книги / Основы механики сплошной среды
..pdfСоотношение (6.10) называется уравнением, неразрывности. Оно являетя следствием первого постулата, его дифференциаль ной формулировкой. В дальнейшем увидим, что все постулаты МСС могут быть сформулированы либо в интегральном виде (для произвольного объёма в любой момент времени), либо в дифференциальном (в любой точке пространства в любой момент времени).
Уравнение неразрывности (6.10) записывают и по-другому. Согласно (6.7)
^ + div (pv) = 0, |
(6.11) |
или, разделив обе части (6.10) на р, |
|
din р + àivv = 0. |
(6.12) |
dt |
|
Среда называется несжимаемой, если плотность не изменя |
|
ется со временем: |
|
± = 0. |
(6.13) |
dt |
|
Тогда согласно (6.10) |
|
divt7=0. |
(6-14) |
Таким образом, поле вектора скорости при движении несжимае мой среды соленоидально и поток вектора скорости через любую замкнутую поверхность равен нулю. Очевидно и обратное: если скорость удовлетворяет соотношению (6.14), то среда несжи маема.
Обратим внимание, что в определении (6.13) фигурирует полная, а не частная производная по времени. Приведём пример
несжимаемого |
течения, в котором |
|
|
|||
dp/dt ф 0. На |
рис. 23 |
изображе |
|
|
||
на неограниченная сплошная среда |
хю |
|
||||
с плотностью p{x\,t), движущаяся |
XI |
|||||
поступательно вдоль оси х\ слева |
Иг- |
|
||||
направо. Поступательность движе |
|
|||||
ния |
обеспечивает |
несжимаемость, |
|
|
||
т. е. |
dp/dt = 0. |
С |
другой |
стороны, |
Рис. 23 |
|
находясь в сечении х\ = хю и наблюдая за частицами, проходя щими со временем через это сечение, легко видеть, что сначала шли “лёгкие” частицы, а затем “тяжёлые”, т. е. dp/dt > 0. Дан
ный контрпример связан с неоднородностью среды по плотное-
—#
ти. Если же материал однороден, т. е. grad р = 0, то равенства
dp/dt = 0 и dp/dt —0 равносильны и эквивалентны равенству р = ро = const.
При лагранжевом описании закон сохранения массы форму лируется следующим образом:
dm = pdV = PQ dVo = dmо, |
(6.15) |
где dmo = dm\t=Q. Учитывая формулы (3.59), (5.22) для относи тельного изменения объёма, из (6.15) получим
£о G
(6.16)
Р
Тогда для малых деформаций имеем
Ро = р(1 + 0). |
или |
р = ро( 1 - 0 ) . |
(6.17) |
Как видно из (6.17), при лагранжевом подходе плотность можно определить, зная объёмное расширение-сжатие в, т.е. кинема тику процесса деформирования.
Вдальнейшем пригодится следующая простая лемма.
Ле м м а 1. Пусть V — жидкий объём. Тогда
é l < ’/dV= l 4 |
dV- |
(6-,8> |
|
V |
V |
|
|
где f{x\,X2,x$,t) = |
— любая |
функция, |
для которой |
существуют обе части равенства (6.18).
◄ Преобразуем левую часть (6.18), используя лемму о диффе ренцировании по времени интеграла по жидкому объёму:
£ |
( d(pf) + p/divv u j d y = |
dt |
V dt |
= |
I |
( |
' |
, |
I |
+ |
/ |
s |
+ |
Но сумма второго и третьего подынтегральных слагаемых в правой части (6.19) в силу уравнения неразрывности (6.10) равна нулю. Лемма доказана. ►
Рассмотрим теперь многофазную сплошную среду [32,39], состоящую из п компонентов, между которыми могут протекать т химических реакций. В процессе реакций состав одних ком понентов уменьшается, а других увеличивается. Поэтому, есте ственно, закон сохранения массы (6.8) и его дифференциальные следствия (6.10)—(6.12), записанные для каждого компонента, выполняться не будут.
