книги / Основы механики сплошной среды
..pdfПри переходе от первого выражению ко второму (замена двойной суммы одинарной) и от второго выражения к третьему (интегри рование по частям) в цепочке (17.9) мы вновь воспользовались тем, что функция / на границе с?Г обращается в нуль.
Итак, из (17.6)—(17.9) следует “макроскопическое” уравнение неразрывности (6.11):
(17.10)
многократно встречавшееся ранее.
Умножим теперь все члены скалярного уравнения (17.6) на вектор ppô(r —q@), проинтегрируем по Г и просуммируем по /3 от 1 до N. Первое слагаемое в силу определения макроскопиче ской скорости (17.5) даст следующее:
N
Преобразуем далее третье слагаемое:
мN г,
ppS(r- qp) |
Ô J-(/Pa) dqdp |
/?=1р |
а=1 °P* |
(17.12)
Но dpp/dpffi = h , поэтому, продолжая цепочку (17.12), получим
|
ô{r-Qp)fPp dq dp = - |
N |
|
a |
- Яр)) = |
|
|
^ |
‘r |
|
(17.13) |
|
n i |
||
Размерность скорости изменения обобщённого импульса р р’ |
|||
совпадает с размерностью силы. Поэтому величина X |
в (17.13) |
||
по размерности есть сила, отнесённая к единице объёма. Будем называть X (f,t) макроскопической объёмной силой, действую щей в момент t в точке г евклидова пространства.
Второе слагаемое уравнения (17.6) после преобразований, аналогичных (17.9) и (17.12), можно записать следующим об разом:
щ ( Ю * И р =
N 3
= E £ s r < i W ( p -«>)>- (|714)
0=i i=l *
Представим q'p в виде суммы v — среднего значения по всем точкам — и некоторых добавок Aq'p, среднее от которых равно
НУЛЮ: fy = v + Aq0. (17.15)
Умножая обе части равенства (17.15) на тр и учитывая (17.4),
получим |
Арр = mpAq'p. |
(17.16) |
р'р = mpv + Арр, |
||
Подставляя (17.15) и (17.16) в (17.14), запишем |
|
|
Е Е ^ “ (т р А г -Я р )) = Е |
(^ivJ2 (rn p ô (f-q p )fj + |
|
+ Е /ê:J ^ i^ P p ^ Q p A r - çfp)) = |
+ |
|
dXi p=i |
|
|
^ д р(КИН)
2—1 dxi
где P-Km\ f,t ) — кинетический вектор внутренних напряже ний в момент t в точке г на площадке с нормалью вдоль оси Х{. Его компоненты в декартовом базисе ку.
< # “ ’ = <,(Г >= - £ / è s s ê m s p - |
* ) \ . |
( 17. is) |
0=1 \ т0 |
/ |
|
являются компонентами симметричного тензора кинетических напряжений.
Собирая вместе выкладки (17.11)—(17.14) и (17.17), а также учитывая, что
d(pv) d(pvjv) dt dxi
+ pv,dvj
d t
d(pv) |
_dp |
dv |
(17.19) |
|
dt |
V dt |
^ dt' |
||
|
из уравнения Лиувилля (17.6) получим
dv |
^(кин) |
|
|
- X = 0. |
(17.20) |
||
P dt £ |
|||
дх{ |
|
Заметим, что макроскопическая объёмная сила X (f,t), опре делённая в (17.13) и фигурирующая в (17.20), возникает в ре зультате как внутреннего взаимодействия точек системы, так и взаимодействия с внешними телами, т. е.
X (f,t) = xW (?,t)+ Х& (f, t). |
(17.21) |
Предположим, что поле внутреннего взаимодействия X W потенциально и представимо в дивергентном виде. Это означает, что
(17.22)
а=1
где j f 0T)(f,t) — потенциальный вектор внутренних напряже ний. В статистической механике примером функции U^\q) мо жет служить сумма потенциалов Upy парного взаимодействия
частиц:
N N |
|
и Ы(я) = 5 2 Т , и1 ь М - |
(17.23) |
0=1 7=1 |
|
чФР |
|
где r/j7 — расстояние между частицами с номерами /? и 7 .
Подставляя сумму (17.21) в (17.20), принимая во внима ние (17.22) и вводя в рассмотрение полный макроскопический вектор внутренних напряжений
Рг(кт)(гЛ) + Р-ПОт)(гЛ), |
(17.24) |
получим уже знакомые уравнения движения |
сплошной сре |
ды (6.58):
(17.25)
' г - Е я г ^ - о -
Л Е К Ц И Я 18
ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТОДИНАМИКИ
В лекции 2 уже вводились понятия потенциальности и соленоидальности векторного поля, им даны соответствующие опре деления (2.24) и (2.25), а также выявлен механический смысл операторов div, rot и grad. Докажем теперь важную в вектор ном анализе теорему Гельмгольца, утверждающую, что всякое достаточно гладкое в R3 векторное поле можно представить как сумму потенциальной и соленоидальной составляющих.
