книги / Основы механики сплошной среды
..pdfСмешанное произведение (da х db) • de представляет собой ори ентированный объём d\ о элементарного косоугольного параллелёпипеда, “натянутого” на векторы da, db и de:
dV0 = у/g eijk dd1dlP dck. |
(3.40) |
Нулевой индекс в (3.37), (3.40) соответствует отсчётной конфи гурации.
Рассмотрим теперь радиус-вектор актуальной конфигура
ции (3.2). Введём ковариантный локальный базис Ei\ |
|
е , = |
(3.41) |
и определим ковариантную фундаментальную матрицу актуальной конфигурации:
|
Gij = Gu = ê i-Ë j, G= \Gij\ ф 0. |
(3.42) |
|
Согласно (3.41) и (3.42) |
|
|
|
|
|ü?a| = |
\/Е(х Ea = \JGaa. |
(3.43) |
Матрица |
обратная к Gij, удовлетворяет соотношениям |
||
|
GikGkj = ô*j, |
GjkGki = 5j\ K?ijï = ~ |
(3.44) |
и называется контравариантной фундаментальной матрицей актуальной конфигурации.
Контравариантный локальный базис Е г актуальной кон фигурации получается с помощью поднятия индексов:
Ê 1 = GijÊj , |
|
(3.45) |
причём |
|
|
Ê i • Ë j = GikGjlÉk • Éi = GlkGjlGkl = |
Gik5jk = Gij, |
(3.46) |
Ê { ■Êj = GjkÊ i ■Ê k = GjkGki = S/. |
(3.47) |
|
Единичный тензор 7 может быть выражен и с помощью диады |
||
актуальной конфигурации: |
|
|
J = Êi <g> = G iji{ ® Ë j = |
GijÊi ® Êj. |
(3.48) |
Возьмём три вектора (3.34), составленные из материальных частиц. Им в актуальной конфигурации соответствуют векторы
d = daïÊi, dB = dlPÊj, dC = dckÊk. |
(3.49) |
Их |
длины равны |
\dÂ\ = y/Gijdaï dad, |
|dB | = yJGijdtf dbd, |
|
|d<71 = y 'Gij dé de?. |
Для этих векторов |
справедливы |
ниже |
|
перечисленные операции. |
|
|
||
а) |
Скалярное произведение |
|
|
|
|
|
dÂ-dB = Gij da* dV. |
|
(3.50) |
б) Векторное произведение |
|
|
||
d  x d B = VGeijkda* dV Ê k = ~ e ijkdai dbj Êk, |
(3.51) |
|||
|
|
VG |
|
|
dE = dE iV = VGeijkda1 db> E k,
(3.52)
dEa = NadE = VG eijada1dbd
B (3.52) N = NkE k — единичная нормаль к площадке dE в ак туальной конфигурации.
в) |
Тензорное произведение |
|
|
d 0 dB = da1 dtp Ê i ® Ê j. |
(3.53) |
г) |
Смешанное произведение |
|
|
(d x dB) • dC = VGeijkda1dV dck, |
(3.54) |
|
dV = VG eijkdaî dbd dck. |
(3.55) |
Рассмотрим теперь величины, характеризующие актуальную конфигурацию среды. Так, относительное изменение длины
“материального” вектора da имеет вид
, _ |
м _ |
Gij da* dad |
(3.56) |
|||
gmn dam dan |
||||||
~ |
\dd\ |
~ |
' |
|||
Если a = f, то согласно (3.1) и (3.2) |
|
|||||
\df\ |
_ d s |
_ |
/ |
GydpdÇi |
(3.57) |
|
|df0| |
dsо |
|
|
|||
y gmn d£m d£n |
||||||
Относительное изменение площади dEо получим из (3.37) |
||||||
и (3.52): |
|
|
|
|
|
|
|
dE |
_ |
па |
[<G |
(3.58) |
|
|
|
|
|
|
dËô — ïvâ у ~g'
