книги / Многофазный поток в скважинах
..pdfНедонасыщенный нефтяной пласт
Рис. С.1. Типичная фазовая диаграмма [2]
Чтобы найти константу равновесия для идеальных смесей при низком давлении (обычно ниже 5,17 бар), можно объединить закон Рауля с законом Дальтона. При по стоянной температуре данное выражение будет иметь вид:
Ki = ! = % |
(С.2) |
где pvi — давление г-го компонента газа (бар), а р — общее давление системы (бар). Давление любого углеводородного компонента газа зависит только от температуры.
Уравнение (С.2) предполагает, что, согласно закону Рауля, жидкость обладает идеаль ным фазовым поведением, а согласно закону Дальтона, газ также наделен свойствами идеального раствора.
Константа равновесия для реальных растворов зависит не только от давления и температуры, но и фазового состава углеводородной смеси. При композиционном моделировании важно правильно установить физические свойства газовой и жидкой фаз, после чего можно рассчитывать константы равновесия каждого компонента, харак теризующие его долевое содержание в газовой и жидкой фазах. В разделе С.7 подроб но обсуждается метод расчета констант равновесия на основе уравнений состояния. Для приближенной оценки данных констант в качестве альтернативного метода можро применять диаграммы чистых компонентов, таких как на рис. С.2.
Далее рассмотрим метод расчета молярных долей каждого компонента равновес ной системы, основанный на концепции мгновенного газовыделения.
С.З. Расчеты на основе концепции мгновенного газовыделения
Данные расчеты опираются на понятия общего и частного молярного балансов. Важнейшим шагом является определение параметров, фигурирующих в уравнении ма териального баланса:
F — количество молей сырья,
L — количество молей жидкости, V — количество молей газа,
zi — молярная доля i-ro компонента в смеси сырья, х\ — молярная доля i-ro компонента в жидкой фазе, yi — молярная доля i-ro компонента в газовой фазе, п — общее количество компонентов в смеси сырья.
Уравнение общего материального баланса имеет вид:
F = L + V. (С.З)
Материальный баланс для отдельного компонента смеси выражается формулой:
ZiF = XiL + yiV. |
(С.4) |
Уравнение (С.З) можно преобразовать к виду: |
|
|
(С.5) |
С.3.1. Фаза жидкости |
|
Подставляя в уравнение (С.4) вместо yi и L /F |
выражения из уравнений (С.1) |
и (С.5), находим значение х *: |
|
ZjF - y{V |
(C.6) |
х { = |
|
L |
|
После упрощения получаем следующее уравнение для расчета молярной доли i-ro компонента в жидкой фазе:
Х{ — |
Zj |
(С.7) |
|
||
1 + |
|
- 1) |
С.3.2. Фаза газа
Аналогично расчетам, проведенным для газа, для жидкой фазы сначала необхо
димо разрешить уравнение (С.4) относительно |
у *, подставляя |
в него выражения из |
||
уравнений (С.1) и (С.5): |
|
|
Vj_ |
|
|
Z{F |
|
||
|
Ki |
|
||
Vi = |
ZjF - XjL |
|
(C.8) |
|
V |
V |
|
||
|
|
|
||
Таким образом, получим: |
|
|
|
|
|
Vi = _____ZjFj____ |
|
(C.9) |
|
С.3.3. Алгоритм решения
Обращаем внимание, что для решения уравнений (С.7) и (С.9): необходимо найти значение V / F Для этого запишем соотношения для молярных долей:
пп
= |
^ 2 Vi = !.0 |
2=1 |
2= 1 |
или
п
^ ( У г - х г) =
2=1
С учетом данных выражений объединим уравнения (С.7) и (С.9):
п |
п |
1) |
V |
|
|
^ ( У г - |
Zi ( Kj - |
= 0. |
(С. 10) |
||
х г) = |
= / |
F |
|||
|
(К г - 1 ) ^ |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Данное уравнение часто называют уравнением Рашфорда и Райса. Чтобы с его помощью найти значение V/F, необходимо знать значение коэффициента К . Необ ходимо помнить, что сами по себе значения К не зависят от состава фаз. Поскольку в расчетах, основанных на концепции мгновенного газовыделения, состав фаз неизве стен, также неизвестными являются значения зависимых переменных. В связи с этим уравнение (С. 10) характеризуется высокой степенью условности и трудоемкостью вы числений.
В данном разделе приводится алгоритм расчета уравнения Рашфорда и Райса, в ко тором предполагается, что на каждом шаге вычисления V/F можно найти значение К.
Чтобы решить уравнение Рашфорда и Райса относительно V/ F с допустимой точностью (погрешностью сходимости (10-6 ) [2], можно применить схему сходимости Ньютона-Рафсона [4], при этом надо знать значения следующих параметров:
•количество компонентов, п.
