книги / Основы механики сплошной среды
..pdfПриравняем в правых частях (16.12) и (16.13) коэффициенты при независимых 6JV + 1 дифференциалах dqi, dpi и dt:
дН |
dL |
5 Я = . |
дН_ _ _дЬ |
(16.14) |
||
dqi |
dqi ' |
dpi ^г’ |
dt |
dt' |
||
|
и выразим из (16.9), (16.10) dL/dqi:
dL
(16.15)
d<u~Pi'
Таким образом, из (16.14), (16.15) получим систему 6N канонических уравнений Гамильтона:
Qi |
сШ |
. __дН_ |
(16.16) |
|
dpi ' |
Рг ~ dqi |
|||
|
' |
Так же как и уравнения Лагранжа (16.9), уравнения (16.16) являются обыкновенными относительно 6N гамильтоновых пере менных {q,p}- Для решения системы (16.16) необходимо задать начальные условия
t = 0: ft = 9?, Pi = р?- |
(16.17) |
Тогда решениями будут наборы q и р:
q = q(.q°>p°<t), |
p = p(q°,p°,t)- |
(16.18) |
Если существуют такие функции ga{q,P,t), что вдоль реше |
||
ний (16.18) уравнений Гамильтона |
|
|
9a(q,P,t) = |
Са = const, |
(16.19) |
то да называются первыми интегралами уравнений (16.16). Ес ли размерность g совпадает с размерностью энергии, то первый интеграл (16.19) называется интегралом энергии.
Гамильтоновы переменные, не входящие в число аргументов функции Н, называются циклическими. Если m — число цикли ческих переменных ( т < 6N), то сразу можно написать т пер вых интегралов. Действительно, пусть, например, переменные q\ и рг циклические, т. е. dH/dqi = 0 и dH/dp2 = 0 . Но тогда из уравнений (1 6 .1 6 ) следует, что р \ = 0 и ç2 = 0 . Поэтому функции 9i(q,P>t) = Pi и g2{q,P,t) —92 являются первыми интегралами.
Разделим обе части соотношения (16.12) на dt и воспользу емся уравнениями (16.16):
dH |
дН |
5 Я |
а я |
|
|
|
dt |
dqi ^ |
dpiPl |
dt |
|
|
|
|
|
|
дН дН |
дН дН дН = д н |
|
|
|
|
|
~ d q i d P i |
d P i d q i + d t |
d t ' [ |
) |
т.е., если H не зависит явно от времени (такие системы назы ваются склерономными), то и dH/dt = 0, что говорит о суще ствовании интеграла энергии
Н = K + U = h = const, |
(16.21) |
где h — полная энергия системы.
Для описания движения системы N точек в R3 можно
ввести фазовое пространство Г |
размерности |
6N. Точка |
(q,p) е Г в этом пространстве |
соответствует |
некоторому |
состоянию системы. В этом фиксированном состоянии сис тема описывается обобщёнными координатами q\, дг, • • •, q3N и обобщёнными импульсами р\,Р2, • • • ,p3N- Траектория в фазо вом пространстве Г означает движение системы с параметрами
....... ?3N (0 ;PI (*)>P2(*)........ РзлЛ*)- Начальная точка траектории соответствует параметрам (16.17) при t = 0.
Фиксируем в Г конечный объём AqAp и достаточно большой промежуток времени (0;ii). Будем следить за теми промежут ками времени to, когда фазовая траектория находится внутри данного выделенного объёма. Тогда при fi —►оо величина
w = lim |
(16.22) |
|
t|->o o t \ |
v |
’ |
является вероятностью попадания фазовой траектории в объём AqAp при t > 0. Если теперь взять бесконечно малый объём
d'y = dqdp = dq\ ■■■dqm dpi... dp3N, |
( 16.23) |
то величина dw пропорциональна d'y: |
|
dw = fiq.p.tfd'y = f(q,p,t)dqdp. |
(16.24) |
Коэффициент пропорциональности f{q,p,t) в (16.24) представ ляет собой плотность вероятности нахождения траектории системы внутри малого объёма d'y. Вероятность нахождения
траектории внутри макрообъёма 7 С Г выражается интегралом
M l) = |/(9.Р.*)<*У = ^f(q,p,t)dqdp. |
(16.25) |
|
7 |
7 |
|
Необходимо отметить следующие свойства функции /.
