книги / Основы механики сплошной среды
..pdfвектором 6?f(a):
— dxaÊQ. |
(5.18) |
Заметим, что согласно (4.1) в данном случае Gaa = 1 + 2eQQ
И G(xf3 = 2£ас/5*
Найдём отношение 1а длин (3.57):
1с = l / t ^ T " f e = ^ |
= \/1 + 2е« , « 1 + |
(5.19) |
уUXQ A/Q ■
Таким образом, |
|
—Idrjc01 I |
|
||
-сш = |
i „ |
. |
|||
- - - -1Ц -= - - |
М1 |
||||
|
|
l-e f’l |
|
|
|
т. е. каждая диагональная |
компонента еа01 представляет |
собой |
|||
относительное удлинение координатного волокна, направленного по оси а. В этом состоит геометрический смысл диагональных компонент тензора малых деформаций.
Вычислим теперь угол (рар между координатными волокна
ми dr |
и dr №. Из (3.60) имеем |
|
|
|
|
||||
|
|
(fr*(a) • d f ^ |
|
|
|
|
|
||
C0SiPal3 = |df(«)| \d№ \ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
dxaEa *dxphjp |
|
|
Gap |
|
|
|
|
|
y/dxaÊa • |
dXaÊa^JdxpÊp ■dxpÊp |
|
|
|
|||
|
|
|
|
_ ________ ____________ |
%£a0- |
(5-21) |
|||
|
|
|
|
y / l + |
2 E aa •y/1 + 2epp |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ho |
COS (pap = |
sin(7r/2 - (pap) « |
7T/ 2 |
- <paj3 = ip^p - |
<PaP |
ибо |
|||
угол |
между |
координатными |
волокнами d r ^ |
и |
dr.0) |
||||
прямой. Итак, |
недиагональная компо |
|
|
|
|||||
нента еар равна половине угла ска |
|
|
|
||||||
шивания 7г/2 —ipap или половине раз |
|
|
|
||||||
ности углов между соответствующими |
|
|
|
||||||
координатными |
волокнами (рис. 21). |
|
|
|
|||||
В |
этом |
заключается геометрический |
|
|
|
||||
смысл компонент тензора деформаций со смешанными индексами.
Наконец, найдём отношение эле ментарных объёмов dV и dVo в данной
точке. Согласно формуле (3.59) для изменения объёмов
dV |
— = y/G — у/ 1 + |
2ец я |
1 + £jj = 1 + 0, |
(5.22) |
|
dV0 |
|||||
|
|
|
|
||
где |
в = £ц —tre = |
div Ü. |
(5.23) |
||
|
|||||
Величина 0 называется дилатацией или объёмным расшире нием-сжатием и является первым (линейным) инвариантом тензора малых деформаций е. Из (5.22) видно, что
dV - dV0
(5.24)
dVQ
т.e. 0 есть относительное изменение объёма в данной точке ').
Вэтом состоит геометрический смысл следа тензора деформа ций.
Вслучае малых деформаций, если не будет специальных ого ворок, будем иметь дело с прямоугольной декартовой системой
координат (с базисом ki), поэтому все индексы можно писать внизу, например: = tijk^ij-
Тензор 01/3 с компонентами 96^/Ъ будем называть шаровой частью тензора деформаций, а разность е —0£ /3 обозначать е. Таким образом,
Sij = eij + |
или |
e = e + ^9£. |
(5.25) |
След тензора g равен нулю: |
|
|
|
tre = tre —-^0trI = 9 —^ • 30 = 0. |
(5.26) |
||
О |
|
о |
|
Такой тензор называется девиатором. Из (5.26) следует, что девиатор и шаровая часть — взаимно ортогональные тензоры (их полная свёртка равна нулю).
Помимо линейного инварианта — дилатации 0 — определим согласно (4.49) квадратичный tre 2 и кубический |eÿ| инвари анты. Однако чаще всего в качестве квадратичного инварианта выбирается интенсивность деформаций еи > 0:
') Имеется в виду объём бесконечно малых окрестностей данной точки.
Выразим dete через инварианты в, еи и dete тензора дефор маций. Пользуясь (5.25) и (5.27), запишем
1е*я — eijkeue2je3k =
е*jk (tu ~ g
— k ij| — 2 |
д ( е ц £ 2 2 + |
£22^33 + ^33^11 — £?2 ~ е23 ~ |
eIl) + |
|
|||
g ^ 2 ( e l I + |
^22 + е 3 з ) |
— 2 7 — Ы |
— |
^ |
~ |
£i3£i j ) |
+ |
|
|
+ ^ |
^ |
= kijl + |
^ e 2 - ^ |
^ 3 |
|
Таким образом, detjg является кубическим инвариантом тензора деформаций.
