книги / Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов
..pdfготовками, толщина слоев которых (пусть разная для слоев из разных металлов) была бы возможно одинаковой во всем объеме исходной модели.
На рис. 67 и 68 представлены макрошлифы подвергнутых статическому изгибу образцов, вырезанных из квазиизотропных (рис. 67) и выраженно анизотропных (рис. 68).
Анизотропия спрессованных слоев вызвана значительным рас хождением их механических свойств. В результате изгиба слои
Рис. 67. Макрошлиф статически изогнутого образца из квазиизотропной многослоистой пластины
квазиизотропного многослоистого металла зафиксировали нор мальную картину утонения наружных растянутых слоев и уширения внутренних сжатых. Толщина слоев концевых недеформированных краев пластин осталась без изменения. Интересное явление наблюдается на макрошлифе образца с выраженной анизотропией свойств. Помимо обычного утонения слоев вблизи наружной поверхности хорошо просматривается волнистость их — своего рода потеря устойчивости деформации, вызванная, повидимому, наложением неравномерного сопротивления деформа ции механически анизотропного образца.
На рис. 69 и 70 показаны макрошлифы цилиндрической заго товки и меридионального сечения полуфабриката тонкостенного колпачка, полученного на холодноштамповочной операции вы давливанием. В центральной зоне дна у поверхности контакта
Рис. 6 8 . Макрошлиф статически изогнутого образца из анизотроп ной многослоистой пластины
Рис. 70. Макрошлиф меридионального сечения полу фабриката холодноштамповочной операции выдавли вания тонкостенного колпачка
с пуансоном четко выявлена «застойная» зона — область почти недеформированного металла. Наибольшей интенсивности дефор мация достигает в зоне перехода дна в стенку.
Рассмотрим метод, разработанный для плоской задачи Чикидовским. В своих исследованиях автор исходил из приемов обра ботки искаженных деформацией квадратных координатных сеток, предложенных Смирновым-Аляевым и Розенберг [64].
Как это вытекает из изложенного в гл. 4 второго раздела книги, деформацию можно считать плоской при условии, когда все изменения размеров тела происходят только в одной плоско сти, а в ортогональных направлениях этой плоскости — они отсутствуют. Обозначим хоу главную плоскость деформации, тогда значения частных производных начальных координат по
текущим определятся |
соотношениями: |
|
|
|
|
|
||
дХ _ _дУ_ _ |
dZ_ _ JZ_ _ n . |
d Z |
|
|
|
(13.75) |
||
дг ~ дг |
~ |
дх ~ dy — U’ |
дг |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||
а остальные частные |
производные |
дХ |
дХ |
дУ |
и |
дУ |
* |
|
|
|
|
-щ- |
будут |
||||
в общем случае отличны от нуля.
Равенства, устанавливающие связь частных производных на чальных координат по текущим с частными производными теку щих координат по начальным примут вид:
дХ
дх
дУ
ду
il и ф
(1) |
дХ |
__ |
дх . |
|
ду |
|
дУ |
9 |
|
(3) |
дУ |
_ |
ày |
|
дх |
|
дХ |
‘ |
|
(2)
(13.76)
(4)
Условие постоянства объема в плоской задаче выражается
дХ |
дУ |
дХ |
дУ |
(13.77) |
|
дх |
ду |
ду |
дх |
||
|
Формулы, определяющие значения компонентов тензора ре зультативного формоизменения при условии (13.75), преобра зуются в равенства:
* ■ - № + & ) ' ■ • |
л > = т + т - - \ |
(13.78) |
|||
дХ |
дХ |
дУ |
дУ |
|
|
Аг = 1, Ахг = A„z — 0. |
|
||||
Д е д —дх |
ду |
1 дх |
ду |
|
|
Тензор результативного формоизменения может быть пред ставлен матрицей
Ддс Аху 0
Ду* |
0 . |
0 |
О Аг |
Значения главных компонентов тензора результативного формо изменения определят решение характеристического уравнения
Ах - А
Аху |
(13.79) |
О |
|
Развертывая определитель, получим |
' |
(Аг — А) [(Л*— А) (Ау — А) — А*у] = 0.
