy.st92@mail.ru

Процессы гибки металлических полос применяются при производстве труб сваркой. При этом получают трубы разного диаметра. В настоящее время с помощью процесса гибки многослойной полосы создаются оболочки сверхпроводниковых изделий.

Ключевые слова: численное моделирование, напряженно-дефор- мированное состояние, многослойная полоса, гибка металла.

Работа посвящена численному моделированию напряжен- но-деформированного состояния полосы при гибке в конечноэлементном пакете ANSYS 14.5 [1, 2].

В работе было произведено исследование напряженнодеформированного состояния многослойной полосы, состоящей из 3 слоев: сталь 40Х; медь; титан ОТ4 при одном из этапов гибки (рисунок).

Рис. Расчетная схема модели слоистой пластины: 1 – сталь; 2 – медь; 3 – титан

535

Исследование произведено с учетом рекомендаций существующих стандартов

Вработе были рассмотрены два вида нагружения: нагружение полосы при входе в технологический инструмент и при стационарном деформировании. Построена численная модель, которая позволяет анализировать напряженно-деформированное состояние полосы на одном из этапов гибки и выявить наиболее нагруженные зоны. Анализ НДС полосы при гибке позволяет подобрать такие параметры деформирования, при которых исключается деформация кромки полосы, что важно для производства качественной сварной цилиндрической заготовки.

Врезультате были получены картины деформирования

ираспределения полей напряжений на многослойной полосе при гибке.

Анализ численных расчетов выявил особенности напря- жено-деформированного состояния и наиболее нагруженные зоны, возникающие в многослойной полосе при гибке с учетом различных условий нагружения [3].

При формировании цилиндрической оболочки во внутреннем

слое возникают напряжения, большие, чем во внешнем. Также проводилось сопоставление распределения полей напряжений по разнымслоямивыявлениемаксимальныхнапряженийидеформаций.

Список литературы

1.Каплун А.Б., Морозов Е.М., Олферьева А.М. ANSYS

вруках инженера: практ. руководство. – М: Изд-во УРСС, 2003. – 272 с.

2.Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. –

М.: Мир, 1970. – 256 с.

3.Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. – М.:

Мир, 1975. – 12 с.

4.Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. – М: Высшая школа 1968. – 512 с.

536

НЕСТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ РОСТА ПЕРВИЧНЫХ ДЕНДРИТОВ

Е.А. Титова1, Д.В. Александров1, П.К. Галенко2

1Уральский федеральный университет,

Екатеринбург, Россия, ekatitova@mail.ru,

2Институт физики материалов в космосе, Германский аэрокосмический центр, Кёльн, Германия

Рассматриваются вопросы, связанные с изменением скорости неизотермического роста вершины параболического дендрита до выхода скорости на стационарное значение. Получены количественная и качественная оценки времени достижения стационарного режима роста дендрита при постоянном значении переохлаждения. Аналитически рассчитанная скорость как функция времени совпадает с численными расчетами.

Ключевые слова: дендритный рост, высокоскоростное затвердевание.

Для анализа роста дендритных кристаллов часто используют модели, основанные на том, что рост дендритов происходит с постоянной скоростью. Поэтому особое значение имеет обоснование использования подобного приближения, особенно для процесса высокоскоростного затвердевания, когда скорость роста дендритов может составлять метры или даже десятки метров в секунду [1]. Для оценки времени нестационарной стадии роста и его сравнения с экспериментальным временем первичного затвердевания в настоящей работе используется обобщенное уравнение Гиббса–Томсона [2]:

где τφ – время релаксации скорости фазового поля; an – ускорение поверхности, t – время, VφB – максимальная скорость

537

распространения возмущений в фазовом поле, νφ – коэффициент диффузии фазового поля, σ – межфазная поверхностная энергия, κ – средняя кривизна в точке поверхности, имеющей нормальную скорость Vn (t), G – движущая сила.

