книги / Основы механики сплошной среды
..pdfгией |
..., fim, S) рассмотрим, в частности, следующие по |
тенциалы |
[38,35]: |
— энтальпия (теплосодержание) Я = Н {£ \,■. . , £ m, S):
т |
|
|
|
Я = Я + |
|
|
(14. 15) |
j=i |
|
|
|
— свободная энергия Гельмгольца F = F { |
p \ рт,Т): |
||
F = Е —TS; |
~ |
~ |
(14.16) |
— термодинамический потенциал |
Гиббса |
G = |
GÇ£ \ , - .. |
• • •. 'R.mi Т")’ |
|
|
(14.17) |
G = H - TS. |
|
|
Используя формулировки первого (12.5) и второго (14.12) законов термодинамики, можно записать (14.7) в виде
771 |
|
|
<M(i) = £ £ , - : dpj, |
(14.18) |
|
i=i |
|
|
получим термодинамическое тождество (13.40) в виде |
|
|
|
771 |
|
dE = TdS - |
% • |
(14.19) |
j=i
Чтобы перейти от одного термодинамического потенциала к другому, воспользуемся преобразованием Лежандра функ ции (р(х\,Х2, ■■■), дифференциал которой равен
dtp = OX1dx14- ОХ2 dx2 + ... = Х\ dx1+ Х 2dx2 + . . . |
(14.20) |
||
Преобразование Лежандра ставит в соответствие |
функции |
||
<р(х1.Ж2. •••) Другую функцию Ф(Х\,Х2, .. ■) такую, что |
|||
Ф = Р - Х i x i - X 2x2- . . . |
(14.21) |
||
Тогда |
|
|
|
dФ = dtp —Х\ dx\ - х\ dX1 - |
Х 2dx2 — х2dX2 —... |
(14.22) |
|
Теперь можно перейти, например, от внутренней энергии Е |
|||
к энтальпии (14.15), вводя |
|
|
|
ЭЕ |
. |
, |
(14.23) |
я —. |
3 = |
1....... тп. |
Тогда |
тп |
|
J ^'E j-.d y + TdS, |
(14.24) |
и из (14.19) и (14.15) получим
771 |
771 |
dH = d E + ^ 2 j : df£j + |
|
: <*£i = T d S + '£ '& : dQ , |
|
||||
j=i |
|
j=i |
|
|
J=1 |
(14.25) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
I = T . |
Ц = |
« |
, |
04.26) |
|
||
Аналогично для перехода H —>G имеем из (14.17) и (14.25): |
|
||||||
|
|
|
т |
|
|
|
|
dG = dH - T d S — SdT = |
j=l |
: ^Ej _ s dT, |
(14.27) |
|
|||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
с |
_ |
|
|
а |
с |
_ |
|
а |
|
|
|||||
ЭТ ~ |
|
&Ej ~ |
|
(14.28) |
|
||
|
|
|
|
||||
Точно так же для перехода Е -* F из (14.16) и (14.24) получим |
|
||||||
|
|
|
771 |
|
|
|
|
dF = d E - T d S - S d T |
= ~ Y ^ 'B j- d iij- S d T , |
(14.29) |
|
||||
откуда |
|
|
з- 1 |
|
|
|
|
= _ |
|
ÔF |
|
|
|
|
|
a F |
|
-2з. |
(14.30) |
|
|||
я г |
|
’ |
д у |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
Заметим, что термодинамические параметры щ и их потоки Vj |
|
||||||
должны задаваться при выборе модели. |
~ |
|
|
||||
Для описания моделей МСС удобнее использовать плотности |
|
||||||
рассматриваемых термодинамических |
функций и потенциалов. |
|
Чтобы выразиться точнее, запишем ещё раз формулировку пер вого закона термодинамики в виде (12.51)
dE + dK = 6A^e)+ 6Q |
(14.31) |
или в виде (12.5) |
|
dE = -Ô A ® + 8Q. |
(14.32) |
Запишем далее формулировку второго закона термодинамики |
|
в форме (13.39) |
|
T dS = 6Q + W*dt. |
(14.33) |
Исключая 8Q из (13.32) и (13.33), выпишем термодинамическое тождество, обобщающее (13.43):
dE = T d S - 6A® -W *dt. |
(14.34) |
Выражения для dK, и известны из соотноше ний (7.15), (7.21), (7.17), (7.18), (12.2). Запишем в интегральной форме неизвестные ещё выражения, входящие в формулировки первого (14.31) и второго (14.33) законов термодинамики. На зовём плотностью внутренней энергии, е, плотностью энтро пии s и плотностью рассеивания w* величины, определяемые следующим образом:
