книги / Математическое моделирование в естественных науках

синтетического костного мозга (сценарий 1 – функциональное расстройство костного мозга составляет 10 %, сценарий 2 – 25 %, сценарий 3 – 30 %). Каждый сценарий предполагает упразднение балансом системы путем определения начального уровня вирусов. Сложность и нелинейность уравнений модели делают ее трудной для получения аналитического решения. Для численного решения полученной системы была реализована разностная схема Рунге–Кутта 4-го порядка с постоянным шагом.

В первом сценарии моделируются вирусное заражение и успешная борьба организма с помощью врожденных иммунных механизмов. Второй сценарий описывает не только активацию врожденного, но и приобретенного иммунитета. В третьем сценарии значительное снижение функции костного мозга приводит к непрерывному увеличению количества вируса в организме.

Таким образом, представленная прогнозирующая математическая модель функционирования регуляторных систем при вирусной инвазии качественно отражает происходящие процессы. Рассмотренная модель дает неполное описание сложного многокомпонентного процесса взаимодействия регуляторных систем при вирусной инвазии в условиях нарушения синтетической функции костного мозга. Тем не менее она может качественно показать механику многокомпонентного взаимодействия регуляторных систем при воспалительных реакциях вирусного происхождения. Исходя из этого, планируется расширение компонентного состава модели с возможным переходом к анализу инфекционной заболеваемости населения.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках проекта № 16-31-00333 мол_a.

Список литературы

1. Методические подходы к расчету вероятности негативных ответов для оценки индивидуальных рисков здоровью человека / Н.В. Зайцева, П.З. Шур, Д.А. Кирьянов, В.М Чигвинцев.,

431

О.В. Долгих, К.П. Лужецкий // Профилактическая и клиническая медицина. – 2015. – № 3 (56). – С. 5–11.

2.Трусов П.В., Зайцева Н.В., Цинкер М.Ю. Моделирование процесса дыхания человека: концептуальная и математическая постановки // Математическая биология и биоинформати-

ка. – 2016. – № 1. – С. 64–80.

3.Камалтдинов М.Р., Цинкер М.Ю., Чигвинцев В.М. Моделирование рисков функциональных нарушений пищеварительной системы, обусловленного воздействием факторов образа жизни //

Санитарный врач. – 2013. – № 9. – С. 67–69.

4.Камалтдинов М.Р. Трехмерное моделирование моторики антродуоденальной области пищеварительного тракта для задач оценки риска здоровью при пероральной экспозиции химических веществ // Анализ риска здоровью. – 2014. – № 2. – С. 68–77.

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ БАЗОВОЙ МОДЕЛИ ИНФЕКЦИОННОГО ЗАБОЛЕВАНИЯ ПРИ ВИРУСНОМ ГЕПАТИТЕ B

М.В. Чирков, С.В. Русаков

Пермский государственный национальный исследовательский университет,

Пермь, Россия, ozs-50@mail.ru

Рассматривается задача идентификации параметров базовой математической модели инфекционного заболевания на основе лабораторных данных по динамике концентрации вирусов при гепатитеB. Алгоритм идентификации параметров основан на использовании метода Монте–Карло. С помощью полученной оценки параметров построена программа лечения, основанная на реализации иммунотерапии, которая заключается во введении донорскихантител. Приводятсярезультатычисленногомоделирования.

Ключевые слова: модели инфекционных заболеваний, оценка параметров, метод Монте–Карло, управление.

Применение математических моделей заболеваний в клинической практике связано с оценкой параметров по лабораторным данным, так как, зная значения параметров, можно модели-

432

ровать динамику иммунного ответа у конкретного человека, а также давать рекомендации по выбору лечения. На примере базовой математической модели инфекционного заболевания [1] рассмотрим исследование динамики вирусного гепатита B.

Базовая модель инфекционного заболевания с учетом управления может быть представлена следующим образом [2]:

m = a6v − a7 m,

где v, s, f – относительные концентрации вирусов, плазматических клеток и антител соответственно, m – доля разрушенных вирусами клеток, непрерывная невозрастающая неотрицательная функция ξ(m), учитывающая нарушение нормальной работы иммунной системы вследствие значительного поражения органа, определяется по формуле

Начальные условия, характеризующие заражение здорового организма, имеют вид:

Параметры модели, описывающие иммунный статус организма, заданы на множестве

где L – количество параметров (в базовой модели L = 8).

