книги / Основы механики сплошной среды
..pdfи из (15.12) найти выражение для плотности внутренней энер-
гии: |
/ Ч7" 1 |
/ |
_ \ |
|
е = |
с^То i ~ J |
ехР ( |
S -J*-) * cons*- |
(15.26) |
Определим теперь модель ньютоновской вязкой жидкости
как необратимую среду, для которой плотность свободной энер гии Гельмгольца / зависит от двух параметров состояния:
/ = /(Т .р). |
(15.27) |
а тензор напряжений Коши имеет вид (9.47)
Pij = - pGij + rij, |
(15.28) |
где тензор “вязких” напряжений т — линейная тензорная функ ция от тензора скоростей деформаций (9.49):
rij = Aid!vvG ij + 2(nGikGjlDkl. |
(15.29) |
Из (15.8), (15.27) и (15.28) следует, что для вязкой жидкости изменение плотности работы внутренних сил имеет вид
5а® = -- d p —dtr^Dij = p p d f + Ai(divu)2 + 2/xitrZ?2,
Р |
9 |
(15.30) |
где |
|
(15.31) |
D = GikGjlDijDki. |
||
Разлагая тензор D на шаровую часть и девиатор D: |
|
|
Dij —Dij + —div v G{j, |
(15.32) |
|
получим |
|
|
D2 = Dl + U dW v)2, |
(15.33) |
|
где DK— интенсивность тензора скоростей деформации |
||
DH= y/trD 2 |
(15.34) |
|
Из термодинамического |
тождества (14.34) и |
определе |
ния (14.16) следует |
|
|
dF + SdT = - 6A® - W*dt, |
(15.35) |
что можно записать и в терминах соответствующих плотностей:
pdf + ps dT = —6а® —w*dt. |
(15.36) |
Из (15.36), (15.30) находим
|
pdf + psdT = -dp + dt T^Dij —w*dt. |
( 15.37) |
|||||
|
|
P |
|
|
|
|
|
Принимая |
во |
внимание |
определение модели вязкой |
жидкос |
|||
ти (15.25), из (15.37) получим |
|
|
|
||||
|
|
(аг). |
|
|
(Ë l\ |
_ JL |
(15.38) |
|
|
|
|
\д р )т |
р2 |
|
|
и выражение для плотности функции рассеивания |
|
||||||
w* |
= »Du . ( а, |
+ |
| , . , ) |
] (div if)2 + 2jLiiD2. |
(15.39) |
||
T |
Al |
|
Уравнения движения (15.2) для вязкой жидкости выведем, используя определяющие соотношения (15.28), (15.29). Эти урав нения имеют вид (9.52)
р-т- = - g r a d p + ( A i +/ii)graddivu + /tiAu + pF. |
(15.40) |
at |
|
Итак, замкнутую систему уравнений вязкой ньютоновской жидкости составляют три уравнения движения (15.40), два уравнения состояния (15.38), уравнение неразрывности (15.1) и уравнение притока тепла (15.5), которое с учётом закона Фурье можно переписать в виде
rfs |
(15.41) |
p T jt =pq + AAT + w* |
|
При этом функция рассеивания w* выражается |
форму |
лой (15.39), а компоненты тензора скоростей деформации Д ?- связаны с компонентами вектора скорости соотношениями
|
Dij — 2 |
+ ^ j vi)- |
|
(15.42) |
||
Поэтому функция |
рассеивания |
в |
уравнении |
притока |
теп |
|
ла (15.41) выражается с помощью |
(15.32)—(15.34), (15.41) |
|||||
через компоненты |
вектора скорости v |
и |
имеются, |
как |
||
и в идеальной жидкости, семь |
уравнений |
относительно |
тех |
|||
же семи неизвестных: v, р, р, s, Т. |
|
|
|
|
|
|
Из (15.39) видно, что w* положительно определена, если |
||||||
|
2 |
|
> 0. |
|
(15.43) |
|
|
Ai + gpi >0, |
|
|
Если жидкость |
несжимаема, |
то |
уравнения |
Навье- |
|
Стокса (15.40) принимают вид |
(9.54) |
|
|
||
1 |
J |
* - |
д |
dv |
(15.44) |
— |
gradp + tjAv + F = |
-г-, |
|||
p |
|
|
|
at |
|
где p = pi/p > 0 — |
коэффициент |
кинематической |
вязкости, |
||
а функция рассеивания (15.39) |
|
|
|
|
|
|
w* = 2piD\ |
|
(15.45) |
положительно определена при pi > 0.
