книги / Математическое моделирование в естественных науках

по свойствам элементов мезоуровня с применением той или иной процедуры осреднения последних. Впрямых моделях физические модели пластичности используются в качестве конститутивных для каждого из зерен (субзерен, фрагментов), входящих в исследуемый объем материала, для реализации прямых моделей в подавляющем большинстве работ применяется метод конечных элементов; можно отметить сложность учета зернограничного скольжения в рамках прямых моделей. Применение самосогласованных и тем более прямых моделей связано с чрезвычайно большими вычислительными затратами, поэтому для моделирования реальных технологических процессов термомеханической обработки материалов вближайшее время наиболее перспективными представляютсястатистические модели.

На сегодняшний день можно отметить существенный прогресс в области построения многоуровневых моделей, основанных на физических теориях упруговязкопластичности, однако имеется ряд нерешенных вопросов. Наиболее важными из них представляются: корректная формулировка кинематических и определяющих соотношений на различных масштабных уровнях в случае больших градиентов перемещений (в частности, выбор коротационной производной в определяющих соотношениях), определение связи однотипных характеристик различных масштабных уровней, атакже физически обоснованное описание всех ключевых механизмов деформирования. С целью развития аппарата многоуровневых конститутивных моделей материалов предлагаются вариантырешения указанных вопросов.

При моделировании большинства технологических процессов термомеханической обработки металлов и сплавов гипотеза о малости градиентов перемещений является неприемлемой – экспериментально наблюдаются большие градиенты перемещений. Обобщение геометрически линейных определяющих соотношений, сформулированных в терминах актуальной конфигурации, на случай больших градиентов перемещений в большинстве случаев осуществляется путем замены материальной производ-

451

ной по времени тензора напряжений на независящую от выбора системы отсчета производную тензора напряжений [8–10]. Последняя характеризует скорость изменения напряжений относительно соответствующим образом введенной подвижной системы координат, т.е. геометрически линейное определяющее соотношение полагается справедливым для наблюдателя, связанного с этой системой координат. Такое представление подразумевает разложение движения на квазитвердое движение подвижной системы координат и (собственно деформационное) движение относительно нее [8, 11]. Отметим, что в большинстве существующих моделей вкачестве скорости деформации после обобщения используется упругая составляющая тензора деформации скорости (как и в геометрически линейном соотношении, т.е. скорость деформации при таком обобщении определяется не с позиций подвижного наблюдателя– в отличиеот скоростиизменениянапряжений).

Предложен новый способ разложения движения – мультипликативное представление градиента деформации с явным выделением движения подвижной системы координат [12]. Движение деформируемой среды представляется последовательностью пластических деформаций (сохраняющих положение подвижной системы координат), поворота подвижной системы координат вместе с материалом и упругого искажения решетки относительно подвижной системы координат.

Подвижная система координат должна быть связана с осями материальной симметрии [11, 12] для корректного учета его симметрийных свойств. Необходимо заметить, что при интенсивном пластическом деформировании симметрийные свойства поликристаллических материалов на макроуровне могут меняться (например, материал, демонстрирующий в недеформированном состоянии изотропные свойства на макроуровне, вследствие возникновения текстуры становится анизотропным). Однако при использовании многоуровневого подхода на уровне кристаллитов для металлов возможно выделение симметрийных элементов, с которыми связывается движение подвижной сис-

452

темы координат, определяющей квазитвердое движение (кристаллографическое направление и кристаллографическая плоскость [11]). Отметим, что подвижные системы координат, определяющие известные коротационные производные Зарембы– Яуманна, Грина–Нагхди [8], логарифмическую [13, 14], не связаны с симметрийными свойствами материала. При этом аргументом применения логарифмической производной является выполнение при ее использовании (в определяющих соотношениях в актуальной конфигурации для изотропных материалов) требований отсутствия гистерезиса напряжений и диссипации энергии при чисто упругом деформировании по любым замкнутым траекториям деформации [13, 14].

Сформулированы конститутивные упруговязкопластические соотношения мезоуровня в конечной и скоростной формах [12], эквивалентные друг другу [15], и связывающие меры напряженного и деформированного состояния (и скорости их изменения), определенные в терминах разгруженной конфигурации (получаемой из актуальной действием аффинора, обратного к тензору упругих искажений). Тензоры свойств (в том числе анизотропных упругих) полагаются постоянными во введенной подвижной системе координат, при этом для наблюдателя в фиксированной лабораторной системе координат они изменяются как индифферентные, что позволяет выполнить принцип независимости определяющего соотношения от выбора системы отсчета [8]. Поскольку определяющее соотношение представимо в конечной форме, то отсутствует гистерезис напряжений на замкнутых упругих циклах, а вследствие использования энергетически сопряженных мер напряженного и деформированного состояний отсутствует диссипации энергии при упругом деформировании. Это подтверждают результаты численного моделирования сложного циклического упругого нагружения образцов ГЦК-, ОЦК- и ГПУ-кристаллитов. Можно отметить, что предложенные кинематические и определяющие соотношения применимы и при построении прямых многоуровневых моделей.