Е = |
W* = J w* dV. |
(14.35) |
|
v |
|
Чтобы записать выражение для величины 6Q, рассмотрим произвольный конечный объём V тела, ограниченный поверх ностью Е (рис. 48). Пусть в каждой материальной точке этого объёма задана массовая плотность
тепла q, а на границе объёма на ка ждом элементе площади действует q(n) _ нормальная составляющая вектора потока тепла q:
qW = qiTii = q-n. (14.36) Рис. 48
Тогда приток тепла 5Q в объёме V за промежуток времени dt будет равен
5Q = —dt |
+ dt |
pqdV, |
(14.37) |
|
|
v |
|
а в силу (14.36) |
|
|
|
6Q = —dt q • ndT, + dt |
pqdV —dt |
{pq —div q) dV. |
(14.38) |
V
Знак минус в первом слагаемом правой части (14.37) объясняет ся тем, что нормаль п является внешней, а положительный по верхностный приток тепла должен быть направлен извне внутрь тела с объёмом V
Заметим, что размерности вновь введённых величин таковы:
[е] = Ь2Т~2, |
[s] = L2T - 2e ~ l [g] = L2T -3 |
[q^] = MT~3. |
|
|
(14.39) |
Итак, из (14.33) имеем в каждой материальной точке |
||
объёма V : |
, |
|
|
p T - = p q - qiyi + w* |
(14.40) |
Уравнение (14.40) называется уравнением притока тепла. Оче видно, что оно является дифференциальным следствием второго закона термодинамики.
Для большинства тел справедливы определяющие соотно шения, связывающие вектор теплового потока q с градиентом температуры gradT. Эти соотношения называются законом теп лопроводности Фурье:
q = —А • grad Т, или g* = —AÿTj, |
(14.41) |
где Л — положительно определённый симметричный тензор вто рого ранга, называемый тензором теплопроводности. Исполь зуя (14.41), уравнение притока тепла (14.40) можно записать
в ф орм е |
|
d s |
|
|
(14.42) |
|
|
p T - ^ p q + i b j T j l i + w* |
|||
Первый |
и |
второй законы термодинамики |
формулируются |
||
в виде постулатов МСС. |
|
|
|
||
З а к о н |
с о х р а н е н и я |
эн ер ги и |
(IV постулат МСС). |
||
Пусть Cl € R3 |
— объём, |
занимаемый |
телом |
в актуальной |
конфигурации, V — произвольный жидкий объём в Cl, а £ —
его граница с единичной нормалью N. Тогда в любой момент времени
Е
или, учитывая теорему живых сил (7.20),
В самом деле, из (7.20), (7.21), (7.16)-(7.18) имеем
(14.45)
Подставляя (14.45) в (14.43), получим (14.44).
Заменим в |
(14.43) поверхностный интеграл на объёмный |
с помощью теоремы Остроградского-Гаусса: |
|
| ( § W • V - q W ) d Z = J ( P i • V - q ^ N i d Z = |
|
= JЩ Р * •v - |
q{) dV = J(ViPi •v + PijDij - V i q*) dV, (14.46) |
V |
V |
и получим в каждой точке объёма V :
+ P'^Dij - Vi q*. (14.47)
Учитывая уравнения движения сплошной среды (6.58), полу чим дифференциальное следствие закона сохранения энергии (четвёртого постулата МСС):
p j ^ p q - V i q ' + P'W iy |
(14.48) |
Точно к такому же результату придём, если в (14.44) заменим поверхностный интеграл на объёмный:
JqW dV = J tfNt dS = jVi dV, |
(14.49) |
||
E |
E |
V |
|
и применим основную лемму. |
|
|
|
П о с т у л а т |
о притоке |
тепла (V постулат МСС). Пусть |
П е К 3 — объём, занимаемый телом в актуальной конфигура ции, V — произвольный жидкий объём в П, a Е — его граница с единичной нормалью N. Тогда в любой момент времени
(14.50)
Последний интеграл в правой части (14.50) называется
производством энтропии:
(14.51)
v 4 ^ и всегда неотрицателен. Покажем это.
