книги / Основы механики сплошной среды
..pdfИдеальная жидкость называется баротропной, если давле ние является известной функцией от плотности или наоборот:
Р = р(р) или р = р(р). |
(9.12) |
Функция (9.12) представляет собой определяющее соотноше ние идеальной жидкости, замыкающее систему (9.1), (9.9). При р(р) = PQ мы имеем дело с несжимаемой средой.
Для баротропной жидкости удобно ввести функцию давле ния V(x, t) такую, что *)
<#> = |
— . |
(9.13) |
|
Р |
|
Из определения (9.13) следует, что |
|
|
gradP = |
^ grad р. |
(9.14) |
Интегрируя (9.13) при заданном определяющем |
соотноше |
нии (9. 12), функцию давления можно записать в одном из двух видов:
}р(р) |
(9.15) |
|
|
либо |
|
ni |
(9.16) |
i r dP' р' |
|
Пусть массовые силы F(x, t) обладают скалярным потенциа |
|
лом U (x,t): |
|
F = - grad U. |
(9.17) |
Тогда, подставляя (9.14) и (9.17) в уравнения движения (9.9),
получим
dv
-J- + grad (P + И) = 0. (9.18) at
Возникает вопрос: можно ли ускорение w = dv/dt, входя щее в (9.18), как и остальные слагаемые, представить в виде градиента некоторой скалярной функции? Покажем, что вектор ускорения w(f,t) представйм в форме Громеки-Лэмба:
w = ^ |
^ grad |v|2 + 2ü х v, |
(9.19) |
где ш — вектор вихря, определяемый в (2.29).
‘) Не путать функцию давления V с давлением р !
Будем считать, что в актуальной конфигурации задана прямо угольная декартова система координат с единичными ортами fc* так, что V = Viki, ш = Преобразуем fc-ю компоненту век тора, являющегося суммой двух последних слагаемых в (9.19):
^ grad |ц|2 + 2 Со х ^ |
• kk = ^(vm ),* + 2ефшщ = |
= ЩVîjç + (■ijk€mniVn,mVj — V{Vî tk + ( $ jm $ k n ^ jn ^ k m ) v n j n Vj = |
|
= |
ViVi,k + Vk.mVm ~ Vn,fcU„ = Vk,mVm, (9.20) |
и заметим, что она совпадает с к-й компонентой конвективной производной по времени вектора скорости. Сумма частной и кон вективной производных согласно (1.23) есть полная производная по времени от скорости, или ускорение w.
Воспользуемся доказанным результатом и подставим ускоре ние в форме Громеки-Лэмба в (9.18). Получим
|
d v , |
. ( W\2 |
+ V + U I = 2 v x û . |
(9.21) |
|
dt + g |
d \ 2 |
- |
|
Рассмотрим два частных случая интегрируемости уравне |
||||
ния (9.21). |
|
|
|
|
1. |
Пусть движение идеальной баротропной жидкости устано |
вившееся, т. е. выполняется условие (2.11). Спроектируем в каж дой точке среды векторное уравнение (9.21) на линию тока (или на траекторию, совпадающую в силу стационарности с линией тока), которая проходит через эту точку. Так как по определению линии тока вектор v направлен в каждой точке и в каждый момент времени по касательной к этой линии, проекция правой части (9.21) равна нулю. В результате будем иметь
grad № |
- + Т + Ц \ = 0. |
(9.22) |
№ |
+ г + и = с . |
(9.23) |
где С — постоянная величина вдоль каждой линии тока. Она не является константой для всей области течения.
Первый интеграл (9.23) уравнений движения (9.21) называ ется интегралом Бернулли. Он справедлив не только для линии тока, но и для каждой вихревой линии, т. е. линии, касательная к которой параллельна вектору и. В этом случае С постоянна вдоль каждой вихревой линии.
2. Возвратимся к уравнениям движения (9.21) и предпо ложим, что течение идеальной баротропной жидкости потен циально:
|
|
V = grad ip. |
(9.24) |
|
—* |
и получим |
|
Тогда 2û5 = rot grad ip = 0. |
Подставим (9.24) в (9.21) |
||
grad ( ^ |
+ |
^ | grad у>|2 + V + и ) = 0, |
(9.25) |
ИЛИ |
|
|
|
f ^ + |
jlg rad И 2 + Р + У = /(()• |
(9.26) |
Первый интеграл (9.26) уравнений движения (9.21) называется интегралом Коши-Лагранжа. Функция /(£) определена во всей области течения V
Для нахождения константы С в интеграле Бернулли (9.23) и функции /(£) в интеграле Коши-Лагранжа (9.26) необходимо использовать начальные и граничные условия. Начальные усло вия задаются в момент времени £ = 0 во всех точках V :
£ = 0 : v = v°(x). |
(9.27) |
Граничные условия задаются в любой момент времени, но лишь на границе Е = Е» U Es области V В случае идеальной жидкос
ти |
возможно задание |
либо |
нормальной скорости |
= v-N : |
|||
|
|
£ е Е „ : |
v W =VQ(£,£), |
(9.28) |
|||
либо давления р: |
|
|
|
|
|
||
|
|
х е EÆ |
р = ро{х, £). |
|
(9.29) |
||
Граничные |
условия |
(9.28) |
называются |
кинематическими, |
|||
а |
условия |
(9.29) — статическими. |
В |
(9.28), естественно, |
|||
предполагается, что |
в точке х € Е„ |
существует |
единичная |
нормаль N. В особых же точках, таких как рёбра, угловые точки, точки возврата, граничные условия имеют другой вид, на котором сейчас останавливаться не будем.
