книги / Управление колебаниями

Б ограничения на управление отсутствуют, а в вариан­ тах А, В отсутствуют краевые условия. Функция Га­ мильтона для задач А, Б имеет вид

II = qv + бл!-1(н + Du)w — sGu2,

Исходная краевая задача принципа максимума вида (2.2.9), (2.2.10) для вариантов А, Б из (2.2.53) описы­ вается уравнениями и краевыми условиями

УПРАВЛЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ 1ГЛ. 2

Переходим к построению решепия первого прибли­ жения, которое дает качественную картину процесса уп­ равления и обеспечивает ошибку порядка в на большом интервале времени. Соответствующая (2.2.56) усредиепная краевая задача первого приближения имеет вид (см. 2.2.22), (2.2.27))

Оо

В(2.2.57), (2.2.58), обозначено

Отметим, что интегрирование уравнений (2.2.57) сво­ дится к квадратурам, если их правые частя не зависят от т. Решение краевой задачи (2.2.57) находится пол­ ностью также в случае, когда функция / 0с линейно за­ висит от Тогда уравнение для переменной т) линейно по rj и не содержит |. Его решение находится явно квад­ ратурой и подставляется в линейное уравнение для которое интегрируется в квадратурах.

Приведем решение краевой задачи (2.2.57) для част­ ного случая

то пз краевого условия' (2.2.57) для т) получим |(0 -► 0

Усредненная фаза управляемых колебаний для задач

где Q ( T ) имеет смысл возмущенной частоты. Оптимальное программное управлений в силу (2.2.29),

(2.2.61), (2.2.65) равно

ц * = с -х(е -т) cos (р (t). (2 .2 .66 )

Для определения управления (в форме синтеза сог­ ласно п. 3 в (2 .2 .6 6 ).. нужно подставить выражение (2.2.62) шш (2.2.64), в которых ‘нужно сделать замены 0 на 0 — т, д° на а, а также ф(*) иa i|>.

I Я ЗАДАЧИ С ФИКСИРОВАННЫМ ВРЕМЕНЕМ 95

Как следует из вида уравнения (2.2.70) для rj, функ­ ция цСт) знакопостоянна при £(0 ) Ф 0 .

Для анализа краевой задачи (2.2.70) отметим следу­ ющее свойство функции /ос из (2.2.59), вытекающее из

требования гладкости функции / 0(т, х, х) н замены пе­ ременных (2.2.51). Это свойство заключается в том, что /ос ~ I при всех т и достаточно малых |. Отсюда следу­ ет, что знак правой части первого уравнения (2.2.70) при малых | определяется знаком тр

Опираясь на это свойство, исследуем решение крае­ вой задачи (2.2.70) для функционала В из (2.2.53). Сна­ чала рассмотрим случай знака «—» в функционале, от­ вечающий максимизации амплитуды колебаний, и по­ кажем, что при этом краевая задача (2.2.70) удовлетво­

удовлетворяется за счет нормировки функции TJ( T ). Та­ ким образом, усредненная оптимальная траектория £(т)

минимизации амплитуды колебаний. Предположим сна­

решение задачи Коши для первого уравнения (2.2.70) при sign rj = — 1 обладает свойством £(т) > 0 для всех т<=[0, 0]. В этом случае оптимальное управление имеет

вид и* —— UQsign cos <p(i) или и* = — щ sign х при всех т <= [0, 0]. Если же при подстановке sign ц = — 1 в пер­ вое уравнение (2.2.70 ) получим, что ||(т*) = 0 в неко­ торый момент т* е (0 , 0 ), то имеем случай особого уп­ равления: здесь t)sO на части интервала движения, на которой оптимальное управление и* из (2.2.71) не опре­ делено. В этом случае достигается абсолютный (нуле­ вой) минимум функционала первого приближения

9fi УПРАВЛЕНИЕ КВЛЗШПШЕШШМИ КОЛЕБАНИЯМИ [ГЛ. 2

h = % 12(0) = 0. В качестве функции sign i] в первом уравнении пз (2.2.70) можно взять произвольную кусоч­

минимум функционала, неедипствеппо и может быть взя­ то в виде (212.71), (2.2.72).

Отметим, что исследование других задач при полгогцп развитой в § 2 методики содержится в- § А главы 2 ,

атакже в главе А.

§3. Задачи типа оптимального быстродействия

1.Постановка задач оптимального управления с не­ фиксированным временем. Рассматривается, задача опти­ мального .управления системой в стандартной форме с вращающейся фазой типа (2.1.6). В отлично от поста­ новки задачи § 2 будем считать, что момент окончания процесса Т не задан, а выбирается из, условия достиже­ ния фазовой точкой многообразия, задаваемого . соотно­ шениями

В качестве мпппмпзпруемого функцпопала возьмем скалярную функцию конечного значения медленных перемеппых

п в §§ 1, 2. Отметим, что расширением размерности век­ тора а к виду (2.3.2) приводится интегральный функцио­ нал типа (2.2.2). В частности, если многообразие (2.3.1) имеет вид а(Т)—а*, где а*— заданный вектор, a g = T, то получаем задачу максимального быстродействия в за­ данную точку по медленным переменным. Существенным предположением в рассмотренных постановке явлйется отсутствие зависимости функций М н g от быстрой пе­ ременной — фазы ф. Это допущение естественно п обыч­ но удовлетворяется в прикладных Задачах с малыми yrf-

§3] ЗАДАЧИ ТИПА ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ 97

равняющими воздействиями. При такой постановке вре­ мя быстродействия, как правило, имеет порядок = 0е-1 ~ е -1, что позволяет применить метод усреднения

аналогично § 2. Заметим, что так как для квазилиней­ ной системы (2.1.6) фаза ф определяется с той же сте­ пенью точности, что и медлеипыи вектор а, то принци­ пиально предлагаемая пшке методика позволяет рас­ сматривать случаи, когда функции M u g зависят от ф. Однако в этом случав может иметь место большое число (~ е-1) точек пересечения фазовой траектории а, ф с многообразном (2.3.1), что затрудняет решение. Сделан­ ное же выше предположение приводит к тому, что число этих точек не зависит от е при е 0.

Предположим, что решение задачи оптимального уп­ равления (2.1.6), (2.3.1), (2.3.2) существует п единствен­ но. Выпишем соответствующую краевую задачу принци­ па максимума, аналогичную (2.2.9), (2.2.10)

ф с периодом 2л, является достаточно гладкой, так что правые части стандартной системы (2.3.3) удовлетворяют

7 Ф. л . Черноусьно, Л. Д. Акуленко, Б. Н, Соколов

100 УПРАВЛЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ [ГЛ. 2

Краевая задача первого приближения описывается соотношениями, аналогичными (2.2.24) — (2.2.27)

Аналогично (2.3.12) определяется функция </^>. Пусть для заданного значения 0 решение краевой

задачи первого приближения (2.3.11) построено и един­ ственно

приближения (2.3.13) соотношениями (см. (2.2.15))

а = | + 0(e), р = “п + 0(e), ij) = ф + 0(e), q = 0(e).

Для определения неизвестного параметра 0 подста­ вим в последнее краевое условие (2.3.10) гамильтониан (2.3.4) и выражения (2.3.14)

(Л°(0), /*(*е, 1(0, 0), Ф(0, 0, е), 1]°(0), 0)) + 0 (e) =

= 7 ^ - U Ы , 1(0, в ) ) - ( Ц в ) , Л /(тв, 1(0, 0)))1. (2.3.15)

Рассмотрим сначала приближенное уравнение, полу­ чающееся из (2.3.15) после отбрасывания членов 0(e).