Пусть известны компоненты тензора деформаций и тре буется определить соответствующие им перемещения. В этом случае на соотношения (5.5) можно смотреть как на систему шести дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка относительно трёх неизвестных функций щ. Естественно, система уравнений (5.5) не всегда является сов местной. Заметим, что для однородного деформированного со стояния
= |
е% — |
const |
|
решение имеет вид |
|
|
|
= |
£ % |
х 3 |
+ иЬ |
где |
|
И___ |
|
3 II — о |
II |
||
|
|
|
О |
(5.28)
(5.29)
(5.30)
Предположим теперь, что разыскиваемое поле вектора пере мещений й достаточно гладкое. Тогда выполняется тождество
Ыk. i j ^k, j i — 0. |
(5.31) |
Добавим в обе части (5.31) выражение и ^ к — Щлк-
'U'k.ij ^k,ji "Ь IHjk Ikj.ik = Щ,]к ^j,ik• |
(5.32) |
Из (5.11) имеем
Çlji = — |
—Uj,i)- |
(5.33) |
Дифференцируя равенство (5.33) по х* и учитывая (5.32), по
лучим |
j |
|
|
|
|
|
|
&ji,k —^ |
—uj.ik) — &ki,j ~ Ekj.i- |
|
(5.34) |
||
Продифференцируем ещё раз соотношение (5.34) по xf. |
|
|||||
|
^ji.kl = Ekijl |
£kj.il' |
|
(5.35) |
||
Левая |
часть (5.35) симметрична |
по индексам к и |
I, |
так что |
||
её свёртка с антисимметричным по к, I символом Леви-Чивиты |
||||||
равна нулю. Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
Epkl if-ki.jl |
Еkj.il} —0. |
|
(5.36) |
||
Умножим обе части (5.36) |
на |
e^j и просуммируем |
по г и j: |
|||
|
ëqijCpkl i^kijl ~~ Ekj.il) — ^EqijEpkl Eki.jl = 0- |
|
(5.37) |
|||
Уравнения (5.37) называются уравнениями совместности или
условиями совместности Сен-Венана.
Вводя симметричный тензор второго ранга ц, который назы вается тензором несовместности, с компонентами
Vij = Eikl CjmnEkn,lm> |
(5.38) |
уравнения совместности можно записать в виде [42]
% = 0. |
(5.39) |
Отметим, что условия совместности Сен-Венана (5.39) спра
ведливы как для малых, так и для больших деформаций, ес-
О
ли считать е симметричной частью тензора дисторсии Vu. Если задано векторное поле перемещений щ, то, находя из соотношений Коши (5.5) малые деформации е^п и подставляя их
в (5.38), (5.39), придём к тождествам |
|
2 ^ikl £jmn (Uk.nlm "Ь "l1n.klm) —0- |
(5.40) |
Поэтому соотношения (5.39) иногда называют тождествами Сен-Венана.
Тензор несовместности можно получить из тензора кривизны Римана [48]. Положим для актуальной конфигурации
(5.41)
’,И = _ 5 еШе1”",Й И т”
При этом согласно (3.90)
|
R k lm n |
= 2 ^ |
Qçb |
+ |
^ Im ^ k p -.n |
= 0. |
(5.42) |
|
|
|
|
|
|
М |
|
Считая деформации малыми и принимая ортогональную пря |
|||||||
моугольную систему координат, из (3.75) получим |
|
||||||
Г/т;» — £ |
д ( 6 1п + |
2 g;n ) |
д ( 6 т п + |
2gт п ) |
|
|
|
д?п |
|
д£1 |
|
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
&{Slm4~ 2g;m) |
|
—£ln,m Ч" £jnn,l £lm,n- |
(5.43) |
||
|
|
д£п |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
Тогда из (5.41) для малых деформаций имеем |
|
||||||
Vij = ^ikl tjm n (ëln.m k Ч" Emn.lk ~ |
£lm ,nk) ~ Z iklejm n ^Im .nk- |
(5.44) |
|||||
Используя тождество |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Sij Sim Sin |
|
(5.45) |
||
|
|
^ikl^jmn — S kj Skm Skn |
|
||||
|
|
|
Slj Sim Sln |
|
|
||
из (5.38), (5.39) получим |
|
|
|
|
|
||
TJij = 9 'ij + Д С у |
£ ik,kj |
£ jk,ki |
Ч" Æÿ(£fcJ.fc! |
A0) = 0. |
(5.46) |
||
Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор несовместности rç можно представить в виде разложения на шаровую часть и девиатор:
2 = 2 + | ^ / , |
Vij = |
riij + |
jri Sij, |
(5.47) |
где |
|
|
|
|
V = trg = |
щ , |
trig = |
0. |
(5.48) |
Из (5.46) следует, что |
|
|
|
|
V = е«.и - |
= 0. |
|
(5.49) |
|
Легко видеть, что если справедливы уравнения совместно сти (5.46), то справедливо уравнение (5.49) и уравнения
@,ij 4" AE{j —£{k,kj ~ £jk,ki ~ |
(5.50) |
Поэтому если выполняется хотя бы одна из групп условий (5.46) или (5.50), то справедливо условие (5.49). Другими словами, уравнения (5.46) и (5.50) эквивалентны, т. е. из справедливости одних следует справедливость других [42].