Приведём далее примеры задач механики идеальной жидкос ти, допускающих решение на основе первых интегралов уравне ний движения, в частности интеграла Бернулли. Во всех задачах будем полагать, что жидкость однородна и несжимаема, поэтому, как следует из (9.15), V = р/ро-
1. Тяжёлая жидкость вытекает из открытого резервуара, показанного на рис. 35, через малое отверстие в боковой стенке. Найти скорость истечения в тот момент, когда расстояние от этого отверстия до верхней границы жидкости равно h.
Направим ось х% = z вверх и выберем начало координат на уровне отверстия, как указано на рис. 35. Единственной массовой силой является сила тяжести F = ~gk$, обладающая потенциа
лом
|
|
Ü = дг. |
|
(9.30) |
|
|
Выберем линию тока 7 , начинаю |
||||
|
щуюся в точке А на верхней по |
||||
|
верхности |
жидкости |
и |
выходящую |
|
|
через отверстие в точке В. Будем |
||||
Рис. 35 |
полагать, |
что резервуар |
достаточно |
||
большой |
и скорости |
точек верхней |
|||
|
поверхности равны нулю (действительно, они много меньше искомой скорости истечения), поэтому движение за небольшой промежуток времени можно считать установившимся. Следова тельно, вдоль линии 7 справедлив интеграл Бернулли (9.23).
Запишем его для |
двух |
точек, А |
и |
В, |
принадлежащих 7 : |
|
\v |
|
W в . |
Рв |
, |
(9.31) |
|
|
|
r |
+ |
« |
+ 9 2 |
|
|
|
- |
||||
Так как zA = h, |
zB = |
0, |v |Л = 0, из (9.31) |
получим |
|||
P la = |
\ / 2 (sh+ ?é- ^ |
â-) |
(9-32) |
Выражение (9.32) и является ответом в данной задаче. Если внешние давления в точках А и В одинаковы и равны, например,
атмосферному, то |
|
W\B = |
(9-33) |
Любопытно, что формула (9.33) в точности совпадает с извест ной из классической механики формулой Торричелли для ско рости материальной точки, брошенной с высоты h из состояния покоя.
Можно поставить и иную задачу: каким должно быть ми нимальное давление рв вокруг резервуара, для того чтобы тяжёлая жидкость не вытекала из него? Для ответа надо вое-
пользоваться решением (9.32) и положить в нём |и |а = 0. Тогда
|
Рв =Ра + РйФ- |
(9.34) |
Распределение давления (9.34) характерно для гидростатики |
||
идеальной несжимаемой жидкости в поле силы тяжести. |
|
|
2. |
Определить скорость на свободной поверхности идеальной |
жидкости справа от вертикальной стенки (рис. 36).
Направим, как и в предыдущей задаче, ось x$ = z вверх, а начало координат выберем в точке О. Пусть глубина водоёма
до стенки мало отличается от zA, |
|
|
|
|
|||
а после |
стенки |
равна |
zB = |
А Т |
' j ______ 2 Г_ |
||
= zA — h. |
Течение |
реки |
будем |
|
\ |
, |
h В |
считать установившимся, а в ка |
|
||||||
1 |
1-------- |
||||||
честве линии тока выберем ли |
|
|
|
||||
нию 7 , принадлежащую свобод |
|
|
|
||||
ной поверхности как до стенки, |
|
О |
|
|
|||
так и после неё. Потенциал мас |
|
Рис. 36 |
|
|
|||
совой силы (силы тяжести) име |
|
|
|
||||
|
|
|
|
ет вид (9.30). Записывая для двух точек А и В, принадлежа щих 7 , интеграл Бернулли согласно (9.31) и учитывая, что рА =
= РВ = Ратм, ПОЛУЧИМ
V B = yjv*+2gh. |
(9.35) |
Если на свободной поверхности водоёма достаточно далеко от стенки жидкость покоилась (vA и 0), то из (9.35) вновь получим формулу (9.33), аналогичную формуле Торричелли. Выражение для скорости (9.35) используется при расчёте и проектировании водосливов, плотин, запруд и других гидроинженерных соору жений.