а относительное изменение объёма dVо — из (3.40) и (3.55):
— |
= Ï9. |
dVo |
V f f ‘ |
Векторы da и db ортогональны, но векторы d и dB, вообще говоря, таковыми не будут, ибо
cos(cLÏ, dB) = |
= — |
-G^ |
dam. dbn |
. |
||
|
\dA\ |<£В| |
у/Gij da1 db>а/ G^I dak db1 |
|
|||
Рассмотрим |
теперь |
некоторый вектор а с компонентами аг |
||||
в отсчётной и Л* в актуальной конфигурациях: |
|
|||||
|
|
5= а% = А % , |
|
(3.61) |
||
и возьмём частную производную по |
от всех частей равенст |
|||||
ва (3.61). Получим |
|
|
|
|
|
|
— |
= — |
ë*- + < Æ |
= — |
В | Ai d ê* |
(3.62) |
|
д& |
д& г+ |
д& |
д& Ьг + Л д& ' |
|
||
Равенства (3.62) запишем следующим образом: |
|
|||||
|
да |
__ |
з± |
»._ |
л.д |
(3.63) |
|
— Vjfl = |
V ja |
efc — V jA Efc, |
где введены ковариантные производные контравариантных компонент векторов а и Л:
° |
к |
k |
дак |
° |
Т-7 ylfc |
^Л* |
ГЛ |
Vj-a |
|
—a . j |
—-Qçj |
+ Гу kal, |
V jA k = Л^- = |
|
+ Г/ *Л‘. |
(3.64)
Величины Гу* и Гу* представляют собой символы Кристоффеля второго рода соответственно в отсчётной и актуальной
конфигурациях. Из (3.62) и (3.64) следует, что Гу* являются коэффициентами разложения векторов dëi/d£i в базисе е*:
dëj
(3.65)
Ф
а Гу* суть коэффициенты разложения векторов dÊ i/dÿ в бази се £?*:
■Щ = г |
« * & . |
(3.66) |
Скалярно умножая обе части |
равенств |
(3.65) и (3.66) на е 1 |
и Е 1 соответственно и учитывая (3.11) и |
(3.47), получим еле- |
|
|
|
|
|
О . |
и |
, |
|
|
|
|
дующие явные выражения для Г*/ |
: |
|
|
|
|
||||||
Г - i |
= ё*1• |
- |
- е - • — |
Г{/ |
= Ê |
d ë i |
# д ё 1 |
||||
ар |
• — |
-С'г * |
ар |
||||||||
4 |
а р |
1 |
а р ’ |
|
|
|
|||||
Покажем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.67) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
.i -- l/7im Г % tm |
а<£']тп |
&9ij |
|
|
(3.68) |
||||
|
|
- |
2« |
|
ар' |
ар |
а р |
|
|
|
|
|
р |
I _ 1 /~ч1т |
( dGim |
dGjm |
dGij \ |
|
. |
v |
|||
|
r ij - 2 G |
[ ж ~w ~w ) |
|
( > |
Для этого воспользуемся определением (3.6) и преобразуем вы ражение, стоящее в правой части (3.68) в скобках:
a^jm |
dgjm |
a9 ij _ |
aem |
5éi |
|
|
а р |
а р |
|
ар» ~~ |
■§p- + em - g |J + |
|
|
|
|
|
|
|||
, - |
aem |
- |
ае,- |
aê*. |
г» -» |
/Q чл\ |
+ ej ' ô ç r |
+ e m ' â f ï _ e i |
5 fm |
Щ ^ - 2ет "Щ1- |
(3 J 0 ) |
Приведение подобных слагаемых в (3.70) произошло в силу равенства смешанных частных производных:
д ё { _ |
a2f _ a2r _ |
aej |
(3.71) |
|
â p ” |
ap ap “ â p â p “ |
ap * |
||
|
Умножим, наконец, оба конца цепочки (3.70) на д1т/ 2 и с учё том (3.67) получим требуемое равенство (3.68). Совершенно аналогично доказывается и равенство (3.69).