Заметим, что модель вязкой жидкости можно задать не с по мощью плотности свободной энергии Гельмгольца (15.27), из ко торой следуют определяющие соотношения (15.38), а с помощью плотности внутренней энергии (15.19), следствиями которой яв ляются определяющие соотношения (15.21).
Дадим теперь определение линейного упругого тела для неизотермических процессов [19]. Моделью такого тела на зовём обратимую среду (w* = 0), для которой свободная энергия Гельмгольца — функция температуры и тензора малых деформа
ций: |
|
F = F(e,T), / = /fe, T). |
(15.46) |
Воспользуемся гипотезой Дюгамеля-Неймана, которая за ключается в том, что что аргументом в (15.46) может служить комбинация механической деформации и перепада температуры:
ejj = ец - otijê. |
(15.47) |
Здесь aij — компоненты симметричного тензора теплового расширения, ai? — перепад температуры, т. е. разность между текущей температурой Т и некоторой постоянной То *) :
1? = Т - Т 0. |
(15.48) |
Представим тогда функцию / в виде
f = M T) + f(eT), |
(15.49) |
выделив аддитивную составляющую /о(Г), зависящую лишь от температуры 2)* . Чтобы определяющие соотношения упругой сре ды были линейными, естественно выбрать свободную энергию
') Постоянная То вводится в связи с недостижимостью абсолютного нуля Т = 0 (третий закон термодинамики).
2)В дальнейшем “волну” над / во втором слагаемом правой ча сти (15.49) будем опускать.
квадратичной функцией “температурной” деформации е3':
р / = р/о(Г) + |
( 15.50) |
где C'iki — компоненты тензора четвёртого ранга, обладающего симметрией:
Cjijkl _ Qjiki _ Qijik __ çk iij ^ |
( 15.51 ) |
которая следует из записи (15.50). |
|
Формула (15.7) записывается в виде |
|
SA® = - J Pijde{j d F = | Sa® dV. |
( 15.52) |
v у
Выберем для простоты прямоугольную декартову систему координат. Тогда тензор напряжений Коши Р можно записать как а и из (15.52) и (15.8) будем иметь
Sa® = —dtaije'ij = —ffÿcteÿ. |
(15.53) |
Уравнение (15.36) для обратимой упругой среды примет вид |
|
pdf + psdT = aijtkij. |
(15.54) |
Подставляя в (15.54) выражение (15.49), получим |
|
P ~ d T + p —^ r ( d e i j - o n j d T ) + psdT = a i j d e i j . |
(15.55) |
Приравняем в (15.55) коэффициенты при независимых диффе ренциалах dT и dey:
З/о |
|
d f |
(15.56) |
||
дТ |
***4déL ~ |
||||
PS' |
|||||
|
|
|
*3 |
|
|
|
» |
II |
1 |
(15.57) |
|
|
ж |
|
|
|
Очевидно, что соотношения (15.56), (15.57) годятся для плот ности свободной энергии Гельмгольца, произвольно зависящей от тензора £Г Если же воспользоваться представлением (15.50),
то из (15.57) получим |
|
oij - Cijki(ем - c*kid), |
( 15.58) |
a из (15.56), (15.57) будет следовать выражение энтропии для упругого тела:
pS = |
(15.59) |
Обозначим теперь аналогично /о аддитивные составляющие плотности энтропии и внутренней энергии, зависящие только
от температуры, через so и ео соответственно. Назовём теп лоёмкостью cv предел при постоянной деформации:
**= $ % {Ш ) г {Ш), |
<-1ЬЩ |
Тогда из формулировки первого закона термодинамики |
|
dE = 8Q - 8A® |
(15.61) |
и из (15.60) следует, что |
|
-(S). (15.62)
Теплоёмкость при постоянномш напряженииш обозначим че
рез ср'. |
п Н . Л |
|
|
|
|
_ дЕо |
|
(15.63) |
|
Ср |
д Т |
' |
||
|
Учитывая, что
|
|
|
е = / |
- |
Ts, |
|
а также |
|
|
d f _ d f o |
|
||
|
s ____ |
|
|
|||
|
a?' |
so - з а |
||||
получим для теплоёмкостей: |
|
|
|
|||
de |
ds |
|
df |
|
|
_ ds |
Cv~ д т ~ T &f + 5 + я г |
~ T Wr ~ ~Т дТ*' |
|||||
|
|
de0 |
,ds0 |
T d r 2 ' |
||
|
Ср |
дт |
T dT |
|
||
Тогда из (15.59) имеем |
|
|
|
|
|
|
pCv = pCp — TotijC ijkiO lki = |
|
pCp — T & i jP ij , |
||||
где |
|
Pij — CijklOCkl- |
||||
|
|
Таким образом, из (15.67) получим
- § = J f < i r = c p l „ | = c p l r . ( l + | )
То
(15.64)
(15.65)
(15.66)
(15.67)
(15.68)
(15.69)
(15.70)
Здесь использован закон Дюлонга-Пти: теплоёмкость твёрдых тел является постоянной при температурах, превышающих так называемую дебаевскую температуру, которая для большинства кристаллов не более 100°-200° К.