Заменяя поверхностный интеграл в (14.50) на объёмный,
j Ç |
, E = j v |
, ( £ |
W |
= j |
( M |
_ ^ W |
(14.52) |
S |
V |
4 |
7 |
v |
K |
' |
|
и применяя основную лемму, получим дифференциальное след ствие пятого постулата МСС — уравнение притока тепла:
d s |
(14.53) |
p T jt = p q - V iq' + w* |
|
Согласно (13.40) tu* ^ 0, а в силу (13.25) Т > 0. |
Поэтому пер |
вое слагаемое подынтегрального выражения в (14.51) неотрица тельно. Далее, согласно закону теплопроводности Фурье (14.41) производство энтропии S* записывается в виде
S* = J ( Y + A « ^ P ^ W > 0. |
(14.54) |
V 4 J
Тензор Л положительно определён, т. е. S* не может принимать отрицательные значения, что и доказывает неравенство (14.51).
Модель МСС, для которой tu* = 0, называется обратимой. Из (14.51) и (14.54) видно, что производство энтропии не равно нулю и для обратимой модели, если только рассматривается необратимый процесс (теплопроводности).
Все пять постулатов МСС допускают запись в едином виде. Пусть а — некоторая скалярная либо векторная величина, т. е. тензор нулевого либо первого ранга. Тогда закон изменения этой
величины представйм в интегральной форме: |
|
|
j t \padV = ^ PAdV + 1 В™ d£ + j CdV, |
(14.55) |
|
где A — некоторый тензор того же ранга, что и а, называемый |
||
источником величины о; |
— поток величины а: |
|
B W |
= В -JV, |
(14.56) |
где тензор В имеет ранг, на единицу больший, чем а; С — неко торый тензор того же ранга, что и а, называемый производством величины а, причём для скалярной величины а
0. |
(14.57) |
Дифференциальное следствие интегрального |
соотноше |
ния (14.55) имеет вид |
|
= рА + DivB + С. |
(14.58) |
Если А — B W |
С — 0, то |
(14.55) называется законом сохра |
|||||
нения величины J v padV |
|
|
|
|
|
||
Для первого постулата (6.8) имеем |
|
|
|||||
|
|
а = 1 , |
А = |
= с = 0, |
|
(14.59) |
|
для второго постулата (6.34) |
|
|
|
|
|||
о = |
гГ, |
A - F, |
B(N) = § W ' С = 0 |
(14.60) |
|||
для третьего постулата (7.2) |
|
|
|
|
|||
а = г XV, |
A = f x F , |
В ^ ) = ? х S w , |
С = 0, |
(14.61) |
|||
для четвёртого постулата (14.44) |
|
|
|
||||
о = е, А = pq + Ft3Dij, |
fiW |
= - qW , |
C = 0, |
(14.62) |
|||
для пятого постулата (14.50) |
|
|
|
|
|||
а = s, |
|
|
|
|
|
у2 |
(14.63) |
|
|
|
|
|
|
|
Как уже было отмечено, в задачах МСС удобней пользо ваться плотностями е, s термодинамических потенциалов Е, S (14.35). Это же относится и к теплоёмкостям cv (12.20) и ср (12.21). Будем пользоваться массовыми плотностями этих вели чин и называть их для сокращённости просто соответствующими
теплоёмкостями: |
|
Су — ^ рСуdV, Ср — ^ рСрdV. |
(14.64) |
В силу (12.13) из (14.64) следует другое определение величин Сц
И С р 1.
СV
с™= — ^ М0'
В самом деле, при малых, но конечных величинах V следует: cv = pCyV
(14.65)
из (14.64)
Л Е К Ц И Я 15
НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Вооружившись знанием пяти основных постулатов МСС, вновь сформулируем рассмотренные ранее основные модели сплошных сред, но уже с учётом неизотермических процессов.
Выпишем дифференциальные следствия известных постула тов. Из постулата о сохранении масс имеем уравнение неразрыв ности (6.10)
^ + pdivv = 0. |
(15.1) |
Следствием постулата об изменении количества движения явля ются уравнения движения сплошной среды (6.58)
P § = V i P ‘ + p F . |
( 1 5 . 2 ) |
При этом согласно постулату об изменении кинетического мо мента тензор напряжений Коши (6.55)
P = Êi ®Pi = PijÊi ®Êj |
(15.3) |
оказывается симметричным.
