книги / Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов

Вработе [76] задача о внедрении пуансона с плоским торцом

видеально пластичный металл решена вариационным методом. Получены формулы для расчета усилия при плоской и осесим­ метричной деформации на любой стадии внедрения. Это решение отличается меньшими ограничениями в отношении возможности применения его результатов, однако оно выполнено с допущениями,

хотя значительно и упрощающими математические выкладки, но во многом далеко не соответствующими описываемому про­ цессу.

С иных позиций подошли к решению задачи Кузнецов и Лясников. Опираясь на результаты экспериментальных исследований напряженно-деформированного состояния упрочняющегося ме­ талла при внедрении в него цилиндрического пуансона и исполь­ зуя методы СМПД, авторы составили расчетную схему, которая

Рассматриваем процесс внедрения цилиндрического пуансона с плоским и сферическим торцом в тело с бесконечными размерами, ограниченное одной плоскостью. Считаем, что внедрение происхо­ дит по нормали к плоскости с такой скоростью приложения на­ грузки, при которой силами инерции можно пренебречь, кроме того, принимаем схему жесткопластического тела.

Экспериментально установлено [38, 39], что с некоторой стадии внедрения форма наружной поверхности и внешние размеры зоны пластической деформации, возникающей в приконтактной обла­ сти деформируемого тела, мало зависят от формы торца пуансона. Различие в очертании внешней границы зоны пластической де­ формации можно считать несущественным уже при глубине h внедрения цилиндрической части пуансона, равной приблизи­ тельно 0,05 его диаметра d.

С момента, когда глубина h становится приблизительно рав­ ной d, форма и размеры зоны пастической деформации, прилегаю­ щей к торцу пуансона, мало изменяются с увеличением h. Внеш­ няя граница зоны пластической деформации в прилегающей к торцу пуансона области деформируемого тела представляет собой поверхность вращения, близкую к сферической, с центром на оси симметрии образуемой полости. На начальном этапе вне­ дрения пуансона с плоским торцом непосредственно под ним воз­ никает зона затрудненной деформации, так называемая затормо­ женная зона, сохраняющаяся в дальнейшем. Наиболее интенсивно деформация происходит в месте перехода дна полости в стенку и вблизи поверхности, которую можно приближенно представить полусферой, описанной радиусом, равным радиусу г пуансона, из центра его торца. При решении поставленной задачи указанную заторможенную зону будем считать как бы дополнением пуансона; таким образом, пуансон с плоским торцом уподобляем пуансону со сферическим торцом.

Подставляя в уравнение (11.52) значение е,- из выражения (11.53) и выполняя преобразования, находим

ееЧрг—О

Таким образом, по формулам (11.48), (11.54)—(11.58) можно вычислить приближенные значения радиуса внешней границы зоны пластической деформации, а также at в каждой точке этой зоны на любой стадии внедрения пуансона (за исключением на­ чального этапа в указанных выше пределах).

Однако данных сведений недостаточно для решения уравне­ ний (11.49а)—(11.51а). Воспользуемся этими уравнениями для выявления характера изменения т по координатам р и q>, что по­ зволит установить недостающие для решения условия.

Продифференцировав (11.49а) по <р, (11.50а) по р, (11.51а) по ф, а затем дважды по ф и р, и вычтя из первого из полученных уравнений второе, с учетом результатов дифференцирования (11.51а) имеем

Уравнение (11.59) содержит лишь одну искомую величину т, являющуюся функцией двух независимых переменных р и ф. Однако ввиду сложности оно не может быть решено строго мате­ матически. Имея в виду ограниченное использование результатов решения, найдем приближенное выражение функции т.

Представляем т в виде произведения двух функций, каждая из которых содержит одну независимую переменную

Функции ф (ф) и фх (р) по виду выбираем такими, чтобы они отра­ жали известные общие сведения о характере изменения касатель­ ных напряжений на контактной поверхности и внутри зоны пла­ стической деформации, а также были в согласии с исходными по­ ложениями решаемой задачи. Параметры этих функций опреде­ ляем из следующих условий: на внутренней (р = г) и внешней (р — рг) границах зоны пластической деформации (исключая область оси симметрии) т должно быть равным своему максималь­

ному значению (^max ^J’V'З) или близким к нему; функции

должны удовлетворять (хотя бы приближенно) уравнению (11.49). Для упрощения полагаем о,- постоянным по объему зоны пласти­ ческой деформации.

