книги / Основы механики сплошной среды
..pdfотсчёта — длину дуги s. Тогда согласно определению линии тока
Qfp |
(2.1) |
— = K v(x\,x2,x 3,t), |
где К, вообще говоря, зависит от s. Запишем соотношение покоординатно:
dxi = Kvi ds = Vi dX, |
К ds = dX, |
(2.2) |
|
или в виде |
|
|
|
dx 1 |
dx2 |
dx3 |
(2.3) |
Vi(x\,x2,x 3,t) |
v2(xi,x2,x3,t) |
= dX, |
|
v3(xi,x2,x 3,t) |
|
||
где параметр Л — скалярная функция длины дуги s.
Система трёх уравнений (2.3) определяет картину линий тока в пространстве в момент времени t. Отметим существенное различие между решениями этой системы и решениями систе мы (1.25), которую по аналогии с (2.3) запишем следующим
образом: |
|
|
_____dx\_____ _______ dx2____________ dxз_______ ^ |
.g |
|
v\{x\,x2,x 3,t) v2(xi,x2,x 3,t) |
v3(x\,x2,x 3,t) |
|
Оно состоит в том, что в (2.3) |
время фиксировано и |
входит |
как параметр, а в (2.4) время меняется и представляет собой независимый аргумент.
Поскольку решением системы (2.3) является семейство линий тока, а решением системы (2.4) — семейство траекторий, то ли нии тока, вообще говоря, отличаются от траекторий частиц. В са мом деле, пусть плоское тело представляет собой квадрат ABCD (рис. 10), двигающийся посту пательно в своей плоскости, причём центр М квадрата вра щается по окружности вокруг неподвижной точки О. Траекто риями точек квадрата в данном случае будут окружности радиу са \ОМ\ (например, для точ ки А центр такой окружности находится в точке А'). В силу же поступательности движения, т. е. равенства скоростей всех то чек тела, линии тока в каждый момент времени будут представ лять собой семейство отрезков,
проходящих через все точки квадрата и перпендикулярных в каждый момент времени отрезку \ОМ\.
Найдём, например, линии тока для поля скоростей, задава емого уравнениями (1.30). Подставляя (1.30) в систему (2.3),
получим |
, |
, |
, |
(2.5) |
|
_ d x i — |
= _ d x 2— |
= d x ^=dX |
|
|
ütX\ I X2 |
ütx2 IE] |
0 |
|
Из системы дифференциальных уравнений (2.5) следует, что
линиями тока будут пересечения плоскостей |
= const и ци |
линдрических поверхностей, определяемых уравнением |
|
|
dx2 |
ütx2 —X1 |
|
|
(2.6) |
|
|
dx^ |
ütxj [' a»2 |
|
|
||
|
|
|
|
|||
Для интегрирования уравнения (2.6) с помощью замены |
||||||
у(х) = X2jx\, х = х\ |
сведём его к уравнению с разделяющимися |
|||||
переменными, |
у + at . |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
------j d y |
= - — , |
|
( 2 .7 ) |
||
|
1 + У2 |
х |
|
|
|
|
которое имеет следующий интеграл: |
|
|
|
|||
х yf 1 -f у2exp (at arctgy) = |
С. |
(2.8) |
||||
Переходя опять к переменным х\, %2, запишем (2.8) в виде |
||||||
^ (х \)2 + (х2)2ехр |
^ a ta r c tg ^ J = С |
(2.9) |
||||
или же в полярных координатах на |
плоскости |
Ох1 X2 (г = |
||||
= \f(x\)2+ (х2)2, р = arctg(х2 /х\)): |
|
|
|
|||
|
г = CeTat<fi, |
x3 = |
Ci. |
|
(2.10) |
|
Таким образом, |
линии |
тока |
в любой |
момент |
представля |
|
ют собой логарифмические спирали в плоскостях, ортогональ ных оси (Ох3). Траектории же частиц описываются уравнения ми (1.26) и представляют собой прямые линии.