Для моделирования многофазных сред примем, что каж дая макрочастица с плотностью р состоит из п микрочастиц (компонентов, так что в каждой точке пространства в любой момент времени присутствуют сразу все п компонентов, каждый с плотностью ра(х, t) (а = 1, . . . . п):
П
£ > « |
= Р- |
(6.20) |
а=1 |
|
|
Назовём величину са , |
|
|
са = — , |
У > = 1. |
(6.21) |
P |
|
|
массовой концентрацией (или просто концентрацией) компо нента а. Обозначив через va(x, t) скорость каждого компонента, определим скорость макрочастицы как скорость центра масс микрочастиц:
(6.22)
Введём также для каждого компонента • вектор диффузионного
потока j a: |
|
За = Pa(va ~ v). |
(6.23) |
Суммируя все п равенств (6.23), с учётом (6.20) и (6.22) получим
è |
За = б. |
(6.24) |
Ос—I |
|
|
Приравняем левую часть уравнения неразрывности (6.11), |
||
записанную для компонента с номером а, |
величине Т а , назы |
|
ваемой образованием вещества а и равной |
|
|
|
т |
|
Т а = |
^ ^ ValJl » |
(6.25) |
|
/= 1 |
|
где величина vai пропорциональна стехиометрическому коэф фициенту, с которым компонент а входит в I -ю химическую реакцию; Jj — скорости химических реакций. Таким образом,
^ + div (pava) = Уа. |
(6.26) |
Суммируя п равенств (6.26), придём к уравнению неразрывнос ти (6.11), т. е. сумма образований всех веществ в многофазной среде равна нулю:
пп т
E |
ï “ = E |
X > " ' J ' ==0- |
<6-27) |
а —1 |
а = 1 |
/= 1 |
|
Соотношения (6.26) представляют собой уравнения неразрыв ности для каждого компонента многофазной среды.
Пользуясь уравнениями неразрывности для многофазных сред, выведем уравнения диффузии
de
|
p-£- + àivja = Ta, |
a = l , . . . , n . |
(6.28) |
|||||||
Для этого преобразуем левую часть (6.26): |
|
|
||||||||
+ div (paVa) = |
Йп |
|
|
|
|
|
|
|
||
-jjjf + div (pava - pav + pav) - |
|
|||||||||
/ |
1 dp |
|
, |
Л |
dpa |
t |
-* |
|
|
|
~ Pa\p~dt+ diVV) |
= ~dt + diVjQ + gradpa "? + |
|
||||||||
■ j- |
- |
|
dP |
|
j- |
- |
dpa |
-, |
dp |
|
+ pQdiv v - |
CQ— - |
padivv = — |
+ divja - Cû — = |
|
||||||
|
= |
% |
^ |
- |
c“ * |
+div7“ = ' ,% |
+div7- |
<6-29) |
Отсюда и следует (6.28).
Вернёмся к понятию силы и рассмотрим элемент массы Ат,
заключённый |
в объёме A V и содержащий |
точку М (рис. 24), |
||||
Д т о |
A R |
а также суммарную силу АД, действующую |
||||
|
|
на этот элемент. Выполняя предельный пе- |
||||
( |
|
реход |
|
|
|
|
A V |
|
V |
A R |
i? |
|
(6.30) |
|
—Imi |
—. |
= F|M, |
|||
Рис. 24 |
|
AV—»о Ат |
|
|
|
|
|
А У э М |
|
|
|
|
|
получим новый вектор — массовую |
силу |
f j ^ , |
приложенную |
|||
в точке М. |
Поле |
F(x,i) образует |
векторное |
поле |
массовых |
сил в R3 и по размерности совпадает с ускорением (“сила, отнесенная к единице массы”). Характерным примером массовых сил является ускорение сил тяготения, в частности ускорение g силы тяжести. Наряду с массовыми силами будем рассматривать
объёмные силы X: |
_ |
(6.31) |
|
X = pF. |
Мысленно рассечём плоскостью тело, занимающее объём V (рис. 25) и находящееся в равновесии. Удалим одну из частей этого тела, например правую. Чтобы левая часть оставалась в равновесии, очевидно, к плоскости сечения нужно приложить
некоторые силы (рис. 26). Выделим на этой плоскости элементар ную площадку ДЕ и обозначим через Д R силу, действующую на неё. Стягивая площадку ДЕ к точке М, получим
lim A # |
_ §(п) |
(6.32) |
ДЕ-ю ДЕ |
|м |
|
Вектор s ffi называется поверхностной силой |
в точке М на |
площадке с нормалью п и имеет размерность давления (“сила на единицу площади”). Величина S^n\x ,t) не образует векторного поля, так как зависит не только от точки пространства, но. и от площадки, проходящей через эту точку. На последний факт указывает верхний индекс (п).