Следовательно, для плотности энтропии упругих тел спра ведливо выражение
|
Т |
|
|
Т |
/3ij(£ij - |
aijd). |
(15.71) |
|
ps = pep In — + |
QijCTij = pep In — + |
|||||||
Если перепад |
температуры невелик |
( ê |
T Q), |
то и з |
(15.70) |
|||
и (15.71) следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
|
|
|
|
|
1? |
|
ps = рСр— + OLijUijklEkl - |
CijkiaijOtklV = P°Vjr + Rij^ij- |
|||||||
° |
|
|
|
|
|
° |
(15.72) |
|
Так как уравнение притока тепла (15.41) для анизотропного |
||||||||
тела имеет вид |
|
рТ dis |
|
|
|
|
|
|
|
|
= pq + ЛijTij 4- w*, |
|
(15.73) |
||||
а упругая среда обратима, то, учитывая соотношение |
|
|||||||
|
|
ds _ |
pCpdT |
|
|
|
(15.74) |
|
|
|
pd t ~ T l t +{ocijaij)'' |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
получающееся |
дифференцированием |
по |
времени |
(15.71), |
||||
и (15.73), запишем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pj, |
|
|
|
|
|
|
|
|
рср-^£ —pq + AijT'ij —T(oiij(Tij) , |
(15.75) |
||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
ÔT |
|
^з^Лз ““ ToiijCijkifeki — |
|
), |
(15.76) |
|||
рср~dt = РУ |
|
|||||||
|
|
дТ |
|
~ TPijSij • |
|
(15.77) |
||
|
PCv~dt = |
^ |
|
Уравнения движения для упругой среды записываются в ви де (10.2)
р~ьФ = aijJ + pFu |
(15J8) |
или, с учётом (15.58) и соотношений (5.5), |
|
д2и- |
(15.79) |
Р~оф ~ Ссыпка - 0ijTj + pFi. |
Итак, замкнутая система уравнений связанной задачи термо упругости состоит из трёх уравнений движения (15.79) и уравне ния притока тепла (15.77) (последнее слагаемое в (15.77) можно записать в форме —Т ^ и 'ц ) относительно четырёх переменных: щ, Т. В большинстве случаев последним слагаемым в правой части (15.77) пренебрегают из-за малости безразмерных вели чин Totij. Поэтому, например, для изотропной среды уравнение
притока тепла выглядит так: pfp
pCv~dt = pq + |
(15.80) |
Видно, что уравнение теплопроводности (15.80) может быть решено отдельно (с учётом соответствующих граничных условий и начальных данных), а после этого, зная температуру, необхо димо решить уравнения движения (15.79). В этом случае задача термоупругости носит название несвязанной. Для изотропной среды уравнения (15.79) примут вид
p u '■ = A 0 ,i + р А щ - 3 a K T i 4 - p F u |
( 1 5 . 8 1 ) |
поскольку в изотропном случае
0 k i = O iijCijki = aSij[X SijSki -(- p (ô ikô ji + ÆjfcÆa)] =
= a(3Aôki + 2pSki) = 3CiKSki. (15.82)
Отметим, что в задачах термоупругости надо различать адиа батические модули упругости и изотермические. В соотношени ях (15.58) фигурируют изотермические модули C^-jy, ибо они определяются экспериментально при постоянной температуре. В этом случае соотношения (15.50) записываются в виде
Pf = pM T)+ W , |
(15.83) |
где W — упругий потенциал:
иr = P Ï = \ с т г%еЪ. |
(15.84) |
Для тогочтобы вычислить адиабатические модули С?Д.г, нужно перейти от пары термодинамических параметров состоя ния Т, £ к паре з, е,. В этих целях согласно (15.64) введём плотность внутренней энергии
ре = ^C ijki{eij - c*ijti)(ekl ~ aid'd) ~
-p cp T in jr -P ijT ieij-a ijd ), |
(15.85) |
выразим из (15.72) перепад температуры |
|
d = — (ps - 0ij£ij) |
(15.86) |
pcv |
|
и подставим в обобщённый закон Гука (15.58):
ГГ
Oij = Cijkieid - 0ij— (ps - Pkiïki)- |
(15.87) |
Из сравнения (15.58) и (15.87) находим значения адиабатических модулей:
С & = С»ы + |
|