Совпадение линий тока с траекториями происходит в двух случаях. Во-первых, это случай установившегося движения, когда поле скоростей стационарно, т. е. явно не зависит от
времени: |
|
|
ÔVi Л |
Vi = Vi(x\,X2,Xz). |
(2-11) |
- ^ - = 0 ИЛИ |
В этом случае уравнения (2.3) и (2.4) идентичны. Во-вторых, такое совпадение имеет место и при неустановившемся движе нии, если траектории всех частиц тела прямолинейны. Тогда
семейство |
огибающих |
поля |
скоростей |
|
|
также прямолинейно и не отличается |
|
||||
в пространстве от траекторий частиц. |
|
||||
Если выпустить из каждой точки |
|
||||
некоторого замкнутого контура С ли |
|
||||
нию тока |
(рис. 11), то |
в пространстве |
Рис. 11 |
||
образуется трубка тока. |
|
|
|||
Для дальнейшего изложения пона |
|
||||
добятся некоторые понятия и теоремы |
|
||||
векторного анализа |
[36]. |
|
|
||
Пусть |
в ортогональной декартовой |
|
|||
системе координат в R3 с базисными |
|
||||
векторами ki заданы векторы: а = afa, |
|
||||
b — biki, |
c — aki |
(рис. 12). |
Напом |
|
|
ним два типа умножения векторов а |
|
||||
и Ь. |
|
|
|
|
|
а) Скалярное произведение векторов. Для базисных векто |
|||||
ров к{ ■kj = 5ij. Тогда |
|
|
|
||
|
а *b |
aiki *bjkj — aibjôij —aibi. |
(2. 12) |
||
Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю, кроме того: a b — Ь - а.
б) |
Векторное произведение векторов. Для базисных век- |
||||
торов |
—é -4 |
—♦ |
трёхиндексный |
символ Леви- |
|
ki х kj = eijkkk, где Cÿjfc — |
|||||
Чивиты: |
|
|
|
|
|
|
с123 = |
€231 = €312 = —€213 = |
€ 132 = —6321 = |
1. |
(2.13) |
Остальные же компоненты tijk, т. е. те компоненты, где хотя бы два индекса одинаковы, равны нулю. Тогда
—* —* —* |
»♦ |
(2.14) |
а х b —ûjfej х bjkj —tijkdibjkk- |
||
Векторное произведение двух коллинеарных векторов равно ну лю, кроме того: а х b = —b х а.
Заметим, что модуль векторного произведения (2.14) векто ров о и b численно равен площади Е параллелограмма, “натяну
того” на эти векторы (рис. 12): |
|
|а х Ъ\ = |а ||î>|sina = Е. |
(2.15) |
Вводя единичный вектор нормали п к поверхности Е, |
|
п = щкй |п|2 = щщ = 1, |
(2.16) |
можно определить площадь £ как векторную величину: |
|
|||||
£ |
= En = | а х Ь | п = |
а х Ь = Ejfci. |
(2.17) |
|||
|
|
En& == €{jk(libj —S к- |
||||
|
|
|
||||
в) Смешанное произведение трёх векторов. |
|
|||||
(а х Ь) • с = (Ь х с) • а = (с х а) • 6 — бдоа^-с*. |
(2.18) |
|||||
Модуль величины (2.18) представляет собой объём V паралле |
||||||
лепипеда, “натянутого” на векторы a, b и с (рис. 12): |
|
|||||
V = |(3 х Ъ) ■с | = |
\€ijkaibjCk\ = |£ • с |. |
(2.19) |
||||
Смешанное произведение трёх компланарных векторов равно |
||||||
нулю. |
|
|
|
|
■—> |
|
Введём в рассмотрение дифференциальный оператор |
||||||
V — |
||||||
набла. Его компонентами являются операторы частного диффе |
||||||
ренцирования: |
|
|
|
|
|
|
|
|
V = |
= dih. |
(2.20) |
||
Применяя рассмотренные выше виды умножения к V, получим |
||||||
—1 |
—* |
—ф |
|
|
(2.21) |
|
V ■а — dih ■ajkj = Sijdiaj = diOi = diva, |
||||||
V x о = diki x ajkj = |
= rot a, |
(2.22) |
||||
|
|
V v? = |
= |
grad <p, |
(2.23) |
|
где ф(х\,Х2,хз) — некоторая скалярная функция. |
|
|||||
Векторное |
поле |
a ( i |, s 2.^ 3) |
называетсяпотенциальным, |
|||
если существует такое скалярное поле <р(х\,Х2,хз), что |
|
|||||
|
|
a = |
grad<p. |
(2.24) |
||
Поле ip носит название скалярного потенциала а. |
|
|||||
Векторное |
поле |
а{х\,хч,х$) |
называетсясоленоидальным, |
|||
если существует такое векторное поле ф(х1, 2:2,353), что |
|
|||||
|
|
а = |
rot ф. |
(2.25) |
||
Поле ф носит название векторного потенциала а 0 . Дифференциальные операторы diva и rota называются ди
вергенцией и ротором векторного поля а, а оператор grad (р —
') Справедлива теорема Гельмгольца: всякое векторное поле a(x,t)
может быть однозначно (с точностью до функции времени) представ лено в виде: а = gradi/з -f rot ф.