Функцию ф (<р) принимаем в следующем виде: ф (<р) = Агфе- '*’. Она имеет максимум при ф = 1 и с увеличением ф от 1 до я/2 ее значение незначительно уменьшается. Коэффициент k находим

в соответствии с общепринятым условием назначения знака каса­ тельного напряжения, на указанных границах знаки функции

Для определения коэффициентов а, Ь, с используем граничные значения функции фх (р) и уравнение (11.59). При этом вначале

на границах зоны пластической деформации. Найденные таким путем коэффициенты a, b и с различны для разных значений ф, что является следствием приближенности решения. С целью получе­ ния наиболее простых конечных расчетных зависимостей в даль­ нейшем решении, принимаем для всего диапазона изменения ф одинаковые численные значения a, b и с; ими считаем значения, установленные для = я/4 : а = —2,5; b — 0; с = 1,5.

Таким образом, имеем следующее приближенное выражение функции т:

(11.63)

которое используем при решении уравнений (11.49а)—(11.51а).

Множитель УI — 3 (т/аг)2 в правой части уравнения (11.51а) разлагаем в ряд

(11.64)

в котором сохраняем в дальнейшем три слагаемых.

После дифференцирования (11.63) по <р и р и подстановки зна­

В результате интегрирования (11.496) и (11.506) и преобразо­ вания находим:

Рр = 2ир — 2г| In р — 1,57 (е-ч>— <ре~ч>+ фе-4'ctg ф)/х +

/ а, / 8 — функции тех же параметров, что и Iv но имеют громозд­ кую запись; в связи с отсутствием их в окончательных расчетных формулах выражения этих функций не приводим.

Для определения вида функции Ф2 (р) подставляем выражения рр и pv из (11.65) и (11.66) в (11.51а)

2ыр — 2г| In р — 1,57 (е- **1— фе—^ + <pe—^ctg ф) /х+

+ 7,39ф2е -2ч>/2 + 4,56ф4е -4<Р/3 + Фх (ф) -

Для определения Сх используем результаты решения Ляме [79] задачи о сферическом сосуде, находящемся под действием внутреннего и внешнего давлений. Согласно этому решению при отсутствии внешнего давления в сосуде с бесконечным наружным радиусом пластическая деформация начинается на внутренней поверхности, при этом внутреннее давление приближенно состав­ ляет (2/3)'от.

В рассматриваемой задаче внешнюю границу зоны пластической деформации в области оси симметрии можно принять за внутреннюю поверхность указанного сферического сосуда. Следовательно, при

р = ре на оси симметрии рр — (2/3) <тт и, поскольку на оси т = = 0, согласно уравнению (11.51а) рф = —(1/3) <хт. С учетом этого условия находим из (11.66) и (11.70)

Теперь легко записать выражение для рр, воспользовавшись

Характер изменения рр и рф вдоль оси симметрии, определяе­ мый формулами (11.72а) и (11.73а), хорошо виден из графиков (рис. 45), построенных по результатам расчета при следующих

Переходим к определению усилия, необходимого для внедре­ ния пуансона. Общее усилие внедрения Р представляем в виде суммы трех слагаемых:

где р-=1 — значение рр, определяемое уравнениями (11.73) и

(11.75а) при р = 1. Опуская громоздкие выкладки, приводим результат интегрирования уравнения (11.77) (при этом вместо а и с подставлены их численные значения)

Рх = яг2 Г0,09<т/к -f- 0,67<хт — 7,85т] BLZLL_(_ 0,30 (1,5ы — 2,5ti) +

с плоским торцом — на условной поверхности контакта), согласно

где тк — касательное напряжение на контактной сферической поверхности. Согласно (11.63) для тк имеем:

тк = 1,57а(Кфе_ч>.

В результате интегрирования получаем

Р2==яг2-0,86ст,к. (11.80)

При определении Р3 полагаем касательные напряжения на контактной боковой цилиндрической поверхности пуансона из­

пытания цилиндрических образцов на растяжение, приведены выше. Диаметр пуансона равен 13,5 мм. Рассчитываем для раз­ ных значений относительной глубины внедрения пуансона hid : 0,1; 0,25; 0,5; 0,75; 1,0; 1,5 и 2,0. По формуле (11.48) определяем значения рг, соответствующие hid < 1, при h&s d, как указано

выше, рг = 5.

Деформацию г\ на условной внутренней границе зоны пла­ стической деформации вычисляем по формуле (11.55). Исполь­ зуя зависимости (11.56) — (11.58), находим значения Т), м, о/к;

/ принимаем равным 0,05 и 0,1. Зная <г/к, рг, т| и и для каждой стадии деформации, а также <хт и /, по формуле (11.82) вычисляем общее и удельное усилие. Результаты расчета сведены в табл. 17.