а) Вероятность нахождения траектории во всём пространст
ве Г в любой момент t равна единице: |
|
^f(q,p,t)dqdp= \. |
(16.26) |
Г
б) Вероятность выхода траектории на границу дГ равна нулю. Другими словами, граница фазового пространства недостижима:
|
|
|
Ш € д Г : |
f(q,p,t) = 0. |
(16.27) |
||
|
в) |
Как и у любой функции времени и гамильтоновых пере |
|||||
менных, полная производная по времени df/dt в силу канониче |
|||||||
ских уравнений Гамильтона (16.16) представима в виде |
|
||||||
^ |
= 5 / |
, 5 / . , |
Э / , = |
0 / |
д £ д Н _ д1<Ш = |
|
|
dt |
dt |
dqi*' |
dpiPr |
dt |
dqi dpi |
dpi dqi |
|
|
|
|
|
|
= |
^ + [ / , Я ] . |
(16.28) |
где использовано обозначение |
|
|
|
||||
|
|
[A(q,p),B(q,p)] |
Э А д В _ д А д В |
(16.29) |
|||
|
|
dqi dpi |
dpi dqi ’ |
||||
|
|
|
|
|
|
называемое скобками Пуассона функций A n В.
Рассмотрим векторное пространство М6ЛГ, элементами кото рого являются векторы R с компонентами (q\,- -,piN). Векторы
скорости V(q,p) в этом пространстве имеют вид
V = 1î = (qi(q,p),---,q3N{q,p),Pi(q,p)....... |
Р3„(?.Р)). (16.30) |
Фазовое пространство Г представляет собой 6^-мерный жидкий объём в М6^ Аналогом плотности р этого жидкого объёма будет служить плотность вероятности / Тогда “уравнение неразрыв
ности” в каждой точке (q,p) G Г в любой момент времени' t записывается по аналогии с (6.10)
|
f |
+ / d i v ? = 0. |
|
(16.31) |
|
Но, используя уравнения (16.16), имеем |
|
|
|||
di» ÿ = !« i + ... + £2ffi + M |
+ ... + g k |
|
|
||
dq\ |
dq3N |
dpi |
dp3N |
d2H |
|
& H |
& H |
& Н |
= 0. |
||
др\ dqi + . . . + |
dp3N dq3N |
dqi dpi |
3 |
||
|
|
|
|
dQm dp:N |
|
|
|
|
|
|
(16.32) |
Таким образом, из (16.31) и (16.32) следует |
|
|
|||
|
|
f |
= 0 > |
|
06.33) |
т. е. для истинного движения системы при любых начальных условиях плотность вероятности f(q,p,t) постоянна. В этом состоит утверждение теоремы Лиувилля. Подставляя (16.33) в (16.28), получим основное уравнение статистической механи ки — уравнение Лиувилля:
^ + [/,Я ) = 0. |
(16.34) |
Уравнение (16.34)является линейнымдифференциальным уравнением в частных производных первого порядка для функ ции f(q,p,t) с переменными коэффициентами. Эти коэффициен ты известны, если задана функция Гамильтона Я . “Граничным” условием для / является требование (16.27), а в качестве на чального условия можно взять следующее:
t = 0 f{q,p,0) = f 0{q,p), |
(16.35) |
причём функция /о, зависящая от 6N переменных, задана. Реше ние начально-краевой задачи (16.34), (16.27), (16.35) и нахожде ние функции / представляют собой основную задачу статисти ческой механики.
Назовём интеграл
М F = (F) = ^F(q,p,t)f(q,p,t)dqdp |
(16.36) |
г
математическим ожиданием величины F(q,p,t), или её сред ним статистическим значением, или средним по ансамблю.
Оно зависит лишь от времени. Так, среднее по ансамблю от функции Гамильтона есть полная энергия системы:
МН = Е. |
(16.37) |
Дисперсией F{q,p,t), или моментом второго порядка F(q,p,t),
называется величина
D F = M (F - M F )2 = (( F - (F } )2}. |
(16.38) |
||
Можно определить и другие средние значения F, например |
|||
среднее по времени |
|
to+т |
|
|
|
|
|
F(*o) = |
l i m - |
f F{q(t),p(t),t)dt. |
(16.39) |
|
г->0Г |
J |
|
|
|
to |
|
Если F не зависит от |
to € [0;То], то говорят, что |
система при |
t < То находится в равновесном состоянии. Множество равно весных состояний системы при фиксированных внешних макро скопических условиях носит название равновесного ансамбля этой системы.
