книги / Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов

4б2 R

Шг г

На оси симметрии отношение R/r неопределенно (0/0). Эта неопределенность раскрывается. Предел отношения r/R на оси симметрии равен drldR. Следова­

тельно,

к ее расстоянию г от той же оси в рассматриваемой стадии про­ цесса), то можно определить значения главных компонентов деформации, направление главных осей и интенсивность ито­ говой деформации.

Для определения главных компонентов деформации ис­ пользуется теорема о преобразовании элементарной сферы ра­

£ = W ( - 3 - ) ' + ( - | - ) ‘ + 2 T - +

+ / ( * ) ■ + « * - ) ■ - * # •

(13.64)

Главные компоненты результативной деформации:

Индексация главных компонентов проставляется после опре­ деления их величин. Для контроля используется условие по­ стоянства объема ва + еь + е0 = 0.

Интенсивность деформированного состояния определяется по формулам (13.16).

Для определения направления главных осей результативной деформации можно воспользоваться формулой

где а — угол между осью симметриями направлением первой глав­ ной оси результативной деформации.

Таким образом, деформированное состояние материальных частиц по всему сечению заготовки может быть полностью опре­ делено.

При выполнении условий монотонности протекания процесса формоизменения можно по деформированному состоянию судить о напряженном состоянии частиц или всего тела в данной стадии процесса, не только в случае, когда = const по всему объему тела, но и в случае, когда необходимо учесть упрочнение, пере­ менное по объему деформируемого тела.

Установим связь между компонентами напряжения и дефор­

напряжение на площадке, перпендикулярной оси 2с, которая лежит в меридиональной плоскости сечения. Естественно, что оа, аь и ад — главные компоненты напряжения, действующие в окрестности рассматриваемой точки М.

Вычисление значений компонентов самого тензора напря­ жений требует привлечения уравнений равновесия, которые всегда можно привести к виду:

Правые части этих равенств содержат только компоненты девиатора тензора напряжений и их производные по координа­ там. Действительно, тгг — один из компонентов девиатора, а ar — cr0 = (ar -f p) — (<т0 + p) — разность компонентов девиа­ тора. Вычисление значений самих компонентов девиатора, когда известна хотя бы приближенная геометрия данного процесса формоизменения, обычно не встречает затруднений. Однако можно встретить существенные трудности при определении значений их производных по координатам. Преодолеть эти трудности можно за счет некоторой потери точности. Поскольку

21Ч In аb

изменяется по объему деформируемого тела обычно значительно менее резко, чем -4а, то в пределах малой частицы тела, равнове­ сие которой исследуется, переменностью множителя (оа— <уь) в выражениях производных по координатам касательного напря­ жения можно пренебречь

Следовательно, система уравнений равновесия (13.71) может быть приведена с практически приемлемым приближением к виду:

Таким образом, проблема определения компонентов тензора напряжения сводится к определению значений производных угла наклона большой оси эллипса к положительному направлению оси симметрии по координатам. Если бы они были известны хотя бы в зонах интересующих нас сечений деформируемого тела, то для этих зон с помощью уравнений (13.72) можно было бы вычислить значения всех компонентов напряженного состояния. Практически почти в любом деформируемом теле имеются хотя бы небольшие участки поверхности, свободной от внешней на­ грузки. Следовательно, тогда можно найти такую точку в теле, в которой одно из главных напряжений равно нулю. Зная в этой точке значения разностей главных напряжений, можно опре­ делить значения и самих напряжений сг0, оа и оь. Зная 4 а, далее можно определить значения компонентов напряженного состоя­ ния в этой точке в данной цилиндрической системе координат:

Определив значения компонентов напряжения в одной точке деформируемого тела, можно определить напряженное состояние и в любой другой точке данного тела. Покажем это.

Пусть для точки А известны значения компонентов напря­ жения. Воспользовавшись уравнениями (13.71), определим зна­ чение рг в точке С, имеющей общую координату г с точкой А и общую координату г с точкой В, т. е. zc — zA; rc = гА. В этом случае координата z будет оставаться неизменной на прямой АС,

ГА

Считая компоненты девиатора тензора напряжений извест­ ными по всему объему тела, а следовательно, и в точке С, получим

(Рг)с — [рг + К + р) ~ (°г + р)1с-

Правые части этих равенств зависят от величин, значения которых могут быть определены для любой узловой точки деформирован­ ной сетки: 1. значения производных текущих координат по на­ чальным, по формуле (13.61); 2. отношения r/R при обработке деформированной сетки; 3. компоненты девиатора тензора напря­ жений равенствами (13.70).

Приближенные значения производных величин (аг — аг) и хгг по начальным координатам определяются теми же приемами, что и при определении производных текущих координат по началь­ ным, поскольку сами эти величины можно считать известными для любой узловой точки деформированной сетки [см. уравнения (13.69)]. Следовательно, значения производных по начальным

Вычитая их первых трех равенств системы (13.70) р, опре­

Таким образом, напряженно-деформированное состояние любой материальной точки, расположенной на меридиональном сечении приближенно монотонно деформированного тела, полностью опре­ деляется, если известны значения параметров деформированного состояния r/R, a/b, а и установлена функциональная связь между интенсивностями напряженного о, и деформированного состоя­

исследования слоистых материалов и разберем основные прин­ ципы оперирования со слоистыми моделями вообще и со слои­ стыми пластилиновыми и металлическими моделями в частности.

При проектировании новых или улучшении существующих технологических процессов обработки металлов давлением не­ избежно наталкиваемся на необходимость возможно точного и тщательного анализа процесса деформации формоизменяемого тела и его напряженного состояния в отдельных зонах или во всем объеме в целом. Поскольку в подавляющем числе случаев анализ этот при современном состоянии математической и при­ кладной теории пластичности не может быть проведен полностью аналитическим путем, нам остается применять при решении по­

ровайного состояния Пластилиновой модели и металлической детали исходя, с одной стороны, из геометрического подобия их формоизменения, а с другой — из известной по данным испыта­ ний на простое растяжение диаграмме о;—е( для металла. Иначе говоря, в первом приближении этой диаграммой можно восполь­ зоваться при определении at по значению е{ для пластилина на том основании, что стадии конечного формоизменения для обоих материалов определяются по чисто геометрическим признакам,

верхности тела и получаем значения нормального обжимающего заготовку усилия, а также (с поправкой на коэффициент трения) касательную силу формоизменения. Как видно, задача в целом решается одним из классических методов прикладной теории пла­ стичности.

На рис. 65, а приведен эскиз деревянного штампа для модели­ рования на слоистом пластилине процесса изготовления холодно­ прессовой штамповкой осесимметричного изделия в виде цилиндра с двумя цапфами. Разрез пластилиновой слоистой заготовки пред­ ставлен на рис. 65, б. Промежуточная стадия процесса прессова­ ния (нижняя цапфа изделия не успела еще сформироваться в ниж­ нем неподвижном контр пуансоне) представлена после физического меридионального реза пластилинового многослоистого полуфабри­ ката, помещенного в разъемную половину направляющего ци­ линдра деревянного штампа (рис. 66).

Несмотря на ряд преимуществ по сравнению с другими моде­ лями композиций из различных искусственно скрепленных эле­ ментов (модели из разнородных металлических дисков, труб или пластин, спаянных друг с другом или механически скрепленных