Формулы (3.65), (3.71) указывают на симметрию символов Кристоффеля второго рода по нижним индексам:
0 |
О |
|
р к |
р |
к |
|
р |
к _р . к |
, |
(3.72) |
|||
1 ij |
—1 ji |
L ij |
1 ji |
• |
||
о |
|
|
|
|
|
|
Из символов I V |
и Гу* |
пУт^м опускания |
индексов можно |
О
получить символы Кристоффеля первого рода Гу;п и Г у;п:
f _ f |
гл |
- г |
М |
г - г i r - р |
dEi |
> |
(3.73) |
1 ij;n —1 ij |
9ln |
—en ‘ |
|
> 1 ij;n — y Wn —-c,n ‘ |
|
которые также симметричны по первым двум нижним индексам.
Подставим в (3.73) выражения Гу* и Гу* из (3.68) и (3.69), будем иметь
Р |
_ f@9in |
. dgjn dgij \ |
ij'n |
2 V ар |
ар а е ) • |
_ |
1 / dGjn |
dGjn |
dGjj \ |
/о 7g\ |
|
lî j : n _ |
2 V açi |
а ? |
э е ; |
( |
' |
Разложим вектор а (3.61) в базисах ег и Ег отсчётной и ак |
|||||
туальной конфигурадиий: |
|
|
|
|
|
|
a = aiei = Аг&. |
|
|
(3.76) |
Дифференцируя соотношения (3.76) по Ç? и пользуясь (3.67), получим
Щ = V,-o = Vjakëk = VjAkEk, |
(3.77) |
где введены ковариантные производные ковариантных компо нент векторов а и А:
V,ak = akJ = Щ |
- TkjW |
Ъ А к = Акц = ^ |
- Г * Ч |
При этом |
|
|
(3.78) |
|
|
|
|
^ |
— —Г иiek |
——Г iEk |
(3 79) |
|
~ Vjk ' |
д& ~ Fjkb ' |
^ ' 79' |
Заметим, что соотношения (3.65), (3.66) и (3.79) могут быть записаны следующим образом:
Vjê{ = 0, |
VjÊi = 0, |
Vje* = 0, |
|
= 0. |
(3.80) |
||
Аналогично имеем для любого тензора, например для тензо |
|||||||
ра 6: |
ь = tijëi ® ëj = B ijÊ i ® Ej , |
(3.81) |
|||||
|
|||||||
дЬ = Vjk 6 = Vjfcb*jëi ®e-> = |
V kB ljÊ i ® , |
(3.82) |
|||||
д£к |
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
06% |
о |
|
° |
I • |
|
о . |
|
Ш |
|
||||
M —w |
- __ J |
|
Г». |
tM |
|
||
|
|
0£fc |
|
|
|
|
(3.83) |
|
|
05% |
|
|
|
||
- |
Di |
|
|
l Tyi |
|
||
—___ 1 |
+ i y |
в 1,. - |
i y s * , |
|
|||
V kB ‘j ш B ‘jlk = ^ |
|
||||||
Как следует |
из |
вышеприведённых |
обозначений, |
запятая |
в нижнем индексе означает ковариантную производную в от счётной конфигурации, а вертикальная черта — ковариантную производную в актуальной конфигурации.
Отметим, что ковариантные производные величин, не имею щих индексов, совпадают с соответствующими частными произ водными, причём такой величиной может быть не только ска ляр с, но и любой инвариантный объект, например вектор а или тензор второго ранга Ъ. Этот факт отражён в формулах (3.63), (3.77) и (3.82).
Из (3.80) следует |
|
9ij,k —0, 5^ = 0, % fc = 0, Gij{k = 0. |
(3.84) |
Рассмотрим теперь повторную ковариантную производную dijic ковариантной компоненты вектора а. Пользуясь правилами дифференцирования (3.78), запишем
(3.85)
Если в (3.85) поменять местами индексы j и к, а затем вычесть одно соотношение из другого, получим
а пара индексов в квадратных скобках означает операцию аль тернирования по этим индексам (3.86). Соотношения (3.87) определяют компоненты тензора кривизны Римана. Для евкли дова пространства они тождественно равны нулю.