Т е о р е м а Ге льм гольца . Для любого векторного по
ля й(г) класса С2 в R3 существуют скалярный 0(f) |
и век |
торный $(f) потенциалы такие, что |
|
й = grad 0 + rot Ф, |
(18.1) |
причём функция Ф является соленоидальной, т. е. div!? =
= 0. Если й —» 0 при |г*| = г —►оо, то представление |
(18.1) |
единственно. |
|
Обозначим |
(18.2) |
в = div гг, ф —rot и. |
Применяя к обеим частям (18.1) оператор div и пользуясь фор мулой (2.27), получим скалярное уравнение для 0:
Д<9 = 9. |
(18.3) |
Применяя же к обеим частям (18.1) оператор rot и пользуясь соленоидальностью Ф и равенством
—* |
—* —* |
—# |
rot rot!?' = eij^rota^j.ifck = ефЧт]Фт,цкк =
= (falôim - 0кт6ц)Фтдкк = &i.ikkk - &k,iikk -
= grad div!? —АФ = —АФ, (18.4)
получим векторное уравнение для Ф:
АФ = —ф. |
(18.5) |
Неоднородные уравнения Лапласа (18.3) и (18.5) называют уравнениями Пуассона. Их решения можно найти, зная фунда ментальное решение уравнения Пуассона. Например, для (18.3)
фундаментальным решением 0*(г, £ ) будет решение уравнения
Д0* = 6 ( г - ( ) , |
(18.6) |
где I*— фиксированный вектор в R3.
Вид скалярного потенциала (2.49), исследованного в лек ции 2, указывает на явный вид решения (18.6):
|
1 |
в * (г ,а = |
(18.7) |
4тгг ' |
где под г теперь понимается расстояние между точками г и £:
г = \/{xi - £i)(xi - &). |
(18.8) |
Тогда единственное решение уравнения Пуассона (18.3) имеет вид
» « ) dVv |
(18.9) |
Здесь и далее введено обозначение: dVç = dfi
Аналогично выписывается единственное решение для вектор
ного уравнения (18.5): |
|
|
Hr) = |
iЩ щ . f |
(18.10) |
4л J |
г |
|
v |
|
|
Подставим теперь потенциалы (18.9) и (18.10) |
в (18.1) |
|
и с учётом обозначений (18.2) и (18.8) получим |
|
|
grad I
“ (r) = s
v
di™ (£)
Г
лт/ |
, |
„и f rot“ (£) |
dVe . (18.11) |
||
щ |
’ |
+ |
rot J |
г |
|
|
|
J |
|
||
v
Внесём в (18.11) дифференциальные (по переменным х) операто ры grad и rot под знак интегралов по переменным £, принимая во внимание, что
|
j? - |
( 1) — ÏL |
|
(18.12) |
|
|
axi |
\ г ) |
1 |
|
|
Окончательно будем иметь |
|
|
|
||
и = |
divu(|*) r - Ç |
dVc + J rot-iï(|*) x |
г —£ |
(18.13) |
|
|
4л |
|
|
|
|
—*
Таким образом, потенциалы 0 и !? представлены соотно шениями (18.9), (18.10), а выражение (18.1) имеет вид (18.11)
либо (18.13). Если дополнительно известно, что поле и по тенциальное (безвихревое), то в (18.11) и (18.13) отличны от нуля только первые слагаемые, если поле й соленоидальное, то только вторые. Описанный алгоритм нахождения потенциалов 0 и Ф указывает на единственность разложения (18.1). Теорема Гельмгольца доказана.
Эта теорема векторного анализа играет важную роль в электромагнитодинамике — разделе МСС, занимающемся процессами деформирования сплошных сред под действием сил не только механической, но также электрической и магнитной природы [24, 56]. Говоря об электрических силах, необходимо вспом нить известный в классической механике закон тяготения Ньютона, утверждающий, что для двух точечных масс mi и m<i в пространстве R3
Я а = - / |
т\ТП2 гxi |
(18.14) |
|
Ы 2 1пгГ |
|||
|
где Fi2 — сила, действующая со стороны массы mi на m2, т\2 — вектор, указанный на рис. 51, / « 6 , 6 7 3 - 10~и м3/( кг-с2) —
гравитационная постоянная.
Ранее были введены плотность распределения массы р, проб ная единичная масса и силы, которые появлялись от взаимо действия пробной массы с другими массами. Пусть теперь
< |
-----*~фт2 |
ei |
ru |
ег |
|
Fl2 |
|
|
|
Рис. 51
в пространстве расположены два заряда: ei и ег (рис. 52). Тогда по аналогии с (18.14) положим, что со стороны заряда ei на ег действует кулоновская сила
|
Р\2 = ± е!вг У12 |
(18.15) |
|
|п 2|2 |Пг| |
|
Знак |
в (18.15) выбирается, если заряды одноимённые, |
|
а знак |
если разноимённые (противоимённые). Соотноше |
|
ние (18.15) называется законом. Кулона.
