книги / Управление колебаниями

угла ср. Возмущающие члепы в правой части уравнения (2.1.17) имеют порядки б и еФ соответственно. Если Ф ~ 1, то при в —*■0, 6 -> 0 уравнение (2.1.17) переходит

всущественно нелинейное уравнение маятника. Случай нелинейных певозмущенных уравпений рассматривается

вглавах 3, 4. Здесь же, ограничиваясь квазилинейными системами, будем считать Ф малым и потребуем, чтобы

чающийся при разложении sin ф по ф, не превосходил возмущающих членов в правой части уравнения (2.1.47). Это приводит к условиям Ф3 < б, Ф2 ^ s. Указанным ограничениям, наложенным па малые параметры е, б, х, Ф, следует удовлетворять при исследовании конкретных

Здесь е — малый параметр, ф*, их, щ — величины по­ рядка едипицы. После подстановки (2.1.18) и отбрасывапия малых величин высших порядков уравнение (2.1.17) примет вид квазилинейной одночастотпой систе­ мы (2.1.7)

Здесь отброшены слагаемые порядка в2 и выше. Рассмотрим частный случай перемещения точки под­

веса в вертикальной плоскости. Если ускорение точки подвеса (wx, wy) направлено вдоль прямой, наклонен­ ной под постоянным углом б к горизонту (рис. 2 .1 ), то

72 УПРАВЛЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ [ГЛ. 2

Здесь Mi (£ = 4, 2, 3) — проекции вектора угловой ско­ рости на связаппые оси; 7, 73 (7 Ф / 3) — главные цент­ ральные момепты инерции, предпо­ лагаемые далее постоянными (7 — экваториальный, 73 — осевой момен­

ты лперцни); — начальные дан­ ные. Управляющие момстгты и,- считаются независимыми н огра­

ниченными: |щ | и®, и? >■ 0 . Условие малости управляющих воз­ действий означает, что пх работа

^за время оборота тела мала по срап-

Pnc- 2.1 . пеппю с начальным значением Е° кинетической эпергии Е, т. е.

и“ < £ » , « ^ ( и Г + иГ + иГ)1"

Это предположение позволяет ввести малый параметр в уравнениях движения (2 .1 .2 1 ) при помощи перехода к безразмерным переменным л параметрам по формулам

Здесь в качестве постоянной ш° взято начальное зна­ чение модуля угловой скорости вращения. Величина 1 удовлетворяет неравенствам 0 ^ 7 < 2 . Делением уравне­ ний. (2.1.21) на 7 и введением новых переменных сог-

Ф(«) = J v{et')dt'

о

систему (2.1.28) можно привести к другой стандартной форме, а именно к виду (2.1.12). Получим

а = с(ихcos (р + и2sin <р), а (0 ) = <0 ?, ^ ^ ^

6 = s (— ихsin tp + щ cos ф), 6 (0 ) = cog*

В последующих параграфах главы 2 и в главе 4 ста­ вятся и решаются задачи оптимального управления для ряда управляемых систем типа (2 .1 .6 ), в частности, для систем, приведенных выше.

§2 . Построение оптимального управления

взадачах с фиксированным временем

1.Постановка задачи управления. Рассматривается управляемая система стандартного вида (2.1.6). Пусть

равления привести фазовую точку (а, ф) системы (2 .1 .6 ) па многообразие, определяемое соотношениями

М Ш ), ф(7’)) = 0, М=Ш \, ..., Mt), Z < n + 1 , (2.2.1)

таким образом, чтобы достигал минимума интегральный функционал

Заданпые функции М, g и G предполагаются доста­ точно гладкими по всем аргументам и 2 я-периодичпыми по ф.

Предположим, что поставленная задача оптимально­ го управления имеет решение и применим к пей припцип максимума [176]. Имеем

пая переменпая, сопряженная ф; t&[to, Т]. Предполо­ жим, что особые управления отсутствуют, т. е. первое соотношение (2.2.3) позволяет однозначно определить

Функция и предполагается достаточно гладкой и 2я-периодической по ф. Подставим выражение для оп­ тимального управления и* (2.2.4) в первое соотношение (2.2.3). Получим

Я*(р, q, а, ф, т, е) = Я(р, д, а, ф, т, и(т, а, ф, р, д), е). (2.2.5)

Согласно второму соотношению (2.2.3) функцию Я* можно представить в виде

Здесь h* представляет собой коэффициент при 8 в (2.2.3), в который подставлена функция и* (2.2.4).

В дальнейшем будут использованы следующие ра­ венства частных производных функции Гамильтона Я из (2.2.3) по р, д, а, ф, вычисленных при и* из (2.2.4), частным производным функций Я* из (2.2.5)

(2.2.7) в этом случае следуют из известных свойств диф­ ференцируемости функции максимума, см., например, [781, стр. 34—35. Вычислим производные dh*/da, dh*/dф.

Используя соотношения (2.2.7), (2.2.8), выпишем ка­ ноническую систему уравнений краевой задачи принци­

Согласпо (2.1.6), (2.2.1) п (2.2.2) начальные и граппчпые условия, определяющие решение краевой задачи, имеют вид

* (*о) = *°, * Л) = Л М (* (Г), + (Т)) = О,

(2 .2 .10)

Р ( Г ) = ± [(X, М ) - г ] (. т , я ( Т ) = щ [(X, М ) - г ],_ т .