градиентом скалярного поля ip. В дальнейшем выясним механи ческий смысл введёных дифференциальных операторов, а пока определим линейный оператор второго порядка
Ау> = div grad ip, |
(2.26) |
называемый оператором Лапласа скалярного поля <р. Докажем, что для любых скалярного поля <р и векторного
поля а выполняются тождества |
б) rot grad ip = 0. |
|
a) div rot о = 0, |
(2.27) |
|
Воспользуемся определениями (2.21 )—(2.23). |
|
|
а) div rot а = div (tijkàiüjkk) = |
= 0, в силу того что |
|
символ Леви-Чивиты e^/t антисимметричен по индексам г и А: (см. (2.13)), а смешанная производная didkfij по г и к симмет рична. Следовательно, их свёртка по этим индексам равна нулю.
б) rot gradtp = rot (kidup) = е^д{дцркк —0.
Для того чтобы поле а было потенциально, необходимо и достаточно, чтобы rot а = 0, а для того чтобы оно было соленоидально, необходимо и достаточно, чтобы diva = 0. Если поле а одновременно потенциально и соленоидально, то его скалярный потенциал, очевидно, является гармонической функцией, т. е. удовлетворяет уравнению Лапласа
А(р = 0, |
(2.28) |
и наоборот, любой гармонической функции |
можно поставить |
в соответствие векторное поле, являющееся и потенциальным, и соленоидальным [20].
Рассмотрим теперь в качестве а поле вектора скорости v(x\,X2,xs,t). Все ранее сформулированные определения и утверждения применимы теперь к v. Скалярный и векторный потенциалы скорости будем по-прежнему обозначать ( р и ф соответственно. Введём также в рассмотрение вектор вихря и:
и = ^ rot v, |
(2.29) |
являющийся, очевидно, соленоидальным. Векторные линии поля w(xi,X2,x$,t) носят название вихревых линий. Если же из каж дой точки замкнутого контура выпустить вихревую линию, то в пространстве образуется так называемая вихревая трубка.
Свяжем с вектором вихря антисимметричный тензор вихря, или спин-тензор, у:
(2.30)
Подставляя соотношения (2.29) в (2.30), получим
Щ] — 2£ijkeklmdlVm = |
~ |
~ |
= 2 —Vi’i )’ (2-31)
т. е. компоненты тензора вихря — антисимметричная часть объ екта Vjti, называемого градиентом скоростей. Его симметрич ную часть будем обозначать Vif
Vij = Vji = Vji —u>ij = —(vij + Vj'i), |
|
(2.32) |
||
и называть компонентами тензора скоростей деформаций. |
||||
Рассмотрим |
прямоугольный |
параллелепипед |
со |
сторона |
ми Д хь Дх2, |
Дхз, рёбра которого лежат на |
координатных |
||
осях прямоугольной декартовой |
системы с ортами ki |
(рис. 13). |
||
Объём A V этого параллелепипеда равен Да^ДхгДхз. Бесконеч но малый объём A V удобно записать в виде
dV = dx 1dx2 dx3. |
(2.33) |
Объём V, занимаемый сплошной средой, будем обозначать V :
Наряду с координатными элементами объёма будем также рассматривать координатные элементы площади dE* [36]:
dEa = dxp dx7 |
(аф fi, fi Ф y, |
7 Ф a). |
(2.35) |
||
Для площадки dE |
(рис. 13), проходящей |
через точки |
А \, A4, |
||
Аз, с единичной внешней нормалью п можно записать |
|
||||
d £ |
= dE m h = dE ^ah |
h = dEiki. |
(2.36) |
||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
dE = dxidx2 k3+ dx%dx3 k\ + dx3dx\ |
= |
# |
|
||
|
H |
|
|
(2.37) |
|
= (dxj A:i —dx3 £3) x (dx2 &2 —d®3 &з) = df>2 x d6i, |
|||||
T. e. векторный элемент площади dE есть векторное произведе ние образующих эту площадь векторов d&2 и db1, изображённых на рис. 13.
Элементарным потоком dV поля а(хьХ 2,хз) через вектор ный элемент площади dE назовём скалярную величину
|
dV — а ■d/E = aidEi, |
или |
dV = a ^ d E , |
(2.38) |
где |
= а -п — проекция |
а на нормаль, или нормальная со |
||
ставляющая вектора а на площадке d Е .
Пусть теперь V — некоторая область в R3 с границей dV = = Е, на которой определена внешняя единичная нормаль п (рис. 14). Пусть в V определено векторное поле а(х1,Х2,яз).