Симметрия, следующая из определения (3.87), а также тож дества Риччи
влекут за собой тот |
факт, |
что |
число |
независимых |
компо- |
|||||
О |
TV-мерном пространстве |
равно |
TV2(TV2 - ■ |
1) / 12. |
||||||
нент Rjki1 в |
||||||||||
В трёхмерном пространстве их всего шесть, в двумерном |
- |
одна. |
||||||||
Опуская с помощью gin индекс I в тензоре Римана: |
|
|
||||||||
|
|
Rjkin ~ Rjki 9Int |
|
|
|
|
|
(3.88) |
||
получим из (3.87) для евклидова пространства |
|
|
|
|
||||||
|
— п( |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
g, . , - |
, р |
тпр |
.А |
I |
__л |
|
(3.89) |
||
|
^ I |
т 1 гк |
1 т у,п |
— |
и * |
|
||||
|
V |
|
|
|
) |
[jit] |
|
|
|
|
Выполняя описанные выше выкладки для актуальной конфи- |
||||||||||
гурации, получим, аналогично (3.89): |
|
|
|
|
|
|
||||
Rjkin = 2 ( ^ p - |
+ TilfmT.гк 1 m j,n |
I |
— 0 . |
|
(3.90) |
|||||
|
Л Ф |
|
|
|
т |
|
|
|
|
Л Е К Ц И Я 4
МЕРЫ ДЕФОРМАЦИИ
За меру деформации естественно принять величину, которая показывает, как изменяются длины материальных волокон при деформировании и как изменяются углы между ними. Этим требованиям удовлетворяет фундаментальная матрица актуаль ной конфигурации Gij. В самом деле, в предыдущей лекции было установлено, что с её помощью рассчитывается относитель ное изменение длины волокна (формула (3.56)), изменение угла между двумя волокнами (формула (3.60)), изменение площади параллелограмма, построенного на двух материальных векторах (формула (3.58)), и объёма параллелепипеда, построенного на трёх материальных векторах (формула (3.59)). Очевидно, что никакого деформирования не происходит, если фундаменталь ные матрицы отсчётной и актуальной конфигураций совпадают (Gij = gij). Поэтому естественно принять в качестве компонент
тензора деформации |
полуразность компонент этих фундамен |
||
тальных матриц: |
|
^ |
|
|
£ij = |
~ 9ij)- |
(4-1) |
Чтобы связать компоненты деформации (4.1) с вектором пе ремещений (1.16), продифференцируем (1.16) по координате
Д = | § + 3- |
(4.2) |
Тогда из (3.42) имеем |
|
Gij = Éi • Ej — |
|
( I |
H |
- |
|
|
- ( I H |
|
|
||||
= |
д и |
д й |
|
д и |
е3 + |
д й |
|
№ |
d ÿ |
+ |
д£ |
Qçj ' е‘ + 9tj (4-3) |
|
|
д? |
|
|
|
||
и из (4.1) и (4.3) получим |
|
|
|
|
|
|
Л |
дй |
|
|
дй |
дй |
дй |
Но соотношения (4.2) можно записать в виде |
|
|
|||||
- |
_ |
д |
|
дй |
|
|
(4.5) |
е‘ - |
Е‘ ~ Щ1- |
|
|
||||
|
|
|
|||||
Тогда из (4.4) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
« - « ■ * - ( * - £ ) |
( 4 - § ) = |
|
|
|
|||
= Gч |
дй |
р |
дй |
дй |
дй |
(4.6) |
|
w |
|
b j ~ w |
Е{ + 7—т |
д& |
|||
|
|
д? |
|