Заметим, что не все элементарные частицы являются источ ником электромагнитного поля. Так что значения электрического
заряда е приписываются только частицам, которые создают та кого рода поля. Законы физики не изменяют своего вида при замене всех положительных зарядов на отрицательные и на оборот.
Если заряды некоторым образом непрерывно распределены в пространстве, то характеристикой такого распределения явля ется плотность заряда pe(r, t) — lim Де/A F :
|
4V"PedV, |
(18.16) |
где е — суммарный заряд объёма V Примем закон постоянства |
||
заряда в виде |
. |
|
|
| = 0, |
0 8 .,7 ) |
или, если заряды точеченые, |
|
|
N |
М |
|
4 |
- X ) еГ = const. |
(18.18) |
1=1 |
1=1 |
|
Плотность заряда удовлетворяет дифференциальному уравнению постоянства заряда, записываемому аналогично уравнению неразрывности (6.11):
+ div (pev) = 0, |
(18.19) |
где V — скорость движения зарядов.
Пусть поле создаётся точечным электрическим зарядом ео, помещённым в начале координат. Введём характеристику этого поля — вектор электрической напряжённости, или просто напряжённость, Е — такую, что при внесении в поле пробного заряда е, одноимённого с ео, на него действует центральная сила
(18.20) Поле Е состоит из суммы полей отдельных (свободных)
зарядов: |
(18.21) |
div Е = 4тгре, rot Е = 0, |
и является безвихревым. Тогда из теоремы Гельмгольца следует, что существует электрический потенциал tp, такой что
Е = —grad <р, Д ip = —47гре. |
(18.22) |
Следовательно, если ре = е06(х —|) , то
и из первой формулы (18.22) получим
|
|
(18.24) |
Тогда из (18.20) следует, что |
|
|
-# |
Т |
(18.25) |
F = ее0 -о. |
||
|
т |
|
Выражение (18.25), собственно говоря, и представляет собой закон Кулона.
Если заряд непрерывно распределён по объёму V (или по поверхности Е, или вдоль кривой Г) с плотностью pe(f,t), то электрический потенциал имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(18.26) |
|
Функция |
<р |
(18.26) |
является |
решением |
уравнения |
Пуассо |
||||
на (18.22) |
|
|
|
Ар = —47Гре, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(18.27) |
||||
а следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
div Ê = |
47гре, |
rot Ê = 6. |
|
(18.28) |
|||
Возьмём |
теперь |
заряд |
е в |
начале координат и |
|
заряд |
—е |
|||
в точке с радиусом-вектором I (рис. 53). Если |
длина |
\1\ |
||||||||
много меньше расстояния от данных зарядов до |
|
|
||||||||
исследуемых |
точек, |
то |
совокупность |
зарядов |
е |
|
|
|||
и —е носит название диполя. Потенциал диполя в |
|
|
||||||||
произвольной точке г равен |
|
|
|
|
|
|
||||
ю = 7^7------ = |
е grad - • I = grad - • dp, |
(18.29) |
1 |
|
|
|||||
|F| |
\ |
f - l |
\ |
ë |
г |
г |
|
|
|
|
где вектор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(18.30) |
рис. 53 |
||
называется поляризационным моментом. Введём также соотно шением
dp = PdV |
(18.31) |
«# _
вектор поляризации P. Тогда потенциал диполей, распре делённых по объёму V с границей Е, равен
dV =
= ï ^ - d t - |
(18.32) |
s v
Если объём V бесконечен, по нему распределены истинные заряды 1) с плотностью ре и диполи, а на бесконечности и те и другие отсутствуют. Если же существуют одновременно и истинные заряды и поляризационные моменты, то потенциал имеет следующий вид:
Га - К У М А дг,. |
(18.33) |
V
где г — расстояние (18.8) между £ и текущей точкой г. Функ ция <р (18.30) является решением уравнения Пуассона
Д ip = —47г(ре —divP). |
(18.34) |
Примем во внимание связь (18.22) Е с (р и вместо первого равенства (18.28) из (18.34) придём к выражениям
— для плотности истинных зарядов
Pe = ^ d i v ( £ + 47rP), |
(18.35) |
— для плотности свободных зарядов
р = div ( ~ } = ре - div Р |
(18.36) |
—для плотности поляризационных зарядов
—pé + р = -div Р. |
(18.37) |
В диэлектриках благодаря воздействию поля электрической напряжённости Е происходит ориентация диполей, т. е. поляри зация. Если диэлектрик изотропный, то вектор поляризации Р коллинеарен вектору электрической напряжённости Ё. Тогда
'Шод истинными зарядами понимаются все заряды, которые под действием электрического поля могут перемещаться на большие рас стояния. Заряды, входящие в состав нейтральных молекул и колеб лющиеся вблизи положений равновесия этих молекул, носят название связанных. Совокупность истинных и связанных зарядов называют
свободными зарядами.