Здесь А, — постоянный Z-вектор, исключаемый в про­ цессе решения краевой задачи (2.2.9), (2.2.10) (см. §§ 1, 2 главы 1). Решение поставленной краевой задачи прин­ ципа максимума может быть неединственио; тогда он-

§21 ЗАДАЧИ С ФИКСИРОВАННЫМ ВРЕМЕНЕМ 7 7

тимальиос управление и* выбирается из условия мипимума функционала J (2.2.2).

"Отметим, что для квазилинейной колебательной си­

саны необходимые условия оптимальности принципа максимума.

2. Каноническая замена переменных. Так как га­ мильтонова система (2.2.9) есть стандартная система с вращающейся фазой, то к ней применим метод усредне­

ния но переменной i|\ Как известно, метод усредпенпя связан с заменой персмеппых, исключающих фазу из правой части уравпеппй системы с заданной степенью точности по е для £ ~ е -1. Прп гладкости правой части такая замена определяется решением некоторой последо­ вательности дифференциальных уравнений в частных производных. Интегрирование указанных уравнений при­ водит к произвольным функциям медленных перемен­ ных, видом которых можно распорядиться пз соображе­ ний удобства исследования новой (усредпеппой) систе­ мы [63J. Для исследования задачп Коши в случае ма­ лого периодического по времени t гамильтониана вида e/i(p, .г, t) (х — коордппата, р — пмпульс, е — малый па­ раметр) авторы работ [210, 59] распорядились указан­ ной неоднозначностью так, чтобы усредненная система также имела капоннческую форму. Тогда усредненный гамильтониан даст первый интеграл системы, а ото по­ зволяет сделать качественные выводы относительно по­ ведения системы на большом интервале времени t.

Система (2.2.9) имеет гамильтонову форму с гамиль­ тонианом (2.2.6). Поэтому представляется естественным развить аналогичный метод канонического усродпеыня по фазе т|). Этот прпем для ряда довольно сложных слу­ чаев системы (2 .1 .6 ) позволяет существенно упростить построение решения краевой задачи пршщппа максиму­ ма (2.2.9)—(2.2.10). Действительно, порядок усреднен­ ной системы уменьшается на два; медленные перемен­

78 УПРАВЛЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫМИ КОЛЁБАЙИЙМИ I fЛ, 2

сохраняется. В результате усреднения порядок интегри­ руемой системы может быть уменьшен на три, причем система остается автономной. В частности, для системы с одной степенью свободы решение краевой задачи ча­ сто приводится к квадратурам и конечным уравнениям относительно независимых параметров — постоянных ин­ тегрирования.

Переходим к построению усредненной системы. Бу­ дем строить такую унивалентную каноническую замен)' [6 8 , 126] переменных (a, ф, р, q) на новые (усреднен­ ные) переменные (f, ср, т), р), характеризуемую произ­ водящей функцией £(т, я, ф, т), е)

чтобы новый (усредненный) гамильтониан К не зависел от усредненной фазы <р. При этом в пулевом приближе­ нии (при е = 0 ) старые и новые переменные должны совпадать.

Производящая функция S и новый гамильтонпап К связаны соотношением

J T +Н*( я ? . Ц. « . * « ) '= * <Л, Р, 1 , » . е). (2 .2 .12)

где tf*(p, q, а, ф, т, е) — гамильтониан системы (2.2.9). Уравнение (2.2.12) с учетом представлений (см. (2.2.6), (2 .2 .1 1 ))

S = (а, ц) + фР + еа (т, а, ф, rj, 0 , е),

Р = Л + е £ , д = р + е ^ ,

(2.2.13)

К = v (т) рН- е/с (т,|,Т1, р, е)

приводится к виду

= * ( т1 * + ^ , *1. Р. в). (2.2.14)

УПРАВЛЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ 1ГЛ; 2

Таким образом, для построения усредненной системы ( / + 1 )-го приближения нуяшо вычислить первые ; + 1 коэффициентов разложений (2.2Л5) при помощи выра­ жений (2.2.18), (2.2.19). Так как в усредненной системе будут при этом отброшены члены порядка ej+2, то ее иптегрнроваипе приведет, вообще говоря, к погрешности

\J\ р, q с такой же погрешностью 0(ej+1) требуется поело

Oj в разложении (2.2.15) приводит согласно (2.2.13) к так называемому улучшенному (;' + 1 )-му приближению ре­ шения исходной системы — оно удовлетворяет исходпой системе с погрешностью 0(ei+2) [46, 63]. Отметим, что общее решепие усредненной системы может быть пост­ роено квадратурами иа основе известного общего реше­ ния первого приближеппя [63].

Пусть по формулам (2.2.17) — (2.2.19) вычислены жи эффицпенты разложепнн (2.2.15) для о,-, к{ при ь=0, 1, . ••, /. Производящая функция S и усредпеппый га­ мильтониан К нз (2.2.13) тем самым вычислепы с точ­