книги / Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов

Для выполнения расчетов удобно пользоваться координатами точек касания А, В, С и D, а полученные характеристики фор­ моизменения считать локальными для точки О в центре ячейки (см. рис. 58).

Метод Пашкова [501: исходная квадратная ячейка делитель­ ной сетки, нанесенной в главной плоскости, превращается в па­ раллелограмм (рис. 59). Система координат XOY принимается с началом в точке О— центре ячейки.

Параметрами, отображающими искажение ячейки, как и

2^

т. e. тот же результат, что и по методу Зибеля уравнение (13.31). Интенсивность деформированного состояния определяется по уравнению (13.32).

Расчетные формулы методов Зибеля и Пашкова таковы, что исходная ячейка делительной сетки должна обязательно иметь квадратную форму. Погрешность в нанесении ортогональной сетки

C = a0b0bi cos ô0 — a\bib\ cos ôi.

Направление главных осей в исходном и деформированном состоянии находится по формулам:

Интенсивность деформированного состояния как и в преды­ дущем случае определяется по формуле (13.32). Такое обобщение формул Пашкова оказывается полезным при поэтапном иссле­ довании процессов конечного формоизменения.

Отметим, что полученные характеристики процесса конечного формоизменения однозначно определяют удельную работу де­ формации только в случае монотонного протекания процесса.

Переходим к группе поэтапных методов исследования, бази­ рующихся на деформационной теории. На каждом этапе формо­ изменения (в локальном объеме, ограниченном размерами сетки) все характеристики процесса определяются так же, как и в слу­ чае конечных деформаций. Результирующее значение интенсив-

292

Таким образом, -3 а, определяющий направление приращения наибольшей главной деформации относительно линии тока, будет

В качестве параметра для определения компонентов прираще­ ния малых деформаций при исследовании стационарных процессов пластического течения вместо S могут быть использованы: поряд­ ковый номер ячейки вдоль линии тока, определяющий ее поло­ жение, перемещение жесткой области перед входом или по выходе из очага пластической деформации; время при заданном законе движения жесткой области и т. п.

При исследовании процесса нестационарного течения таким параметром может быть порядковый номер кадра при киносъемке, на котором фиксируются размеры ячейки или порядковый номер этапа, на котором выполнялись измерения ячейки, а также путь деформирующего инструмента или время при заданном законе движения деформирующего инструмента и т. п.

Значение производной интенсивности деформированного со­ стояния по параметру, соответствующее какому-либо моменту стадии деформации (пропорциональной интенсивности скорости деформации), определяется через производные компонентов по

Суммарное значение интенсивности деформации (степени де­ формации) определяется интегрированием по параметру.

После краткого обзора трех основных приемов исследования искаженных деформацией сеток обратимся к определению напря­ женно-деформированного состояния по искажению квадратной координатной сетки, согласно методики, предложенной Смирно­ вым-Аляевым и Розенберг [64].

Часто при изучении деформированного состояния внутри тела удобнее пользоваться квадратной координатной сеткой. Такая сетка наносится на меридиональное сечение осесимметричной заготовки или главную плоскость асимметричной заготовки, на которых растягивающие напряжения отсутствуют либо малы.

296

Исследуемая модель предварительно разрезается, на плоскость реза наносится сетка и фотографируется. Затем части заготовки составляются вместе и подвергаются обработке давлением как цельное металлическое тело. После формоизменения модель вновь разнимается по физическому резу, а искаженная деформацией сетка фотографируется. Степень искажения плоскости разъема заготовки может служить качественным показателем совпадения плоскости реза с главной плоскостью напряженно-деформирован­ ного состояния.

На полученных снимках сетки фиксируются два семейства кривых: первое — геометрическое место точек, располагавшихся до деформации в плоскости, перпендикулярной оси симметрии (семейство горизонталей); второе — геометрическое место точек, располагавшихся до деформации на постоянном расстоянии от оси симметрии (семейство вертикалей).

Если обозначить через R и Z — начальные (до деформации) цилиндрические координаты материальной точки осесимметрично деформируемого тела, а через г и г — соответствующие коорди­ наты той же точки в деформируемом теле, то задача исследования сведется к определению функциональной зависимости, связыва­ ющей текущие координаты (переменные Эйлера г и г) с началь­ ными (переменные Лагранжа R и Z). Такая функциональная за­

Действительно, для случая конечных деформаций можно пренебречь упругим изменением объема. Воспользовавшись из­ вестным из аналитической геометрии выражением площади малого параллелограмма, преобразованного деформацией из прямоуголь­ ника, устанавливаем, что частные производные текущих коорди­ нат по начальным уравнений (13.53) и (13.54) будут связаны между собой зависимостью

дг д г _ дг_ д г _ _ R

При обработке искаженной координатной сетки значения частных производных текущих координат по начальным могут быть определены с достаточной для практики точностью путем непосредственных замеров параметров искаженной координатной сетки.

На рис. 62 показаны ячей­ ки искаженной квадратной

Рис. 62. Искаженные деформацией ячейки в окрестности исследуемой

точки М

сетки, примыкающие к исследуемой точке М, начальные коорди­ наты которой Z = Zi и R = Rj. Индекс i обозначает порядковый номер линии сетки семейства горизонталей, а индекс / — поряд­ ковый номер линии сетки семейства вертикалей. Начало отсчета ведется обычно от торцевой поверхности заготовки и от оси сим­ метрии. Значения начальных координат точки М могут быть по­ лучены путем простого отсчета числа ячеек сетки от торца заго­ товки и от оси симметрии.

На кривой Z = Zt текущие координаты (г, г) являются функ­ циями только одного аргумента R и вблизи точки М могут быть разложены в ряды по возрастающим степеням разности R — Rj.

где -3 %= i|>, — ifo.

В силу равенств (13.53)—(13.55) и (13.57) между частными производными начальных координат по текущим существуют

Подставляя в правые части равенств (13.62) их значения из (13.61), окончательно получим:

Этот метод определения частных производных начальных координат по текущим [уравнения (13.63)] или текущих координат по начальным [уравнения (13.61) ] на основании непосредственных замеров искаженной деформацией сетки достаточно универсален и прост. Вместе с тем встречает затруднения обработка искаженной координатной сетки в зоне симметрии. Поэтому для обработки искаженной сетки в осевой зоне предпочтительней использовать метод, аналогичный вышеизложенному, но с обязательной коррек­ тировкой исходных данных.

На рис. 64 показаны искаженные деформацией квадратные ячейки сетки, примыкающие к расчетной точке М, лежащей на оси симметрии. В этом случае (на оси симметрии):

дг_

0;

dZ