•молярные доли каждого компонента в сырьевой смеси, Z{.
•константы равновесия для каждого компонента, К{.
•начальное значение (V/F)j (индекс j означает порядковый номер шага итерации).
Например, если в качестве начального значения (V/F)j взять число 0,5, следующее значение (V/F) можно рассчитать по формуле:
|
(С.11) |
Значение производной f f{V/F) |
находят путем дифференцирования уравнения (С. 10) |
по V/F: |
|
/ ' |
(С. 12) |
Сходимость достигается при выполнении условия:
V |
< 1,0 • 10_6 |
(С. 13) |
|
F |
|||
|
|
После достижения сходимости, на основании уравнения (С.7), а также с учетом уравнения (С.1) или (С.9), можно определить состав каждой фазы.
Для применения описанного алгоритма необходимо знать значения К{ при опре деленной температуре, давлении и составе каждой фазы. Как говорилось ранее, су ществует несколько методов определения значений К , одним из которых является ис пользование диаграмм, например таких, как на рис. С.2. Тем не менее рекомендуется рассчитывать значения К на основе уравнений^состояния. Данный метод будет приве ден в разделе С.7.
С.4. Кривые насыщения и начала конденсации
При температуре ниже критической кривая насыщения отделяет однофазную жид кость от двухфазной области. Таким образом, давление насыщения — это такое дав ление, при котором жидкость не испаряется. При давлении насыщения вся сырьевая масса находится в жидком состоянии, а фазы газа еще не существует. То есть V = 0 и Z{ « Х{. Следовательно, уравнение (С.9) сводится к виду = Z{Ki и
пп
У ^ Уг = |
У ^ Z,jKj — 1- |
(С .14) |
г=71 |
2=72 |
|
Кривая начала конденсации (рис. С.1) отделяет однофазный газ от двухфазной области. Для одной и той же температуры может существовать два значения давления начала конденсации. При давлении начала конденсации L = о, V = F и Z{ « гц.
Следовательно, уравнение (С.7) сводится к виду:
|
|
Х{ = Ж, |
(СЛ5а) |
|
И |
|
|
|
|
Х |
1> |
= Е |
1 | : = 1- |
(С.15Ь) |
2—1 |
2=1 |
|
|
|
Давления насыщения и начала конденсации также можно рассчитать с помощью итерационного метода. Данный процесс носит итерационный характер при любой тем~ пературе ниже критической точки. Обратите внимание, что при давлении насыщения или начала конденсации углеводородная смесь существует я ВИде одной фазы. В этом случае состав сырьевой смеси будет соответствовать фазовому составу. Необходимо итерационно рассчитать значение давления и на его основу определить значение коэф фициента К для каждого компонента сырьевой смеси по уравнениям (С. 14), (С. 15а) или (С.15Ь) в зависимости от того, какое именно давление (насыщения или начала конденсации) будет рассчитано. Для начального расчета значений К можно восполь зоваться корреляцией Уилсона [5], который получил следующее упрощенное термоди намическое выражение для оценки коэффициента К\
то подобранное значение давления насыщения слишком велико, поэтому на следующем шаге надо взять меньшее значение; если же
$ ] № ) > 1, |
(С.21Ь) |
г = 1 |
|
то подобранное значение давления насыщения слишком мало, поэтому на следующем шаге надо взять большее значение.
С.6. Давление начала конденсации
Начальное значение давления конденсации можно подобрать путем объединения уравнений (С. 15а), (С. 15Ь) и (С. 16):
Pci exp 5 ,3 7 ( 1 + w,)
(С.22)
Zi.
После этого необходимо рассчитать значения К по уравнениям состояния и подставить их в уравнения (СЛ 5а) и (С.15Ь), чтобы удостовериться, что данное уравнение сходится с приемлемой степенью погрешности. В этом случае итерационный процесс прекра щается, иначе — подбирается новое значение давления начала конденсации с учетом условий: если
(С.23а)
то подобранное значение давления насыщения выше действительного; если же
(С.23Ь)
то подобранное значение давления насыщения ниже действительного.
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнута сходи мость решения с достаточной степенью точности.