Статистическая механика применительно к МСС оперирует средними значениями детерминированных функций [15]. В ста
тистически однородных системах для любой функции F |
|
(F) = F, |
(16.40) |
т. е. среднее по ансамблю совпадает со средним по времени. В этом заключается известная в теории вероятностей гипотеза эргодичности. В рамках данной гипотезы все средние значения разумно трактовать как макроскопические параметры, которые можно измерить в экспериментах.
Образуем формально из 3N обобщённых координат q векторы qi, . . . , qN с компонентами
91 = (9ь92>9з)> QN (ÇJW—2»9злг-1’ 9злг) (16.41) и назовём условной вероятностью функции F(q, р, t) величину
F (г, t) = |
F(q, р, t)/(?i, ... , Ç3a-3>93a+l> P) d9 dp, |
J |
(16.42) |
а= 1,..., N.
В(16.42) в числе аргументов плотности вероятности отсутствуют компоненты вектора qa при некотором а, т. е. точка qa зафикси
рована.
Оперирование сусловными вероятностями и средними вели чинами сильно упрощается с помощью аппарата 8-функций Ди рака, о которых уже упоминалось в лекции 2. Основное свойство J -функции, которое можно принять в качестве её определения, заключается в том, что для любой непрерывной на отрезке [а; 6] функции <р(х)
ь |
|
|
если |
а < х <Ь, |
||
J |
- |
у)<р(у) dy = | |
||||
если |
х < а |
или х ^ Ъ . |
||||
|
|
|
||||
Из (16.43) следует, что |
|
|
(16.43) |
|||
|
|
|
||||
|
|
если |
а < х <Ь, |
|
||
|
|
если |
х < а |
или |
х ^ Ь, |
|
£ |
j |
00 |
|
|
(16.44) |
|
j |
( î / ) d y8(y)dy== J |
1, J (-x ) = |
J(x) |
—е
для любого положительного числа е.
Кроме того, вводя в рассмотрение функцию Хевисайда h(x),
или “ступеньку”,
h(x) |
если |
х ^ О, |
|
если |
х |
(16.45) |
|
- t t |
< О, |
||
|
|
|
|
запишем символьную связь 8(х) и h(x): |
|
||
5(х) = h'(x). |
|
(16.46) |
Для проведения стандартных операций математического ана лиза разрывные функции 5(х) и h(x) можно аппроксимиро вать последовательностями непрерывных J-образных (рис. 49)
и /г-образных (рис. 50) функций. При этом ^-образные функ ции 5а выглядят следующим образом:
6а(х) = - 4 г Х/-а — ’ |
lim 6а(х)=6(х), |
(16.47) |
лас—»0
аф(х) dx
—00
где ф(х) ^ 0 — произвольная интегрируемая на всей оси функ ция. Такими функциями могут быть, например,
ф\(х) = еГ* ф2(х) = - + ^ 2--, |
1. |
(16.48) |
В качестве же /i-образных функций ha(x) проще всего взять первообразные функций (16.48).
Продифференцируем по х соотношение (16.43) и воспользу емся формулой интегрирования по частям:
ь |
д |
|
ь |
|
Р |
|
I* д |
|
|
4>'{х) = I |
6(х - у)(р(у) dy = - \ — ô (x - уЫ у) dy = |
|
||
а |
|
|
а |
|
|
|
|
b |
|
= -6(х - |
b)ip(b) + 8(х - |
a)ip(a) + |j ( x - у)<р'(у) dy. |
(16.49) |
|
|
|
|
а |
|
Так как |
6(х - |
а) = S(x - b) = 0 во всех точках интервала о < |
||
< х < Ь, то из (16.49) получим |
|
|||
|
|
ь |
|
|
|
|
(р‘(х) = j |
6(х - у)<р'(у) dy. |
(16.50) |
|
|
а |
|
|
Рассмотрим также многомерные 8(г )-функции, понимаемые как |
||||
|
|
6(f) = |
5(æi)5(x2)<î(a:3). |
(16.51) |
или, для векторов (16.41): |
|
|
||
|
|
8(qa) = % 3а—гЖ<Йа—l)<K93a)- |
(16.52) |
Тогда аналогично (16.43) и (16.44) будем иметь
|
Яа)я{Ча) deject—2dq$oc—\dq^a = |
Г W h |
если |
г € V, |
|
\о . |
если |
r £ V , |
|
v |
|
|||
|
|
|
(16.53) |
|
|
|
|
|
|
’ |
f l , |
если |
r e V , |
(16.54) |
â(r - |
qa) dqza-idqZa_{dqZa = ^ |
если |
^ |
|
J |
I 0, |
r eV . |
|
|
v |
|
|
|
|
Определение условной вероятности |
(16.42) |
с учётом |
свойств (16.53) и (16.54) теперь можно дать следующим образом:
F(r,t) r(q,p,t) f{q ,P ,t)S(r- qa)dqdp. (16.55)
%
Г
Л Е К Ц И Я 17
МАКРОВЕЛИЧИНЫ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ СОСТОЯНИЯ
Овладев из прошлой лекции понятиями условной вероятности
исреднего по ансамблю и по времени, можно перейти к трактов ке уже известных макровеличин, таких как плотность, скорость
идр., как средних по ансамблю от объектов, с которыми опери рует статистическая механика [15].