Значение одного корня очевидно: А = Аг. Индекс этого компо
нента легко |
установить из |
условия постоянства объема |
гх + |
- |- е 2 + ез = |
0. Поскольку |
ось z главная и деформация |
вдоль |
нее отсутствует, то индекс оси и компонента деформации может быть только 2. Следовательно,
Л2 = Лг. |
(13.80) |
Остальные два главных компонента тензора результативного формоизменения установят решение квадратного уравнения
(Ах — Aï) (Ау — А) — А*у = 0.
Значения корней уравнения определяются равенствами:
А х , з = |
± |
(13.81) |
Угол наклона главной оси тензора результативного формоизме нения к оси х можно определить известными из аналитической геометрии равенствами:
tg2а = —2Аху/(Ах — Ау)\
(13.82)
sin2а = _________ Аху________
V 2KAx - A y W + Aly
Таким образом, значения главных компонентов тензора ре зультативного формоизменения и направления его главных осей определяют значения частных производных начальных координат по текущим.
Определение главных компонентов тензора конечных дефор
маций не встречает каких-либо |
затруднений: |
|
|
8i = |
-----g-In А3; еа = |
0; е3 = -----^-lnAv |
(13.83) |
Интенсивность деформированного состояния при плоской де |
|||
формации ег = |
(2/J/3) ех или с |
учетом (13.83) |
|
|
в, =* — ln AJŸ3. |
(13.84) |
|
Вид деформированного состояния при. плоской деформации всегда соответствует сдвигу: v8 = 0.
По известным значениям главных компонентов деформации и углов наклона главных осей к координатным осям принятой системы координат можно определить значения компонентов конечных деформаций относительно принятой системы по фор мулам перехода, которые в случае плоской деформации имеют вид:
Ч — e1cos2a; eÿ = — e1cos2a; уху= sin 2а. (13.85)
Следовательно, задача определения деформированного состоя ния сводится к определению значений частных производных начальных координат по текущим, которые обычно определяются по результатам измерений искаженной в процессе деформации ортогональной координатной сетки. Методы определения частных производных базируются на следующих двух основных положе ниях.
Вокрестности расчетной материальной точки связь начальных
итекущих координат аппроксимируется линейными зависимостями вида
d x ^ - ^ d X + -^rdY-, |
dy = -$r dX + - |
$rdY . |
(13.86) |
d X = ™ .d x + ™.dy, |
d Y - ^ - d x + J |
g - d |
(13.87) |
которые служат критериями однородности деформации в иссле дуемом объеме. Движение рассматривается с точки зрения Ла гранжа, т. е. используются зависимости (13.87), на основании которых и вычисляются значения частных производных.
Принципиальных затруднений такая схема расчета не вызы вает; поскольку известно в начальном и текущем состоянии поло жение линий, образующих сетку и принадлежащих семействам X = const и У = const. Таким образом, текущие и начальные координаты узловых расчетных точек легко определяются.
При исследовании деформаций на слоистых моделях в пло скости сечения линии раздела слоев представляют собой линии только одного семейства. На рис. 71 Y — const. Для этого семей ства линий справедливы равенства системы (13.87). Каждая расчетная точка требует фиксирования в деформированном состоя нии. Нанесение каких-либо знаков на плоскости сечения сдеформированной модели вынуждает пользоваться законом движения в Эйлеровом представлении, т. е. наряду с равенствами (13.87) необходимо использовать равенства (13.86). В этом смысле опре деление частных производных относится к так называемым мето дам смешанных координат.
Если в плоскостях сечения (см. рис. 71) провести семейство прямых линий, параллельных оси у, то в результате образуется сеточная модель с расчетными точками, лежащими в узлах пере
сечения линий раздела слоев (семейство У = const) с проведен ными прямыми (семейство X = const).