Для того чтобы найти суммарную силу, действующую на объём V, необходимо проинтегрировать по V вектор Х{х, £), а для нахождения суммарной силы, действующей на поверх ность Е, надо проинтегрировать по Е вектор §W (x,t). В по следнем случае в каждой точке Е надо выбирать единичную нормаль п(х, £), отложенную в положительном направлении. За метим, что
Пусть V — произвольный жидкий объём внутри данного тела, a S — поверхность, ограничивающая этот объём. Назовём интеграл
|
Q — \pvdV |
(6.33) |
|
V |
|
количеством движения, заключённым в объёме V |
|
|
Сформулируем теперь второй постулат механики сплошной |
||
среды, или закон об изменении количества движения. |
|
|
З а к о н об |
и з м е н е н и и к о л и ч е с т в а д в и ж е н и я |
(II |
постулат МСС). |
Пусть ü G М3 — объём, занимаемый телом |
вактуальной конфигурации, V — произвольный жидкий объём
вП, a Е — его граница с единичной внешней нормалью N. Тогда в любой момент времени
^ = f p F d V + l S {N) <ТЕ, |
(6.34) |
vs
т.е. производная по времени от количества движения среды, заключённой в V, равна сумме объёмных сил, приложенных
кV, и поверхностных сил, действующих на Е.
Интегральная формулировка (6.34) — обобщение второго за кона Ньютона на сплошные среды.
По лемме 1 (6.18)
dQ |
£ |
f |
dv |
|
|
dt |
pvdV |
dV. |
(6.35) |
||
dt |
|||||
|
|
v |
|
—f - —♦ |
|
Рассмотрим тетраэдр, |
построенный |
на векторах |
|||
А = а1Е\, |
В = Ъ2Е2 и С = съЕ ъ , которые направлены вдоль базисных век торов в деформированном состоянии (рис. 27). Объём данного тетраэдра равен одной шестой объёма косоугольного паралле лепипеда, построенного на А, В
и С, или, согласно (3.55),
Vl = £ |
= ^ V G a lb2c3 (6.36) |
О |
о |
Обозначим Ei, Ег, Ез и Е площади треугольников ОВС, ОСА, ОАВ и АВС. Первые три
из них равны половинам^площадей параллелограммов, построен ных на векторах Л, В, С. Обозначим также через Й единичную нормаль к площадке АВС, через в — угол между векторами N и i 3l а через h — высоту тетраэдра, опущенную из точки О.
Из (3.52) и (3.46) имеем |
|
|
|
|
2Е| = v/GfeV \Êl\ - |
VGGn Ъ2с*, |
|
||
2Е2 = VG с*а1|£ 21= |
\ /0 & 2 c V , |
(6.37) |
||
2Е3 = y/G a'tf\E3\ = у/Ш &а'Ь2 |
|
|||
Кроме того, очевидно, |
|
|
|
|
V, = |
i s h . |
(6.38) |
||
Из (6.36), (6.37)3 и (6.38) получим |
|
|
||
£)h _ |
S 3 |
(6.39) |
||
с3 |
V Ê33' |
|||
|
||||
Так как |
|
|
|
|
/l = |C |cos0 = c3\/G 33cosl9, |
0080 = - - ^ = - ^ |
, (6.40) |
||
то /г/с3 = N3. Подставим это равенство в (6.39): |
|
|||
|
|
|
( М 1 ) |
Очевидно, что в (6.41) вместо индекса 3 можно поставить любой другой, т. е.
ЗУ) _ у, _ |
Si |
___ S 2 = |
S 3 |
h |
N iVG " |
N2VG22 |
(6.42) |
NZVG®' |
Применим теперь II постулат МСС к выбранному тетраэдру, воспользовавшись формулой (6.35):
S w dE -
d E -
s ,
j |
5 dS( 2- ) f S <dE,3 > ( 6 . 4 3 |
) |
к |
E |
3 |
где — поверхностные силы на координатных площадках Е а . Интегралы по Еа в (6.43) входят со знаком “минус”, ибо внеш ние нормали к этим площадкам противонаправлены векто рам Е а контравариантного локального базиса деформированного состояния.