Интегрирование уравнения Гиббса–Томсона, учитывающего зависимость скорости роста от времени, позволяет определить время нестационарного периода роста дендрита. Показано, что с увеличением переохлаждения стационарное значение скорости роста достигается быстрее и время нестационарности уменьшается по экспоненциальному закону. Полученное в расчете время выхода на стационар ~10–7 c согласуется с данными эксперимента по высокоскоростному затвердеванию капель металлических жидкостей, переохлажденных и закристаллизованных в электромагнитных левитаторах.

Список литературы

1.Херлах Д., Галенко П., Холланд-Мориц Д. Метастабильные материалы из переохлажденных расплавов. – М.; Ижевск: Изд-во Ин-та компьютерных исследований, 2010. – 481 с.

2.Salhoumi A., Galenko P.K. Gibbs-Thomson condition for

the rapidly moving interface in a binary system // Physica A. – 2016. – Vol. 447 – P. 161–171.

3. Сборник статей ВИИ Международной научной конфе-

ренции. – М., 2007. – С. 267–272.

538

ПОСТРОЕНИЕ ПОРОУПРУГОЙ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЙ МОДЕЛИ МЕЖПОЗВОНОЧНОГО ДИСКА В ПОЯСНИЧНОМ ОТДЕЛЕ

Д.В. Хорошев, О.Р. Ильялов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, horosh-den@mail.ru

Приведены исследования свойств, состава и питания межпозвоночного диска на основе анализа литературных источников. Построена конечно-элементная модель межпозвоночного диска L4-L5 в поясничном отделе в сагиттальной плоскости. Позвонок L5 зафиксирован, и его перемещения равны нулю. Действия сил со стороны связок и мышц учитываются при помощи внутридискового давления. Последнее представлено распределенной нагрузкой, которая составляет P1=16 кН/м и действует на границе пульпозного ядра. На верхнюю часть позвонка L4 действует распределенная нагрузка P2=166,5 кН/м, что соответствует нагрузке в 500 кг. Приведена постановка задачи на основе пороупругой модели теории Био. Представлен анализ результатов расчета напряжен- но-деформированного состояния с использованием программного пакета Ansys. Целью данной работы являлось построение максимально приближенной к реальной модели межпозвоночного диска.

Ключевые слова: межпозвоночный диск, пороупругая модель, поясничный отдел.

Боль в спине – самый распространенный болевой синдром, не зависящий от возраста человека, который может возникнуть только однажды и исчезнуть без следа, а может возвращаться снова и снова. По статистике более половины населения периодически испытывают боли в спине и около 80 % из них приходятся на поясничный отдел [1]. Как показывает практика врачей, почти в половине случаев боль в поясничном отделе связана с грыжей межпозвоночного диска L4–L5.

В работе рассматривается построение пороупругой конеч- но-элементной модели межпозвоночного диска в поясничном отделе в сагиттальной плоскости. Материал считается изотропным. Задача решается как пороупругая задача [2] теории Био. Физические характеристики модели взяты из литературного ис-

точника [3, с. 1983].

539

Произведен анализ модели на актуальность по литературным источникам за 2010–2014 гг.

Рассматривается напряженно-деформированное состояние межпозвоночного диска L4-L5. Предполагается, что верхняя поверхность замыкательной пластинки на позвонке L5 лежит горизонтально. Угол наклона всего сегмента относительно горизонтали не учитывается. Влияние связок на межпозвоночный диск учитывается с помощью внутридискового давления. Оно представлено распределенной нагрузкой, которая составляет P1=16 кН/м [4, с. 33] и действует на границе пульпозного ядра. Позвонок L5 зафиксирован, и его перемещения равны нулю. На верхнюю часть позвонка L4 действует распределенная нагрузка P2=166,5 кН/м, что соответствует нагрузке в 500 кг (рис. 1).

Рис. 1. Расчетная схема

Приведено решение поставленной задачи с использованием программного пакета Ansys. Получены распределения перемещений, напряжений и деформаций.

На рис. 2 представлено сравнение полученных результатов с известными экспериментальными данными [5]. В [5] указаны 6 различных экспериментов, в которых позвонково-двигательный сегмент подвергали только осевому сжатию. Позвонок L5 фикси-

540