Рассмотрим расчетный элемент, состоящий из четырех сопре дельных ячеек, образованных линиями у = const и х — const. В окрестности расчетной точки Мп (рис. 72) для точек, лежащих на линии У = const, текущие координаты суть функции только одного аргумента X. Полагая , что в пределах расчетного эле
мента деформация однородна, расчет ведем по точкам, лежа щим на границах расчетного эле мента и М,_1(/).
Xi-i*const xi*1const xyrconst
Рис. 71. Линии |
раздела слоев |
семей |
Рис. 72. Четыре сопредельных ячейки |
||
ства Y — const |
в |
плоскости |
сечения |
расчетного |
элемента, образованных |
слоистой |
модели |
|
линиями у = |
const и х = const в ок |
|
|
|
|
|
рестности расчетной точки М |
|
В этом случае, равенства (13.86) принимают вид:
хм., - X ,.,., = (-Ü ) (< (Х,„., - X,.,.
(13.88)
Г,« . , - Гм. ,-(■&-), № .i.,- X ,.M).
Для точек, лежащих на прямой X lf = const, начальные координаты являются функциями только одного аргумента у. Равенства (13.87), вычисленные по точкам Ми /+1 и Mit f_lt лежащим на линии X = const на границах расчетного элемента, принимают вид:
Xi, /+1 — Х„ hl = |
(!tt, /+1 — Уи /-i); |
(13.89)
Y (>/+1 —Y 4 - 1 = (4|г)</ (У<./+1 “ yi< h i)-
Из равенств (13.89) можно определить значения только двух частных производных начальных координат по текущим, а именно:
( дх |
\ |
__ Х{, /+! —Х{</-i ^ |
/ dY \ _ |
/+1 — м |
|
\ à y |
) i i |
y t . j n —y i . f/-i ’ |
\ |
Ày |
(13.90) |
/+х Уi1 у-х |
|||||
316
Значение частной производной дУ/дх определяется из второго равенства (13.88) на основании (13.76)
/ дУ \ |
/ ду \ _ |
У1+1. / — Ui-i> 1 |
(13.91) |
|
\~ sr)u |
\ d x ) t i |
X u i . t ~ X i . u t |
||
|
Значение четвертой частной производной, определяется из условия постоянства объема (13.77)
(13.92)
Из равенств (13.90) и (13.91) следует, что для определения част ных производных помимо значений текущих координат узловых точек, необходимо знать значения исходных толщин слоев мо
дели |
Yltf+1—У |
а также начальные координаты Х (/ расчет |
ных |
точек. |
|
Исходные значения толщин слоев должны быть известны за ранее, а определение текущих координат точек затруднений не встречает. Начальные координаты узловых точек определяются расчетом.
Третье равенство системы (13.76)
№ , A U ,
позволяет на основании первого равенства (13.88) и второго ра
венства (13.90), составить |
уравнение |
||
X u i , |
t — X u u |
I _ |
Y i , f+x — Y i , / - j |
xi+i, |
/ xi-it i |
У j+i Vi%i-1 |
|
откуда |
|
|
|
4+1, / |
(*/+l. / — ■ */-1, /) (yt, /+i — ÿl, /-i) |
||
|
|
(13.93) |
|
|
|
|
Yt, /+1-К/./-1 |
Последним уравнением можно воспользоваться для определе ния значений начальных координат X всех расчетных точек, если известно значение одной какой-либо из них. Следовательно, расчет по формуле (13.93) необходимо начинать с точек, распо ложенных на линии Xq — Х {/ = const. Такие точки могут на ходиться на оси симметрии очага деформации, либо вне его, либо на контуре сечения. Итак, для расчета значений всех частных производных начальных координат по текущим следует произ вести последовательно вычисления по формулам: (13.93), (13.90), (13.91) и (13.92).