Пользуясь тождеством (6.42), умножим левую часть (6.43)
на h/(3V\), первый интеграл в правой части (6.43) на |
1/Е, |
а каждый из оставшихся интегралов — на Na\/GQa/ Еа : |
|
d E - |
|
dE. |
(6.44) |
£2
Устремим высоту h тетраэдра к нулю. Обозначим пределы:
Vi |
|
|
(6.45) |
lim — S ^ Æ |
= S $ \ |
|
|
lim |
= 5 fo |
||
£ -0 Е |
|
Sa o i I S' (“,d S |
|
Тогда из (6.44) и (6.45) в пределе будем иметь |
|
||
|
g W = |
]ГЛГаЧ/( ? ^ 5 {а). |
(6.46) |
|
|
a=l |
|
Векторы S(N\ |
g(a) носят название векторов истинных на |
пряжений. Наряду с |
ними введём в рассмотрение векторы |
||
напряжений Ра на площадках Еа : |
|
||
|
Ра = |
л /С ^ 5 (а). |
(6.47) |
Из (6.46) следует, что |
|
|
|
|
g W |
= N iP\ |
(6.48) |
Чтобы разобраться в тензорном характере введённых вели
чин, предположим, что направление вектора N совпадает с на-
—# {
правлением нового вектора Еа контравариантного базиса, пре образующегося при переходе к этой новой системе координат по тензорному закону
Ê? = А1\& . |
(6.49) |
В силу коллинеарности векторов N и Ё0' имеем
-Ёа'
|
ЛГ = 4 г |
|
(6.50) |
|
|
\Е<*'\ |
|
||
Тогда из (6.49), (6.50) следует |
|
|
||
N у/Ga'a' = |
Аа[ ё \ |
(6.51) |
||
Поэтому из (6.46) имеем |
|
з |
|
|
g(N) = g(a>)yjQafa' _ |
(6.52) |
|||
^ |
||||
|
|
а=1 |
|
|
При этом величина |
определяется |
пределом, аналогич |
||
ным (6.45) при Е —>Еа>. |
величины S |
|
||
Из (6.52) видно, что |
не преобразуются по |
тензорному закону. Иначе обстоит дело с величинами Ра, вхо дящими в (6.47). Подставляя (6.47) в (6.52), получим
P* = А1\Р . |
(6.53) |
Следовательно, величины Р1 преобразуются при переходе от одной системы координат к другой по тензорному закону.
Разложим векторы напряжений Рг по векторам базиса:
Рг = P»Ej. |
(6.54) |
Нетрудно видеть, что величины Р у являются |
компонентами |
тензора Р: |
|
P = Pj ® Ëj = PijËi ® Ëj. |
(6.55) |
Тензор (6.55) называется тензором напряжений Коши.
Соотношение (6.48) выражают связь вектора напряжений на произвольной наклонной площадке в данной точке с векторами напряжений на трёх координатных площадках в этой же точке.
Возвратимся к интегральной формулировке (6.34) II постула та МСС и подставим в (6.34) выражения (6.35) и (6.48). Преобра зуя поверхностный интеграл согласно формуле Остроградского-
Гаусса, |
|
|
^ = J DivPdV, |
|
|
dE = J V i P W = |
V |
(6.56) |
|
Е |
v |
v |
v |
|
запишем |
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.57) |
Отсюда, а также из основной леммы следуют уравнения движе
ния сплошной среды: |
J—* |
|
7—* |
|
|
Й ^ = ЪР* + рР ИЛИ |
р-^- = Div P + pF. |
(6.58) |
at |
at |
|
Векторные уравнения движения (6.58) представляют собой дифференциальную формулировку закона об изменении количе ства движения (II постулата МСС). Если правые части в (6.58) равны нулю тождественно, то говорят о статике. В этом случае уравнения
Div £ + pF = 0 |
(6.59) |
называются уравнениями равновесия. |
|
Если же величины, входящие в уравнения (6.58), |
зависят |
от времени, но силы инерции pdv/dt пренебрежимо малы по сравнению со слагаемыми в левой части (6.58), говорят о квази статике. В этом случае также пользуются уравнениями равно весия (6.59).