Следовательно, если выполняются условия совместно сти (5.46), то выполняются условия обращения в нуль всех компонент симметричного тензора второго ранга ÿ :
H ij = 9 tij + A e i j £ik,kj Ejk.ki 4" Çijfekl.kl A 9 ) , |
(5.51) |
где £ — произвольный симметричный тензор-константа второго ранга. Очевидно, что
■Hij — TJij |
ПрИ |
Çij — 8ij, |
(5.52) |
Hij = Vij |
ПРИ |
Çij = |
(5.53) |
Выберем теперь некоторую точку М° |
с координатами х® |
||
и будем считать, что в ней известны перемещения щ(М°) = и® и повороты = f ly . Кроме того, всюду известны дефор мации £ij. Тогда перемещения в любой точке М с координатами Х{ запишем следующим образом:
M M M
где £i(M°) = x°, £j(M) = Xj, и преобразуем последний интеграл в (5.54), пользуясь тождествами (5.34):
М |
М |
|
|
М |
|
|
—Ejk,i) |
= f y ixj ~ ^ j i xj + ^ j i Xj ~~ |
|
M |
|
M M
M
= tfi(* j - Xj) + J (Xj - tjXeutj - £jk,i) d&. (5.55)
Подставляя (5.55) в (5.54), придём к формулам Чезаро
Щ= U®+ |
—Xj) + |
Eik "Ь (Xj Çj'îi.Eik.j £jk.i) dffc. |
|
|
м° |
|
|
(5.56) |
В силу сделанных предположений правая часть (5.56) известна в точке М с координатами х*. Таким образом, формулы Чезаро позволяют определить перемещения в любой точке (М) среды по заданным всюду деформациям и известным в одной точке (М°) перемещениям и поворотам.
В формулы Чезаро входит интегрирование по произвольному контуру, начинающемуся в фиксированной точке Mo и закан чивающемуся в точке М, где и определяются перемещения.
Устремим М к М° так, чтобы этот контур стал |
замкнутым. |
Из (5.56) получим |
|
£ j ) ( s ik ,j £ jk ,i) <%k = 0 |
(5.57) |
для любой точки М °(х°), принадлежащей контуру 7 .
Итак, для односвязного тела необходимым и достаточным условием интегрируемости является выполнение условий сов местности (5.39), или (5.46), или (5.50), или (5.51). Если же тело многосвязно, то перечисленные условия только необходимы, и к ним требуется добавить по три уравнения (5.57) для каждого контура 7 , не стягивающегося в одну точку.
Л Е К Ц И Я 6
ОСНОВНЫЕ ПОСТУЛАТЫ
В предыдущих лекциях были изучены характеристики кине матики и деформирования сплошной среды и дано определение её движения. Правда, под такое определение подходит и дви жение нематериальной среды (например, тени). Материальность среды задаётся плотностью вещества. Каждой частице припи сывается положительный скаляр p(£l,£2,£3,i). Тогда масса т некоторого объёма V определяется интегралом
(6.1)
Для объяснения причин возникновения движения материаль ных тел требуется введение понятия силы. Едва ли во всех есте ственных науках есть более распространённое и менее поддаю щееся определению понятие. Поэтому не будем останавливаться на нём подробно, а предположим, что читатель уже немного знаком со вторым законом Ньютона из классической механики. Заметим только, что Герц сформулировал все законы механики, вовсе не используя понятие силы. К сожалению, механика Герца не получила широкого распространения. В МСС силы делятся на массовые и поверхностные (иногда вместо массовых сил используют объёмные силы). С помощью этих понятий можно сформулировать основные постулаты механики сплошной среды.