С.7. Константы равновесия в уравнениях состояния
Вбольшинстве случаев для реального многофазного потока углеводородной смеси
втрубах принимаемые допущения, необходимые для вывода уравнения (С.2), являются
несправедливыми. В любой точке трубы смесь углеводородов и жидкости находится в равновесии со смесью газа. На фазовое поведение оказывают влияние такие парамет ры, как давление, температура и состав каждой фазы. Одной из главных проблем при проведении расчетов, основанных на концепции мгновенного газовыделения, является определение состава каждой фазы на основе значений давления и температуры, а также
общего состава смеси. Таким образом, константы равновесия К зависят от параметров смеси:
К = f(p,T, Zi). |
(С.24) |
Значения констант равновесия можно рассчитать на основе термодинамического равновесия между газом и жидкостью. Такое равновесие зависит от летучести компо нентов каждой из фаз. С физической точки зрения, если летучесть компонента в каждой фазе одинакова, между фазами не осуществляется переноса массы данного компонен та, они находятся в термодинамическом равновесии. Таким образом, условием термо динамического равновесия между газом и жидкостью является равенство летучестей каждого компонента в обеих фазах:
^ = / Л ^ = 1. |
(С-25) |
где / — летучесть, V — фаза газа, L — фаза жидкости, п — количество компонентов |
|
в смеси. |
|
Летучесть беспримесного компонента равна: |
|
/ = рехр |
(С.26) |
здесь / — летучесть (бар); р —давление системы (бар); Z —коэффициент сжимаемости. Очевидно, что летучесть измеряется в тех же единицах, что и давление. Летучесть также можно рассматривать как модифицированное давление газа, характеризующее склонность молекул к переходу из одной фазы в другую. Отношение летучести к дав лению системы называют коэффициентом летучести, Ф, а его значение находят по
уравнению (С.26) для беспримесных компонентов.
В случае тройного равновесия между углеводородами, жидкостью и газом коэффи циент летучести г-го компонента в каждой фазе зависит от давления системы, фазового состава и температуры. Коэффициент летучести любого компонента смеси в фазе газа равен:
f v |
(С.27а) |
ФГ - - ± ~ , |
{ViP)
в фазе жидкости:
<с27ь>
где ФУ — коэффициент летучести г-го компонента в газовой фазе, а Ф^ — коэффициент летучести г-го компонента в фазе жидкости.
Поскольку при термодинамическом газожидкостном равновесии выполняется условие /У = /-L, значения для констант равновесия можно найти по формуле:
(С.28)
х г фУ '
?
Коэффициенты летучести для каждого компонента всех фаз смеси находят на основе уравнения состояния.
С.8. Кубические уравнения состояния
Уравнение состояния — это аналитическое выражение зависимости давления от температуры и молярного объема флюидов. Примерами уравнений состояния являются законы реального и идеального газа, описанные в приложении В. Закон идеального газа предполагает, что объем молекул незначителен по сравнению с объемом сосуда, в котором находится газ, и между молекулами не действуют силы притяжения или отталкивания.
Применение кубических уравнений состояния не несет подобных ограничений, по этому их можно использовать для описания как жидкой, так и газовой фаз. Из названия «кубическое уравнение» следует, что в таких выражениях переменные, обозначающие объем, могут иметь третью степень. Общее кубическое уравнение состояния имеет вид:
_ R T ___________ а______ _
(С.29)
рV - Ъ V 2 + ubV + wb2
Здесь V — молярный объем. Если вместо V употребить коэффициент сжимаемости Z, то, согласно закону реального газа, получим альтернативную форму кубического уравнения состояния:
Z 3 - |
(1 + В * — uB *)Z 2 + |
(А* + wB*2 - и В * - uB*2) Z |
- |
|
|
|
|
- |
А*В* - |
w B *2 - |
wB*3 = О, (С.ЗО) |
где А* |
= a p /R 2T 2\ В * = |
bp/RT; р — давление |
системы (бар); |
Т — температура |
|
системы (° R); R — газовая постоянная (0,046 бар-м3/кгмоль-° R); V — молярный объем (м3/моль). Параметры а и b характеризуют молекулярные свойства компонентов: силу межмолекулярного притяжения и объем молекул соответственно.
Внастоящее время используются четыре кубических Уравнения состояния [9-14]: Ван-дер-Ваальса, Редлиха-Квонга (РК), Соаве-Редлиха^Квонга (СРК) и П енга-Ро бинсона (ПР).
Втаблице С.1 приведены целочисленные значения параметров и и w, фигуриру ющих в уравнениях (С.29) и (С.ЗО). Значения параметров Q и b рассчитаны на основс результатов исследования Ван-дер-Ваальса [9], согласно вторы м наклон критической изотермы равен нулю, а в критической точке существует Перегиб. В критической точке выполняются условия:
др
(С.31а)
DV
и
(С.31Ь)
Соаве [11], Пенг и Робинсон [12] опирались на этй условия при расчете пара метра а, а затем модифицировали результирующее выра>КеНие с учетом коэффициента ацетричности, чтобы получить значения давления беспрйМесных углеводородных га зов. В таблице С.1 параметры Тс и рс отвечают соответственно критической температу ре и критическому давлению беспримесного компонента, Тг — приведенной темпера туре, LU — коэффициенту ацентричности беспримесного компонента. Часто для расчета коэффициентов фазовой сжимаемости и летучести прим елю т альтернативные формМ данных уравнений состояния.