Исходными данными расчета служат: текущие координаты узловых точек х и у, значения исходной толщины слоев и абсциссах хотя бы одной из точек в исходном положении.
Переходим к графической обработке сечения слоистой модели и определению текущих координат расчетных точек.
После деформации слоистая модель разрезается таким обра зом, чтобы плоскость реза совпала с главной плоскостью дефор мации. После операции травления в целях оптимального выявле ния линий раздела слоев необходимо получить в приемлемом масштабе изображение плоскости сечения модели. Это может быть фотоснимок либо спроецированное эпидиаскопом на экран изображение плоскости сечения модели. На полученном изобра жении должны быть четко различимы линии раздела слоев, яв ляющиеся линиями семейства Y = const.
Графическая обработка сечения заключается в нанесении на нем семейства прямых, ортогонального семейству вытравленных линий раздела слоев. Если эти линии соответствуют семейству Y — const, то прямые проводятся параллельно оси у, и наоборот. Расстояния между прямыми могут быть и не равными, однако между ними должен быть определенный интервал. В пределах расчетного элемента, включающего два интервала, отрезки линий
семейства У = const, содержащие |
любые три соседние узловые |
точки (например, Mi+lt}, M(J и |
/), аппроксимируются с при |
емлемой точностью отрезками прямых. Иначе говоря, интервалы должны быть подобраны так, чтобы отрезок прямой, соединя ющий точки, ограничивающие расчетный элемент (на рис. 72 точки Мм>1 и Л!/.!,/), проходил бы в непосредственной близи от точки М1}. Кроме того, отрезки прямых, аппроксимирующие три соседних линии раздела слоев, должны быть параллельными (или хотя бы приближенно параллельными). Параллельность этих отрезков является критерием однородности деформации данного расчетного элемента.
После определения интервалов и проведения линий семейства X = const устанавливаются с возможно большей точностью теку щие координаты узловых точек. Результаты измерений заносятся в табл. 29.
Полученные данные позволяют определить значения частных производных начальных координат по текущим и, следовательно,
Таблица 29. Текущие координаты расчетных точек
i
/ |
1 |
2 |
3 |
.. . |
1Я — 1 |
т |
|
||||||
1 |
Уи |
У2i |
Уз! |
|
Ут-П |
Утi |
2 |
Уп |
У22 |
Уз2 |
. . . |
Ут-1 2 |
Утг |
я —-1* |
y tn - t |
У2 n-i |
Уз п-\ |
. . . |
Ут-1 , м- i |
Ут* м- i |
я |
Ум |
Ум |
Узп |
. . . |
Ут-i* п |
Утл |
Все параметры деформированного состояния в расчетных точках
сечения в |
области, |
ограниченной точками, |
имеющими индексы: |
|
I = 2, ..., |
т — 1; / |
= 2, |
..., п — 1. В табл. |
29 эта область выде |
лена прямоугольником. |
|
|
||
Таким образом, сеточная модель должна быть шире очага |
||||
деформации, т. е. линии |
семейства х = const следует проводить |
|||
и в недеформируемой части тела. Однако сеточная модель не позволяет определить деформированное состояние на контуре модели, в 1-м и я-м слоях. Для того чтобы определить параметры деформированного состояния в точках, лежащих в непосредствен ной близости от контура, можно воспользоваться рекомендован ным Розенберг приемом, позволяющим образовывать более мелкие расчетные элементы путем расчленения толщины слоя модели на пропорциональные части. Допустим, что расчетный элемент, показанный на рис. 72, примыкает к контактной поверхности
модели. Линия Yм |
= const является следом этой |
поверхности |
в плоскости сечения. |
В этом случае можно поступить следующим |
|
образом. Полагая |
что деформация в контактном |
слое модели |
однородна, каждый отрезок линии х = const, находящийся в этом слое, делится на пропорциональные части в равных отношениях. Точки деления соединяются плавной кривой, образуя дополни тельную линию раздела слоев. На рисунке эта линия, показанная пунктиром, проходит через искусственно образованную расчетную точку М[, /+а, которая лежит гораздо ближе к контактной поверх ности, чем точка М{}. Расчетный элемент точки ограничен точками M[_h /+e, Mtti+1 , M/+li/+e, Mlf. Поскольку такое расчленение слоев может быть произвольным, этот прием дает возможность оценить деформированное состояние в точках, ле жащих достаточно близко от контактной поверхности.