Дифференциальным следствием первого закона термодинами ки (14.48) является уравнение сохранения энергии
Pl& ~ Pq~ dlVq + pijDii ’ |
0l5 -4) |
а следствием второго закона термодинамики — уравнение прито ка тепла (14.58)
d s |
(15.5) |
pT— = pq —divq + w* |
Рассмотрим вначале модель идеальной жидкости, под кото рой будем понимать обратимую среду (w* = 0), обладающую шаровым тензором напряжений (9.6):
рч = -pG ij. |
(15.6) |
Тогда изменение работы внутренних сил |
, учитывая (15.1), |
||
(15.6), можно записать в виде |
|
|
|
6А® = —dt J |
PijDij dV = ^ 8а® dV, |
(15.7) |
|
v |
v |
|
|
где |
|
|
|
8а® = ~dtPijDi:i = dtpGijDij = dtp divv = |
|
|
|
|
= - - d p = ppd~. |
(15.8) |
|
|
P |
P |
|
Для идеальной жидкости уравнения движения (15.2) называют ся уравнениями движения Эйлера (9.9):
^ = - p gradp + ^ ' |
(15-9) |
Уравнение сохранения энергии (15.4) согласно (15.7), (15.8) при мет вид
ръ = п ~ Аw* + p % |
(1 5 |0 ) |
а уравнение притока тепла (15.5) для произвольной обратимой среды будет следующим:
ds |
(15.11) |
pT-^ = pq-divq. |
Для совершенного газа имеется определяющее соотношение (уравнение состояния) (12.9). Согласно (12.25) и (14.35) внут
ренняя энергия Е и её плотность е приобретают вид |
|
|||
Е = cvT + const, |
ре — рСуТ + const. |
(15.12) |
||
Подставляя (15.12) в уравнение (15.10), получим |
|
|||
dT |
.. |
_ |
р dp |
. . . ... |
= « |
- 4 |
, , + |
; Ï ' |
(16-13) |
В случае несжимаемости (dpfdt = 0), учитывая закон теплопро водности Фурье (14.41) для изотропной среды
Aij = A5ijt ç%= —ЛГ,-, |
(15.14) |
получим из (15.13) уравнение теплопроводности |
|
PCv-~j£ — PQ + ЛДТ, |
(15.15) |
которое с учётом (15.11) можно записать в виде |
|
ds
p T jt =pq + AAT.
Сравнение уравнений (15.15) и (15.16) для несжимаемой
среды даёт связь
ds dT
(15.17)
откуда находим выражение плотности энтропии для несжимае
мой идеальной жидкости: |
|
s — с%)\йТ + const. |
(15.18) |
Для сжимаемой идеальной жидкости (идеального газа) внут ренняя энергия Е и её плотность зависят от двух параметров
состояния: |
. . |
|
(15.19) |
E = E(S,V), |
e = e(s,p). |
||
Тогда из сравнения (15.10) и (15.11) получаем |
|
||
de = T ds + Д dp, |
|
(15.20) |
|
откуда имеем |
Рг |
|
|
|
|
|
|
«А =г |
(д е \ |
Р |
(15.21) |
|
\ др )з |
Р2' |
|
Таким образом, замкнутую систему уравнений для совер шенного газа при неизотермических процессах составляют три уравнения движения Эйлера (15.9), два уравнения состоя ния (15.21), уравнение неразрывности (15.1) и уравнение при тока тепла (15.11) (или (15.16)), т.е. всего семь уравнений
относительно семи неизвестных: v, р, р, s, Т. |
|
Для совершенного газа известно выражение |
для энтро |
пии (13.50): |
|
S = cv In (TV7" 1) + const. |
(15.22) |
Полагая термодинамические параметры для некоторого состоя ния фиксированными: SQ, Т о , VQ, запишем (15.22) в виде
S - S 0 = In |
|
|
(15.23) |
или, для плотности энтропии: |
|
|
|
S-SQ = In |
|
|
(15.24) |
Cv |
|
|
|
Тогда из (15.24) можно выразить температуру: |
|
||
7 -1 |
|
|
|
Т = Тп\ — \ |
ехр |
- |
(15.25) |
|
- т |
|