Интеграл Бернулли (9.23) также находит применение в за дачах, связанных с измерением скорости потока жидкости. Про стейшим измерительным прибором такого рода служит трубка Пито-Прандтля (рис. 37), представляющая собой узкое цилин
дрическое |
тело с отверстиями, через которые по нескольким |
«оо |
----- ► |
Роо |
---------- V |
|
----- ► |
|
----- ► |
|
Рис. 37 |
каналам (коленам трубки) может течь жидкость. Трубка уста навливается вдоль стационарного горизонтального потока иде альной жидкости. Одно колено трубки выходит в её переднюю (лобовую) часть навстречу набегающему потоку. Конец А этого колена называется точкой торможения, в ней скорость потока тормозится до нуля, а давление равно давлению торможения, или заторможенному давлению р*. Другое колено выходит из трубки в точке В, расположенной достаточно далеко от А, так что vB и рв мало отличаются от скорости Voo и давления Роо набегающего потока.
Выберем линию тока, проходящую через точки А н В, и запишем для неё интеграл Бернулли в виде (9.31). Так как ZA ~ гв' будем иметь
(9.36)
Перепад давлений Ар пропорционален разности высот Ah уров ней жидкости в двух коленах трубки Пито-Прандтля. Коэффи ц и ен т этой пропорциональности равен р'д, где р' = аро — плот ность жидкости, находящейся в трубке (она может отличаться от жидкости в потоке). Поэтому
Voo — \j2agAh. |
(9.37) |
Рассмотрим теперь другую модель, а именно пористую сре ду [И]. В такой среде присутствуют две составляющие: недеформируемый каркас и поры, заполненные идеальной жидкостью, причём жидкость может фильтроваться сквозь стенки каркаса. В связи с этим модель пористой среды называется также фильт рационной моделью. Полагается, что в некотором бесконечно малом объёме dV, окружающем точку х тела в момент £, объём пор равен dV\, так что известная величина
х = |
— |
, 0 ^ х ( х , £ ) < 1 , |
(9.38) |
зависит от координат |
и |
времени. В предельных |
случаях х = |
= 0 и х = 1 имеем, очевидно, сплошной каркас без пор либо идеальную жидкость.
Общая масса т жидкости (6.1),
не меняется со временем, поэтому из закона сохранения мас сы (6.8) и леммы о дифференцировании по времени интеграла по жидкому объёму (6.4) следует, что
+ div (xpv) = 0. |
(9.40) |
Назовём величину |
|
й — XV |
(9.41) |
скоростью фильтрации в отличие от физической скорости v. Тогда соотношение (9.40) можно переписать следующим об разом:
+ div (pu) = 0. |
(9.42) |
Скорость фильтрации пропорциональна силе трения FTp жид кости о стенки каркаса (закон Дарси):
(9.43)
где К — коэффициент проникания.
Аналогично уравнениям движения Эйлера (9.9) запишем век торные уравнения, описывающие фильтрацию. В них уже фигу
рирует не физическая скорость, а скорость фильтрации: |
|
|
% = |
grad p + F + Fip. |
(9.44) |
at |
р |
|
Так как фильтрация осуществляется очень медленно, инер
ционной левой частью в (9.44) обычно пренебрегают. |
Тогда |
с учётом (9.43) соотношение (9.44) приобретает вид |
|
u = t f ( F - - g r a d p ) |
(9.45) |
и носит название обобщённого закона Дарси.
Подставим теперь обобщённый закон Дарси в (9.42) и полу-
чим |
|
+ div [K(pF - gradp)] = 0. |
(9.46) |
Если жидкость, движущаяся в порах, баротропна, то уравне ние (9.46) (с учётом (9.12)) полностью описывает фильтрацион ную модель.