Рис. 14
По формуле |
Ньютона-Лейбница для первой компонен |
|
ты a\(xi,X2,xz) |
можно записать |
|
|
a i |
(2.39) |
Умножим обе части (2.39) на координатный элемент |
площа |
|
ди dE 1, равный согласно (2.35) dx2dx3: |
|
|
*1
a id E ] =
dx2dx%+ ai (x\o)dx2dx3. |
(2.40) |
liO
Проинтегрировав равенство (2.40), получим
Ja ,d E , = J ^ d V . |
(2.41) |
ЕV
Соотношение, аналогичное (2.41), справедливо и для двух дру гих компонент 02, 03 вектора о. Поэтому
Ô02
дх2
à'ivadV. (2.42)
Подставляя из (2.38) связь dV с dE, окончательно получим
формулу Остроградского—Гаусса:
J a (n>dE = JdivadV, |
(2.43) |
ЕV
т.е. объёмный интеграл от дивергенции векторного поля равен интегралу по поверхности этого объёма от скалярного произве дения самого поля и единичной нормали к поверхности.
Левая часть (2.42) представляет собой поток V векторного поля а через всю границу Е (рис. 15). Таким образом,
dV = divadV, |
или |
dV |
(2.44) |
diva = — , |
Cv V
откуда следует, что дивергенция векторного поля есть изменение потока в единице объёма. В этом состоит механический смысл дифференциального оператора div, определённого в (2.21).
а(х\,Х2,хз)
Рис. 15
Из (2.42) видно, что для соленоидального векторного по ля поток через любую замкнутую поверхность равен нулю. Отметим также, что все предыдущие рассуждения и формула Остроградского-Гаусса имеют место и для нестационарного век торного поля а(х\,Х2,хз,t) в каждый момент времени £.
Пусть теперь а является полем скоростей v(x\,X2,xz) в те
ле V, так что |
|
|
V |
• vdV. |
(2.45) |
Если V потенциально и ц>— скалярный потенциал, то, под |
||
ставляя равенство v = grad (p=V<p в (2.45), |
получим |
для <р |
первую формулу Гоина: |
|
|
Здесь А ф — оператор Лапласа, определённый в (2.26). Величина dcjdl, равная скалярному произведению градиента
поля с на единичный вектор I, соответствующий некоторому на правлению в пространстве, называется производной с по этому направлению. Таким образом, под знаком поверхностного инте грала в (2.46) стоит производная <рпо нормали, или нормальная производная <р, в точках поверхности Е (она обозначена др/дп).
Представим далее скорость в виде |
v = |
grad‘</?2. или, |
покомпонентно: Vi = <p\dip2> и подставим |
в |
(2.45). Получим |
вторую формулу Грина:
j^Idn |
= J^di<Plditp2+ |
dV= |
е П |
V |
grad <р2 + ipi&ip2)dV. (2.47) |
|
= (gradyji |
v
Записав вторую формулу Грина для v = ip2grad ip\ |
и вычитая её |
||||
из (2.47), получим |
|
|
|
|
|
д<р2 |
dip1 |
(y?iА (/?2 — |
dV. |
(2.48) |
|
( PI дп ^ 2 |
дп ) Н |
||||
|
|
|
|||
Соотношение (2.48) носит название третьей формулы Грина. Рассмотрим в качестве примера потенциальное течение со
скалярным потенциалом
ip = - 4~ > Q —const, r = y j x \ + x \ + x з = y/xiXi. (2.49)
Найдём линии |
тока и эквипотенциальные поверхности, а также |
|
поток вектора |
скорости через поверхность сферы |
: г = а. |
Эквипотенциальными поверхнос тями (поверхностями ip = const) для течения (2.49) являются концентри ческие сферы г = const с центром в точке О (рис. 16). Следовательно, линиями тока будут лучи, исходящие из точки О. Действительно, найдём поле скоростей:
_ dip _ |
Q dr _ |
Q xj _ |
Qxj |
i dxi |
4ят2 dxi |
47гг2 г |
4лт3 |
|
|
|
(2.50) |
Компоненты гц единичной внешней нормали к поверхности сфе ры будут направляющими косинусами радиуса-вектора, т. е.
гц = Xifa. Тогда
w<n) Г—а |
* w |r=e |
Q-ïj |
Xi |
Q |
|
(2.51) |
4тга3 |
а |
47Га2' |
|
|||
С другой стороны, на поверхности Е0 |
|
|
|
|
||
( Qxi |
Qxi \ 1/2 _ |
( Q2 |
ч 1/2 |
\Q\ |
(2.52) |
|
1^1 y/ViVt ^ 4 ^ 3 4 ^ 3 J |
у 1 б7г2 а4у |
47га2 ’ |
||||