453

Было показано [16], что при малых упругих искажениях, характерных для металлов, предложенные определяющие соотношения [12] близки к соотношениям в скоростной релаксационной форме в терминах актуальной конфигурации [17]. Определяющие соотношения макроуровня формулируются с использованием условий согласования [17], согласно которым напряжения, тензор эффективных упругих свойств и спин подвижной системы координат на макроуровне определяются осреднением соответствующих характеристик мезоуровня, неупругая составляющая меры скорости деформации на макроуровне определяется из условия совпадения определяющего соотношения макроуровня с осредненными определяющими соотношениями мезоуровня.

В рамках созданной структуры (многоуровневых моделей материалов) предложены конститутивные модели неупругого деформирования поликристаллических металлов и сплавов, учитывающие ключевые механизмы: внутризеренное дислокационное скольжение, развороты кристаллических решеток зерен за счет несовместности движения дислокаций в соседних зернах [17], дробление и фрагментация кристаллитов. Предложена трехуровневая модель, включающая описание механизма зернограничного скольжения [18, 19], позволяющая описывать деформирование и в режиме сверхпластичности [20], а за счет описания эволюции зеренной структуры – переходы к этому режиму деформирования, т.е. модель может быть применена для описания поведения материала в технологических процессах, при которых в разных частях изделия реализуются различные режимы деформирования.

Проведены численные эксперименты для различных видов нагружения представительных объемов различных металлов. Полученные результаты, в том числе характеристики изменяющейся внутренней структуры, соответствуют экспериментальным данным (например, зависимости компонент тензора напряжений Коши от параметров кинематического нагружения и полюсные

454

фигуры для процессов одноосного сжатия и растяжения, простого сдвига хорошо согласуются с опытными данными из [21, 22]) и описывают особенности рассматриваемых режимов деформирования. Путем проведения серий вычислительных экспериментов была проанализирована чувствительность разработанных многоуровневых моделей к возмущениям воздействий, а также к возмущениям параметров модели. Полученные результаты показывают устойчивость модели к рассмотренным возмущениям.

Были созданы алгоритмы решения краевых задач, основанные на интегрировании разработанных двух- и трехуровневых моделей в процедуру метода конечных элементов [23], создан комплекс вычислительных программ, позволяющий исследовать процессы обработки материалов с анализом изменения структуры материала и его эффективных физико-механических свойств. Проведено исследование некоторых процессов (осадка, стесненная осадка, прессование) для различных материалов, выполнена оценка эффективности режимов термомеханической обработки на основе рассмотрения получаемых физико-механических эксплуатационных свойств, зависящих от определяемого в модели состояния внутренней структуры, в различных частях изделия.

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ (базовая часть государственного задания ПНИПУ, № гос. регистр. 01201460535), Российского фонда фундаментальных исследований (грант 15-08-06866-а).

Список литературы

1.McDowell D.L. Internal state variable theory // Handbook of Materials Modeling. – S. Yip (ed.). Springer. – 2005. – Р. 1151–1169.

2.Трусов П.В., Швейкин А.И. Теория пластичности. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2011. – 411 с.

3.Maugin G.A. The saga of internal variables of state in continuum thermo-mechanics (1893–2013) // Mechanics Research Communications. – 2015. – URL: http: //dx.doi.org/10.1016/ j.mechrescom.2015.06.00.

455

4.McDowell D.L. A perspective on trends in multiscale plasticity // Int. J. Plasticity. – 2010. – Vol. 26. – Р. 1280–1309. DOI: 10.1016/ j.ijplas.2010. 02.008.

5.Overview of constitutive laws, kinematics, homogenization and multiscale methods in crystal plasticity finite-element modeling: Theory, experiments, applications / F. Roters, P. Eisenlohr, L. Hantcherli, D.D. Tjahjanto, T.R. Bieler, D. Raabe // Acta Materialia. – 2010. – Vol. 58. – Р. 1152–1211.

6.Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физиические модели моно- и поликристаллов. Статистические модели // Физическая мезомеханика. – 2011. – Т. 14, № 4. – С. 17–28.

7.Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Прямые модели // Физическая мезомеханика. – 2011. – Т. 14, № 5. – С. 5–30.

8.Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие

упругопластические деформации: теория, алгоритмы, прило-

жения. – М.: Наука, 1986. – 232 с.

9. Левитас В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении. – Киев: Наукова думка, 1987. – 232 с.

10.Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. – Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. – 262 с.