433

Считается, что лабораторные данные можно получить в узлах сетки:

Для идентификации параметров использовался алгоритм, основанный на методе Монте–Карло [3]. Значения параметров задавались случайным образом:

где K – количество наборов параметров. Был выбран следующий критерий идентификации:

Если при каком-либо наборе параметров условие (7) не выполняется, то данный набор считается неприемлемым, и дальнейшее интегрирование системы (1) с этими значениями параметров не проводится.

Решение задачи идентификации сводится к нахождению минимума функционала:

где δ – масштабный множитель, например, δ = max vэксп. (t ) .

i=1,N i

В качестве оценки параметров выбирается тот набор, который удовлетворяет критерию (7) и доставляет минимум функционалу (8).

У пациентов еженедельно измерялась концентрация вирусов в крови. В таблице представлены результаты идентификации

434

параметров при острой форме гепатита после проведения 104 статистических испытаний. В модели (1)–(3) было принято: τ = 0,5; m = 0,1; v0 = 10−6.

Параметры базовой модели инфекционного заболевания

На рис. 1 показаны данные по динамике вирусов гепатита, взятые из работы [4], также изображена траектория, соответствующая полученной оценке параметров. Как видно из рисунка, фазовая траектория проходит вблизи лабораторных данных.

Рис. 1. Динамика антигенов и клинические данные

С помощью полученной оценки построено управление, основанное на реализации иммунотерапии. Управляющая функция, характеризующая скорость введения донорских антител, выбирается из множества

435

U = {u(t) : u(t) = ui−1 [0, b], t [ti−1 , ti ), i = 1, N, u(T ) = uN −1}, (9)

где b – максимальная скорость введения донорских антител (принято b = 5).

Для построения управляющей функции использовался алгоритм, предложенный в работе [5]. В узлах сетки (5) задается опорное решение. С помощью управления необходимо провести фазовую траекторию концентрации вирусов вблизи опорных значений. Опорное решение определялось, исходя из минимизации функционала энергетической цены иммунного ответа. Вид управляющей функции при вирусном гепатите B представлен на рис. 2. Программа лечения заключается в непрерывном введении донорских антител в течение двух недель.

Рис. 2. Управление иммунным ответом при гепатите B

Таким образом, для базовой модели инфекционного заболевания получена оценка параметров при гепатите B и построена программа лечения.

Список литературы

1.Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. –

М.: Наука, 1980. – 264 с.

2.Болодурина И.П., Луговскова Ю.П. Оптимальное управление иммунологическими реакциями организма человека // Про-

блемы управления. – 2009. – № 5. – С. 44–52.

3.Русаков С.В., Чирков М.В. Идентификация параметров и управление в математических моделях иммунного ответа // Российский журнал биомеханики. – 2014. – Т. 18, № 2. – С. 259–269.

436

4.High levels of viral replication during acute hepatitis B infection predict progression to chronicity / T. Fong, A.M. Di Bisceglie, R. Biswas [et al.] // J. Med. Virol. – 1994. – Vol. 43. – P. 155–158.

5.Русаков С.В., Чирков М.В. Математическая модель влияния иммунотерапии на динамику иммунного ответа // Проблемы управления. – 2012. – № 6. – С. 45–50.

ОПИСАНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ЗЕРЕННОЙ СТРУКТУРЫ В ДВУХУРОВНЕВЫХ МОДЕЛЯХ НЕУПРУГОСТИ МЕТАЛЛОВ

Е.В.Чудаков, А.И.Швейкин

Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, chudakov@yandex.ru, alexsh59@bk.ru

В структуру двухуровневой статистической модели неупругого деформирования поликристаллических металлов включено описание возможного дробления кристаллитов. С использованием разработанной модели проведены численные расчеты для нахождения изменения напряженно-деформированного состояния ГЦК-поликристалла (медь) и изменения параметров, характеризующих его структуру, при различных кинематических нагружениях. Полученные результаты находятся

вудовлетворительном соответствии с экспериментальными данными,

втом числе с данными об изменении среднего размера зерна.

Ключевые слова: двухуровневые статистические модели, физи-

ческие теории пластичности, зеренная структура, дробление зёрен.

Измельчение зеренной структуры поликристаллов при значительных пластических деформациях лежит в основе многих технологий обработки конструкционных материалов, например, популярных в последние десятилетия методов получения объемных субмикро- и нанокристаллических конструкционных материалов – равноканального углового прессования [1, 2] и осадки с кручением [3]. Получаемые таким образом материалы обладают уникальными свойствами: повышенной прочностью, часто при сохранении способности к значительному пла-

437

стическому деформированию (в ряде случаев и в режиме сверхпластичности). Этими факторами обусловлена актуальность создания конститутивных моделей материалов, позволяющих описывать изменение зеренной структуры.