Пусть теперь тензор напряжений Коши (6.55) в жидкости не является шаровым, как в (9.6), а имеет вид
где |
г = |
® Êj = r i j Ë i ® Êj |
(9.48) |
есть тензор вязких напряжений, представляющий собой линей ную изотропную тензорную функцию от скоростей деформации D (4.62):
Tij = Ai(tr D) Gij + 2pi D(j, |
(9.49) |
= -1( % + % ) , tr .D = div v, v = ViEl. |
(9.50) |
Соотношения (9.49) являются определяющими соотношения ми среды, называемой ньютоновской вязкой жидкостью или просто вязкой жидкостью [7, 20, 23, 26, 53]. Коэффициенты Ai и р\, являющиеся материальными константами определяю щих соотношений (9.49), характеризуют жидкость и называются соответственно объёмной и сдвиговой вязкостью. Подставляя (9.48) и (9.49) в (9.47), выпишем компоненты тензора Р :
|
Pij = |
{~р + Ajtr D) Gij + 2p\Dij. |
(9.51) |
Для |
вывода уравнений движения такой среды подставим |
||
в общие |
уравнения |
(9.2) векторы напряжения Рг = P ^E j, вы |
численные на основании (9.51). Получим уравнения движения сжимаемой вязкой жидкости:
dv |
pi) grad div v 4- p\Av + pF. |
(9.52) |
р-££ = - g r a d p + (Ai + |
||
Если же среда несжимаема, т. е. div v = 0, то из (9.52) сле |
дуют уравнения движения Навье-Стокса вязкой несжимаемой
жидкости: |
^ |
|
|
|
|
|
|
p -^ = - |
|
gradP + |
Av + pF, |
(9.53) |
|
или |
m i |
1 |
I |
- |
Л |
|
|
dv |
|
(9.54) |
|||
|
— = — gradp + г)Av + F. |
|||||
|
at |
p |
|
|
|
В случае несжимаемости нет смысла говорить об объёмной вяз кости, поэтому р\ называют просто коэффициентом вязкости или
динамической вязкостью, тогда как rj = p\/p носит название
кинематической вязкости. Смысл этих названий станет ясным из лекции, посвящённой размерностям физических величин.
Итак, замкнутая система уравнений вязкой несжимаемой жидкости представляет собой векторное уравнение (9.53) или (9.54) и условие несжимаемости (9.10). При этом разыскиваются четыре величины: компоненты вектора скорости v и давление р.
Если в отличие от (9.49) тензор-функция, связывающая т и D, нелинейна, то жидкость называется нелинейно-вязкой или
неньютоновской [8].
Обратимся теперь к начальным и граничным условиям, необ ходимым для постановки начально-краевой задачи движения вязкой несжимаемой жидкости. Поскольку уравнения НавьеСтокса (9.54), как и уравнения Эйлера (9.9), имеют первый порядок по времени, начальные условия (9.27) остаются в силе. По координатам уравнения (9.54) имеют второй порядок (опе ратор Лапласа), поэтому граничных условий (9.28), (9.29) уже недостаточно.
Кинематические условия на границе £„ вязкой жидкости
имеют следующий вид: |
|
х G Ev: v = vo(x,t). |
(9.55) |
Чаще всего по границе £„ вязкая жидкость соприкасается с твёрдым телом (“стенкой”), движущимся со скоростью щ (х,1), поэтому условия (9.55) называют также условиями прилипания.
Статические граничные условия записываются следующим образом:
x e Z s: S W = §о(5Ц). |
(9.56) |
Если вектор SQ(X , t) нулевой, то £ 5 называется свободной по верхностью. Если Ev = Е, то говорят о первой краевой задаче,
если Es = Е, то о второй краевой задаче, если же £„ Ф 0 и Е5 ф 0 — то о смешанной краевой задаче.
Л Е К Ц И Я 10
ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ ТВЁРДЫХ ТЕЛ
Продолжим начатое в прошлой лекции изучение моделей сплошных сред и перейдём от жидкостей к твёрдым деформи руемым телам. В механике сплошной среды часто твёрдые тела отличают от жидкости не по агрегатному состоянию вещества. Обычно, если используется лагранжев подход и кинематика де формирования описывается вектором перемещения и тензором деформаций, то говорят о твёрдом теле [47]. Если же исполь зуется эйлеров подход и кинематика характеризуется вектором скорости и тензором скоростей деформаций, то речь идёт о жидкости или газе. При этом, как правило, несжимаемая среда называется жидкостью, а сжимаемая — газом.
Будем изучать малые деформации и введём прямоугольную декартову систему координат. Частную производную по коорди нате будем обозначать запятой в индексе. Тогда уравнения дви жения (6.58) в компонентах записываются следующим образом:
ŒU' |
|
(ЮЛ) |
Р~^ = °ij,j + pFi, |
||
или, с учётом (1.18), |
|
|
д2и- |
+ РЪ ■ |
(Ю.2) |
Р ^ ф = |
Три уравнения движения (10.2) и шесть соотношений Ко ши (5.5) содержат пятнадцать неизвестных величин: по шесть компонент симметричных тензоров напряжений сгу (8.43) и ма лых деформаций еу (5.4), а также и три компоненты вектора перемещений щ. Напомним, что плотность р не входит в число неизвестных, а определяется из уравнения неразрывности (6.17) в лагранжевых координатах после нахождения деформаций и ди латации 9. Система (10.2), (5.5) незамкнута, и для её замыка ния сплошную среду необходимо конкретизировать, т. е. задать определяющие соотношения среды. В предыдущей лекции уже встречались подобные соотношения для идеальной баротропной жидкости (9.12) и для ньютоновской вязкой жидкости (9.49).