11.Трусов П.В., Швейкин А.И., Янц А.Ю. О разложении движения, независимых от выбора системы отсчета производных

иопределяющих соотношениях при больших градиентах перемещений: взгляд с позиций многоуровневого моделирования // Физическая мезомеханика. – 2016. – Т. 19, № 2. – С. 47–65.

12.Трусов П.В., Швейкин А.И. О разложении движения и определяющих соотношениях в геометрически нелинейной упруговязкопластичности кристаллитов // Физическая мезомеха-

ника. – 2016. – Т. 19, № 3. – С. 25–38.

13.Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. Logarithmic strain, logarithmic spin and logarithmic rate // ActaMechanica. – 1997. – Vol. 124. – Р. 89–105.

456

14.Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. The integrability criterion in finite elastoplasticity and its constitutive implications // Acta Mechanica. – 2007. – Vol. 188. – Р. 227–244.

15.Трусов П.В., Кондратьев Н.С., Швейкин А.И. О геометрически нелинейных определяющих соотношениях упругого материала // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2015. – № 3. –

С. 182–200.

16.Швейкин А.И., Трусов П.В. Сопоставление сформулированных в терминах актуальной и разгруженной конфигураций геометрически нелинейных упруговязкопластических определяющих соотношений для кристаллитов // Физическая мезомеханика. – 2016. – (в печати).

17.Многоуровневые модели неупругого деформирования материалов и их применение для описания эволюции внутренней структуры / П.В. Трусов, А.И. Швейкин, Е.С. Нечаева, П.С. Волегов // Физическая мезомеханика. – 2012. – Т. 15,

№1. – С. 33–56.

18.Model of polycrystalline inelastic deformation with grain boundary sliding description / P.V. Trusov, A.I. Shveykin, E.R. Sharifullina, N.S. Kondratev // Advanced Materials Research. – 2014. – Vol. 1040. – Р. 86–91.

19.Trusov P., Sharifullina E., Shveykin A. Three-level modeling of fcc polycrystalline inelastic deformation: grain boundary sliding description // IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering. – 2015. – Vol. 71. – P. 012081. DOI: 10.1088/1757899X/71/1/012081.

20.Васин Р.А., Еникеев Ф.У. Введение в механику сверхпластичности: в 2 ч. – Уфа: Гилем, 1998. – Ч. 1. – 280 с.

21.Bronkhorst C.A., Kalidindi S.R., Anand L. Polycrystalline plasticity and the evolution of crystallographic texture in FCC metals // Philosophical Transactions of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. – 1992. – Vol. 341,

№1662. – С. 443–477.

457

22.Anand L. Single-crystal elasto-viscoplasticity: application to texture evolution in polycrystalline metals at large strains // Computer methods in applied mechanics and engineering. – 2004. – Vol. 193. – Р. 5359–5383.

23.Швейкин А.И., Трусов П.В. Решение краевых задач с применением многоуровневых конститутивных моделей поликристаллических металлов // Вестник Тамбов. ун-та. Сер. Естественные

итехническиенауки. – 2013. – Т. 18, вып. 4. – С. 1905–1906.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЯЕМОГО ВЕКТОРА ТЯГИ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА ВЕРТИКАЛЬНОГО ВЗЛЕТА И ПОСАДКИ

И.А. Шестаков

Институт механики УрО РАН, Ижевск, Россия, dvigateligor@gmail.com

Создание пилотируемого летательного аппарата вертикального взлета и посадки является важной задачей на фоне проблем наземного транспорта. Для решения этой задачи потребуются математические модели работы системы управления летательным аппаратом. Математическая модель работы системы управления включает в себя определение реакций при создании управляемого вектора тяги, уравновешивание реактивного крутящего момента.

Ключевые слова: летательный аппарат вертикального взлета и посадки, аэродинамическое кольцо, воздушный винт, управляемый вектор тяги.

Рациональность данной конструктивной схемы доказана статическими испытаниями по определению тяги и зависанию на растяжках (управление в ручном режиме). Статические испытания показали избыточную тягу 65 Н и возможность зависания в воздухе на растяжках при помощи только ручного управления без наличия в системе управления гироскопов для стабилизации по крену и тангажу.

Математические модели включают:

1) зависимость реактивного момента от оборотов несущего винта, зависимостьтяги рулевыхвинтовотреактивногомомента;

458

Данная работа направлена на создание многофакторной математической модели описания поведения нелинейного вязкоупругого материала на основе комплексных параметров в условиях действия стационарных одночастотных и двухчастотных нагрузок:

Представленная модель базируется на основе общей формы записи физически нелинейных операторов вязкоупругой среды в виде интегрального ряда Вольтера–Фреше [1–3]:

Помимо этого в рамках работы были представлены методики проведения экспериментальных исследований и определения вязкоупругих параметров материала при одно- и двухчастотных нагрузках [4, 5], проведены эксперименты, выявлены зависимости вязкоупругих параметров от различных условий

460