Разработанный Чикидовским для плоской задачи метод обра ботки результатов пластического формоизменения слоистых мо делей позволяет производить расчеты на ЭВМ. При программи ровании плоской задачи последовательность определения компо нентов деформированного состояния может быть, например, пред ставлена цепочкой, в которую входят: определение по формулам (13.93) значений Хц ; определение частных производных по фор мулам (13.90)—(13.92); определение компонентов тензора резуль тативного формоизменения по формулам (13.78); определение главных компонентов деформаций и в/ по формулам (13.83), (13.84); определение значений компонентов деформации относи тельно принятой системы координат по формуле (13.85).
Предложенный алгоритм может быть без затруднения записан на языке ЭВМ. При этом следует обязательно учитывать: выбор последовательности расчета для рассматриваемой сеточной мо дели; строгое установление начальных границ рассматриваемой модели; установление и выбор способа задания исходных данных.
7. Метод вдавливания индентора (метод твердости)
Метод определения степени деформации и интенсивности на пряженного состояния в пластической области деформируемого тела испытанием твердости находит в настоящее время все более широкое применение. Метод этот основан на предположении, что между твердостью деформированного металла и интенсивностью напряженного состояния существует однозначная функциональ ная зависимость.
Действительно, производимая для осуществления того или иного процесса формоизменения работа затрачивается на измене ние формы заготовки и приводит к более или менее существенным изменениям физико-механических свойств металла. Одним из ярких показателей произошедшего изменения этих свойств ме талла, подвергнутого пластической деформации в холодном со стоянии, является изменение его твердости (наклеп). Если зара нее установить для исследуемого металла функциональную связь между его твердостью и степенью деформации, а следовательно, и интенсивностью напряженного состояния, то по замеренной твердости в исследуемых зонах пластически деформируемой за готовки из данного металла можно судить о степени произошед
шей деформации и |
об интенсивности напряженного состояния |
в соответствующей |
стадии формоизменения. |
Данное предположение, что такая функциональная зависимость существует, что она однозначна и не зависит от схемы напря женного состояния, было подтверждено достаточно большим ко личеством экспериментов, проведенных некоторыми исследова телями. Наиболее важные проведены Г. Д. Делем [18], который установил связь между твердостью и интенсивностью напряжений и деформаций при испытании трубчатых образцов и показал, что зависимость между твердостью и интенсивностью напряжений является единой для различных схем напряженного состояния и не зависит от пути нагружения.
Исследование проводилось на тонкостенных трубчатых образ цах из сталей марок 20 и Х18Н9Т с наружным диаметром 30 мм, толщиной стенки 1 мм и длиной рабочей части 130 мм. Образцы испытывались на машине ZDMU-30 путем нагружения растяги вающей силой, внутренним давлением и крутящим моментом. Образцы нагружались по различным программам. Всего было испытано семь образцов из стали марки 20 и три из стали марки Х18Н9Т. Трубки из стали марки 20 нагружались по следующим программам. Образцы 1 и 2 подвергались только растяжению. Образцы 3, 4 и 5 испытывались при простом нагружении с по стоянным отношением главных напряжений CT2 OI (ot > cr2), равным соответственно — 0,5 (осевая сила и крутящий момент), + 0,5 (осевая сила и внутреннее давление), —1 (кручение).
Образец 6 испытывался в условиях сложного нагружения с целью оценить влияние нагружения на связь между твердостью