Прежде чем переходить к их формулировкам, докажем ряд вспомогательных лемм, имеющих, впрочем, и самостоятельное значение.
О с н о в н а я л е м м а . Пусть G £ R3 и V — произвольная подобласть G. Функция f{x\,X 2,x$,t) непрерывна в G и обла дает свойством
( 6.2)
V
для любого момента времени L Тогда / = 0.
◄ Доказательство проведём от противного, а именно: пред положим, что в G существует точка (х\,Х2,хз), такая что f(x\,X2,xs,t) ф 0 (для определённости f(x\,X2,xz,t) > 0). В си
лу |
непрерывности / |
существует шар Ше(х1,Х2,хз) |
радиуса |
е |
|||
с |
центром в |
(х\,Х2,хз), |
который |
полностью принадлежит |
G |
||
и в котором / |
^ а > 0. |
|
|
|
|
||
|
Выберем V = 1Ие и, используя свойства определённого инте |
||||||
грала, запишем |
|
|
|
|
|
||
|
|
J / |
dV ^ |
а |Ше| = |
^7гае3 > 0, |
(6.3) |
|
|
|
Ше |
|
|
|
|
|
что противоречит условию (6.2) леммы. Следовательно, наше предположение о наличии в G хотя бы одной точки (х1,Х2,хз), где f{x\, X2iX$,t) Ф 0, неверно. Основная лемма доказана. ►
Назовём жидким, или подвижным, объёмом меняющуюся со временем область пространства, состоящую из одних и тех же материальных частиц.
Л е м м а о д и ф ф е р е н ц и р о в а н и и по в р е м е н и и н т е г р а л а по ж и д к о м у объёму . Пусть V — жидкий объём. Тогда
l | / d v = |
K |
I +/divir) ^ ' |
(б-4> |
V |
V х |
' |
|
где f(x\,X2,X3,t) = f(x,t) — любая функция, для которой существуют обе части равенства (6.4).
◄В момент времени t жидкий объём занимал область V в прост ранстве, а в близкий к t момент t + At область V = V + AV При этом AV, как видно из рис 22, состоит из элементарных цилиндрических объёмов dV та
ких, что
dV = dEv -п At, |
(6.5) |
где dE — элемент поверхнос ти V, являющийся основанием цилиндра dV, a v • п A t — высо та dV
Обозначим левую часть (6.4) через 7(f). Согласно опреде лению производной функции одного переменного и формуле
Остроградского-Гаусса (2.43)
7 ( * ) |
= |
i |
& |
f(^t+At)dv~o i ï [ |
J f ( ^ )j |
dV = |
|
|
|||
|
|
l-V+AV |
|
V |
|
|
|
|
|
||
|
= |
lim |
- ± - \ l f ( x , t + & t ) d V - |
J |
[ f(2 ,t)d V |
+ |
|
||||
|
|
At—>0ZAC |
J |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
LV |
|
|
V |
|
|
|
|
|
+ |
Æ |
|
b |
s |
f \ % |
^ dV+ |
|
|||
|
|
|
AV |
|
|
V |
|
|
|
||
|
|
|
+ 1 f(x,t)v- 7îdZ = J |
|
|
+ div ( /to ) |
dv. |
(6.6) |
|||
Заметим теперь, что |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ж |
+ div (ЯО = f + |
+ / div ? = | |
+ / div V. |
(6.7) |
|||||||
Из (6.6) и (6.7) следует утверждение (6.4) леммы. Из доказа тельства следует, что / может быть не только скаляром, но иметь также векторную либо тензорную природу. ►
Сформулируем первый постулат механики сплошной среды, который называется законом сохранения массы.
З а к о н с о х р а н е н и я массы (I постулат МСС). Пусть V — произвольный жидкий объём в К3. Тогда в любой момент времени
(6.8)
~ d t= ° ’ где величина т определена в (6.1).
Простое и интуитивно понятное (“масса никуда не исчезает и ниоткуда не возникает”) равенство (6.8) представляет собой интегральную формулировку закона. Воспользуемся леммой о дифференцировании по времени интеграла по жидкому объёму (равенство (6.4)). Получим
o = j t \ p ( x , t ) d v = \ № |
+ edws\dv . |
(6.9) |
|
V |
V ^ |
' |
|
Жидкий объём V произволен, поэтому основная лемма приводит к соотношению
^7 + p d iv tf = 0 |
(6.10) |
at
в любой точке пространства и в любой момент времени.