В качестве базовой модели использовалась предложенная ранее двухуровневая модель неупругого деформирования поликристаллических металлов [4]. В этой статистической модели в соответствие представительному объему макроуровня ставится выборка кристаллитов – эллипсоидов, для которых описываются основные физические механизмы неупругого деформирования: внутризеренное дислокационное скольжение с учетом упрочнения и ротации решеток. Для описания внутризеренного дислокационного скольжения используется вязкопластический закон с критерием Шмида (если касательные напряжения на системе скольжения меньше критических, то сдвиг отсутствует), при описании поворотов решетки кристаллитов используется модель поворота Тейлора [4]. При формулировке определяющих соотношений макромасштабного уровня используется условие согласования определяющих соотношений различных уровней [4].

Процесс дробления кристаллитов описывается по аналогии с вязким разрушением. При реализации модели на мезоуровне (уровне кристаллита) в каждый момент времени определяется скорость неупругих деформаций, комплексно характеризующая скорости внутризеренных сдвигов по системам скольжения. Определенная коротационным интегрированием мера неупругих деформаций характеризует накопленные сдвиги по системам скольжения [5]. При используемом статистическом описании сдвиги характеризуют активность дислокационного скольжения, поэтому принимается, что возможность вязкого разрушения характеризуется мерой неупругих деформаций. Принимается гипотеза о том, что сдвиги локализуются в сечениях, проходящих через геометрический центр зерна, и дробление может осуществиться разделением зерна по соответствующим плоскостям. Для определения, по какой именно плоскости

438

осуществится разделение (или его вообще не произойдет), предлагается критерий дробления: по мере неупругих деформаций определяются плоскость и направление, в которых накоплены наибольшие сдвиги, учитывается вытянутость зерна в направлении, перпендикулярном плоскости сдвига (чем она больше, тем вероятней дробление), дробление осуществляется при достижении эффективным (с учетом вытянутости зерна) сдвигом в сечении критического значения.

Разработан алгоритм численной реализации предложенной двухуровневой модели с использованием методов явного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, создана вычислительная программа, с помощью которой проведены тестовые расчеты для различных нагружений поликристаллической меди. Полученные результаты, в том числе описание изменения зеренной структуры, находятся в согласовании с известными опытными данными.

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ (базовая часть государственного задания ПНИПУ, № гос. регистр. 01201460535), Российского фонда фундаментальных исследований (грант 15-08-06866-а).

Список литературы

1.Процессы пластического структурообразования металлов / В.М. Сегал, В.И. Резников, В.И. Копылов [и др.]. – Минск: Наука и техника, 1994. – 232 с.

2.Валиев Р.З. Развитие равноканального углового прессования для получения ультрамелкозернистых металлов и сплавов //

Металлы. – 2004. – №1. – С. 15–22.

3.Валиев Р.З., Александров И.В. Наноструктурные материалы, полученные интенсивной пластической деформацией. –

М.: Логос, 2000. – 272 с.

4.Многоуровневые модели неупругого деформирования материалов и их применение для описания эволюции внутренней

439

структуры / П.В. Трусов, А.И. Швейкин, Е.С. Нечаева, П.С. Волегов // Физическая мезомеханика. – 2012. – Т. 15, № 1. – С. 33–56.

5. Трусов П.В., Янц А.Ю. О физическом смысле неголономноймерыдеформации// Физическаямезомеханика. – 2015. – Т. 18. –

№2. – С. 13–21.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Д.А. Шаблонов1, Н.В. Котельникова2

1Муниципальное бюджетное образовательное учреждение «Лицей № 1»,

Пермь, Россия, densh23@mail.ru,

2Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, kotelnickova@gmail.com

Рассматривается модель формирования и обслуживания очередей в многоканальной Системе массового обслуживания (далее– СМО), изучены некоторые понятия теории массового обслуживания. Изучены механизмы и параметры работы СМО. Приведены основные значения её эффективности. Акцент делается на описании метода математического моделирования, наклассификациисистемиизмеренииихэффективности.

Ключевые слова: теория массового обслуживания, эффективность, математическое моделирование.

Работа посвящена математическому моделированию формирования и обслуживания очередей в СМО. Изучение данного вопроса обретает большое значение при работе с такими системами, так как она может работать недостаточно эффективно при обслуживании запросов, что ведет к некоторым потерям производительности данной системы*.

* Авсиевич А.В., Авсиевич Е.Н. Теория массового обслуживания: Потоки требований, системы массового обслуживания: метод. указания и контр. задания для студ. спец. 071900 «Информационные системы и технологии» заочной формы обучения / СамГАПС. – Самара, 2004. – 24 с.

440