(15.88) |
|
J |
РЧ) |
|
|
Можно поступить и по-другому. При постоянной плотности |
|||
энтропии из (15.86) имеем |
|
|
|
ÿ = - — |
{Зцец + const. |
|
(15.89) |
PCv |
|
|
|
Тогда из (15.64), учитывая малость величин |
(пренебрегаем |
||
членами с их квадратами), получим |
|
|
|
PC = p f = — C ijk iE ijS k l — G ijk № ij£ k $ 4" Const = |
|
|
|
1 |
TQ |
|
|
= Ô CijkieijEki |
+ PkiEki— + const = |
|
|
Z |
pCy |
|
|
|
= \ Cijid£ij£ki + const. |
(15.90) |
|
Таким образом, при адиабатическом процессе упругий потен |
|||
циал 1Уая совпадает со значением рё, так что |
|
|
|
pe = pcpT + W a*. |
|
(15.91) |
Л Е К Ц И Я |
16 |
|
ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ |
||
Рассмотрим в пространстве R3 систему из N материальных |
||
точек с массами та, а = 1 |
движение которых описыва |
|
ется радиусами-векторами |
|
|
r a ( t ) = X 3 a - 2k i + X 3 q _ 1 4 + ^ З а ^ З • |
( 1 6 . 1 ) |
|
Скорости частиц равны |
|
|
Va{t)= ra. |
(16.2) |
|
Вся система, очевидно, имеет 3N степеней свободы, так что |
||
можно выбрать обобщённые координаты q: |
|
|
Я = {«1(*).$*(*)••• ••<&»(*)}. |
(16.3) |
задание которых полностью характеризует положение всех точек в любой момент f, и построить набор обобщённых скоростей q :
Я = {*(*)»&(*).-••. С (О}- |
(16.4) |
Компоненты радиусов-векторов Xk связаны с обобщёнными ко ординатами qi с помощью невырожденного преобразования
|
** = **(«). |
|
(16.5) |
|
Кинетическая энергия К системы точек имеет следующий |
||||
вид *) : |
|
|
|
|
, |
N |
, зN |
|
|
* Ч |
1’ = |
2 1 > < ‘,(**)’ = |
|
|
|
а=1 |
Ь=1 |
|
|
|
1 |
dxkdxk |
. . _ 1 t , л . . |
/1е |
|
= 2 |
|
= 2 bij(q)qiqi ’ |
(16<6) |
|
|
l(k) = 'Jfc-l' |
4-1, |
|
|
|
3 |
|
|
О Для сокращения записи в этой и следующей лекциях (в отличие от других) суммирование по повторяющимся два раза малым латин ским индексам производится не от i до 3, а от 1 до 3N.
и представляет собой положительно определённую квадратич ную форму, построенную на обобщённых скоростях, с коэффи циентами bij, зависящими от обобщённых координат. Потенциа льная энергия U системы зависит от обобщённых координат и, вообще говоря, времени:
U(q,t) = U(qi,q2....... |
qw ,t). |
(16.7) |
Введём в рассмотрение функцию Лагранжа L:
L(q,q\t) = K {q,q)-U (q,t), |
(16.8) |
зависящую явно от времени, а также от обобщённых переменных и обобщённых скоростей; 6N переменных {9,9 } называются
лагранжевыми переменными.
Из аналитической динамики известно, что для консерватив ных систем имеют место 3N обыкновенных дифференциальных уравнений
£ |
dL |
(16.9) |
0 |
||
dt |
% |
|
относительно переменных qu называемые уравнениями Лагран жа второго рода.
Наряду с лагранжевым формализмом используется и га мильтонов формализм. Для этого соотношениями
(16.10)
вводится набор р обобщённых импульсов р\ и с помощью преоб разования Лежандра
H(q,p,t) = q'iPi- L(q,q\t). |
(16.11) |
определяется функция Гамильтона Н. Она может явно зависеть от времени и 6N гамильтоновых переменных {q,p}. Следова тельно, её дифференциал записывается в виде
|
|
|
|
|
|
|
А |
(,6 1 2 ) |
С другой стороны, из (16.10) и (16.11) следует, что |
|
|||||||
JJJ |
. , , , . |
dL |
, |
dL |
j |
9L |
, |
|
dH = |
qi dpi+pi dq{ - |
— |
dq{ - |
— |
dq{ - — |
dt = |
|
|
|
|
oqi |
|
dq{ |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
= qi dP |
i - ^ . dqi - ^ dt- |
( 1613) |