и из (4.1) и (4.6) получим другое выражение для компонент деформации:
13 2 \ |
г |
д& + |
3 др |
д? |
д& ) |
^ |
||
Разложим |
вектор |
перемещения |
(1.16) по |
векторам |
базиса |
|||
в отсчётной и актуальной конфигурациях: |
|
|
||||||
|
|
|
й = ulei = UlËi. |
|
(4.8) |
|||
Дифференцируя (4.8) по координате |
|
получим |
|
|||||
|
Qu |
о |
|
|
. |
|
(4.9) |
|
|
_ |
|
= VjUlei = |
VjU'Ei. |
|
|||
Подставляя (4.9) в (4.4) и (4.7), имеем |
|
|
|
|||||
£ij = |
+ Ui.j + uk,iUkj) |
= |
+ Ui\j - |
ик[{и ки). |
(4.10) |
|||
В зависимости от выбора базиса на основе (4.10) и (4.9) |
||||||||
можно построить различные тензоры. Тензор |
|
|
||||||
|
|
|
2 = Etjë 1<8>е3 |
|
|
(4.11) |
||
называется тензором деформации Лагранжа, а тензор |
|
|||||||
|
|
|
3 = eijÊi <S>Ej |
|
|
(4.12) |
||
— тензором деформации Эйлера. Тензор |
|
|
||||||
|
|
|
Qu |
° |
|
0 |
|
(4.13) |
|
е1® тг-т = |
V ® й = |
Vu |
|
oç*
называется тензором дисторсии (или градиентом вектора пе ремещения) отсчётной конфигурации, а тензор
Qiï —у
Ег® тг-г = V ® й = Vu
д(?
— тензором дисторсии актуальной конфигурации.
Рассмотрим тензор F, также являющийся мерой деформации. В литературе его называют аффинором или градиентом дефор мации::
о |
о . о |
. |
Я г |
_* |
F = V ® r = V r = e*®Vir = r ® |
i ^ |
= ë '® E i. (4.15) |
||
|
|
|
ос/ |
|
На основании тензора (4.15) введём обратный градиент де формации F~l:
£ ~ l = |
V ® r0 = V f0 = ^ «8) V if0 = Ê i ® ^ r = Ê i ®ëi. |
(4.16) |
||||
|
|
|
|
|
açl |
|
Тензоры (4.15) и (4.16) взаимообратны. Действительно, |
|
|||||
|
f |
• £ _1 = e £ ® Êi • |
® ey = ëi ®ei = I. |
(4.17) |
||
Построим тензор FT, транспонированный к F: |
|
|||||
_ |
/ ~ с 7 |
\ ^ |
V |
о |
о |
(4.18) |
£ T = ( V ® f j |
= f ® V = (V f)T = Г V = Ei ® e \ |
|||||
и тензор F~T, транспонированный к F~x: |
|
|||||
E T — |
® f0j |
= fo ® V = Vro = foV = ё{ ® £?'. |
(4.19) |
|||
Заметим, что тензоры дисторсии (4.13), (4.14) связаны с |
||||||
градиентом деформации следующим образом: |
|
|||||
0 |
0 |
. |
0 |
|
= |
|
V ® и = Vu = е 1 ® ViU = е г ® |
|
|||||
|
|
|
|
о? |
|
|
|
|
|
= e l' ® ( £ i - e i) = F - X , |
(4.20) |
||
V ® u = Vit = Æ* ® Vju = Êi ® |
~ |
= Êi ®(Êi - ë i) = l - |
£ _1. |
|||
|
|
|
|
âÇ1 |
|
(4.21) |
|
|
|
|
|
|
|
С помощью градиентов деформации построим следующие |
||||||
симметричные тензоры [59]: |
|
|
|
|||
а) Правый тензор Коши-Гоина Q |
|
|||||
Q - F |
FT = ? ® ËiÊj |
|
= в ц ё 1 ® ej |
(4.22) |
||
б) Левый тензор Коши-Грина В |
|
|
||||
В |
= Е Т ■Е = Ëi ® е* •ë j ® 4- = 4 <8>4 ’• |
(4.23) |
||||
в) Правый тензор Альманси 4 |
|
|
||||
4 = £ “ * £ “Т = Ëi ®ei ■ëj ® |
= ÿ y # ® # . |
(4.24) |