Например, средним по объёму числом частиц, находящихся
в момент времени t в точке г, назовём сумму
»(?'*) ~ |
' |
= ^2 {S (r -q a)) = |
'а=1 |
а=1 |
|
|
|
= Е к - Qct)f{q,P,t)dqdp, (17.1) |
|
|
а=1 р |
где угловые скобки означают операцию (16.36). Среднее по объёму число частиц v, очевидно, имеет размерность L-3 . Для того чтобы получить общее число N частиц во всём объёме, занимаемом системой, необходимо проинтегрировать v{r,t) по всему этому объёму.
Величину
l N |
\ |
м |
(17.2) |
p(r,t) = ( ^ m a5 ( f - g Q) \ |
= ]T m a ( 5 ( f - g a)) |
||
'a=l |
• |
Q=i |
|
назовём макроскопической |
плотностью в момент |
времени t |
в точке г. Если массы всех частиц одинаковы и равны т, то из (17.1) и (17.2) следует, что
p(r, t) = mv{r, t). |
(17.3) |
Наряду с определёнными в (16.41) векторами обобщённых координат q \,...,q N введём в рассмотрение векторы обобщённых импульсов ра, a = \,...,N :
Рос (Р З а —2<Р З а — 1 >РЗа)> Рос ~ WlocQa' |
(17.4) |
Тогда макроскопической скоростью частицы, находящейся в мо мент t в точке г евклидова пространства, называется величина
v(r,t) = |
= |
-J -^ (P a £ (r-£*)>• |
(17.5) |
p \ ^ i |
/ |
p ^ \ |
|
Обратимся к уравнению Лиувилля (16.34) и перепишем его в новых обозначениях:
(17.6)
dqa
Умножим обе части соотношения (17.6) на mpô(r — qp), проинте грируем по Г и просуммируем по (3 от 1 до N. Первое слагаемое в силу определения макроскопической плотности (17.2) даст следующее:
N |
f |
|
Û J |
» |
|
|
|
U {f-qp)-^-(q,p,t)dqdp = |
|||||
0=1 |
Г |
|
|
|
~ |
N |
|
|
|
|
|
|
0=1 |
Для третьего слагаемого (17.6) будем иметь |
||||||
N |
f |
|
N |
Я |
|
|
J 2 тр |
5(г — q0) |
|
Qff-(fPa) dQdP = |
|||
/9=1 |
f |
Q= I |
P a |
|
|
|
|
|
N |
N |
|
|
|
|
= |
Ë |
É |
m4 |
J - |
[«(f - $> W ] Md-P = 0, (17.8) |
|
|
P= 1 Q=1 J |
u p a L |
J |
так как последний интеграл по формуле Остроградского-Гаусса можно свести к интегралу по границе #Г фазового пространст ва Г. Воспользуемся свойством (16.27) плотности вероятности / и сразу получим (17.8).
Второе слагаемое (17.6) с учётом определения (17.5) макро скопической скорости примет следующий вид:
N |
г |
N |
я |
|
X ) т Р |
& ) 2 а И / & ) dQ dP = |
|||
/9=1 |
Jr |
а —1 ° Яа |
|
|
|
|
N |
, |
Q |
= Yu™p\ 5(r - é )ô ç - (fq p )dqdp =