|
получим |
tTl—П—1 |
rv |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 Ч= £ |
Pn+r^ S ! ^ l l L e-n,t d t |
|
|
|
r=0 |
0 |
|
|
|
Введем обозначение |
|
|
|
|
|
|
|
|
гчэ |
|
|
|
|
? (« (x , г) = |
^ |
e~^t‘ dt. |
( 7 . 1 . 2 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
Тогда с учетом второго равенства в формуле (7.1.12) получим |
|
L |
Р (л, п)р„ |
|
т—п—1 |
|
|
|
|
^ |
Р(т — ( г е - т - г ) , |
х ) ® ( л |хг),. |
|
Р (0, п ) Р (т, |
у) |
|
|
г=О |
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая это выражение с формулой (7.1.21), видим, что у нас есть возможность вычислить сумму, входящую в последнее вы ражение, по формуле
п — Я — 1 |
я(о, я) я (/я, у) г 1 |
1-е |
|
(от — (я + г), х) ?(«!«•, Г) |
^ j. (7.1.26) |
?Го |
Р ( п , п ) р {) [ к |
? |
|
|
|
|
Эта формула может быть применена для вычисления средне го времени нахождения в очереди для других замкнутых систем.
Время простоя ТУ есть сумма времени нахождения в очереди Точ и времени обслуживания Т0бС[см. (7.1.19)]. Случайные вели чины Точ и Г0бс независимы, поэтому плотность распределения
времени простоя можно найти как композицию двух законов [см. (7.1.24)]:
6
Зачастую имеется всего один канал обслуживания техники (/г=1). В этом случае многие формулы значительно упрощают ся. Состояние Х\ — это такое состояние, когда отказало одно тех
ническое устройство и оно находится на обслуживании. Граф состояний рассматриваемой системы показан на рис. 7.1.3. Ве роятность р\ найдем из второй формулы выражения (7.1.12) при /2=1 и г = 0:
|
Я (т — 1, у) |
(7.1.27) |
|
Я (ш, у.) Яо> |
|
|
|
так как при /2=1 Р (п, п)=Р (0, /г). Заметим, что при п= 1 |
JJL
Г
Среднее число обслуживаемых технических устройства , рав ное среднему числу занятых каналов А» будет
= А = 1 - р 0= 1 |
= |
*> |
(7.1.31) |
R (т, у) |
(т, |
у) |
|
Среднее число ТУ, ожидающих в очереди г, будет [см. (7.1.30)
и (7.1.31)]
г = 1 - к = т - ( х + 1)*-%" '' у)= т —( х + 1)(1 —/?0). (7.1.32)
* (ю, у.)
Коэффициент использования техники £ (или вероятность того, что техническое устройство будет работать) определим из выра жения
|
/?(т — 1, 7) |
1 _ i |
т 1 Жт*у) |
т |
т |
(7.1.33)
~т ^ рRТ~~’(т, у)>7)—~т с —р°)
Среднее время простоя ТУ будет [см. (7.1.18) и (7.1.27)]
Т —Т |
1 — |
S _ |
1 |
m ^ |
|
1 |
Ро)— _х |
П 1 — |
I |
р |
5 |
Ь |
У |
п |
п ч |
!*■ |
! — |
Р о |
Ро |
|
|
|
— |
( 1 |
—Ро) |
|
|
|
(7 .1 .3 4 ) |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
Среднее время нахождения ТУ в очереди найдем из выраже
ния [см. (7.1.21), |
(7.1.29), |
(7.1.32) и |
(7.1.34)] |
|
|
— |
— |
— |
m— 71 О — А » ) |
1 |
1 |
7 |
|
|
-----------, \ |
- - |
= - - Г - Т - |
Н- |
<7.1.35> |
|
|
[X |
— /1>0 |
|
Iх |
1 — Р о |
Плотность распределения времени простоя ТУ будет иметь вид
|
|
m—1 |
|
|
|
/л—1 |
|
|
|
f |
(f\ |
V |
^ |
Г |
С-** с — |
V |
k\ |
е~*< P ( m ~ |
k' Х ) _ |
/ Л |
* > |
- Ъ |
е Рк~ |
Ъ |
|
R (т , |
у) |
|
|
ft=0 |
|
|
|
ft = 0 |
mт—1: |
|
|
|
. |
т—1 |
fcO* |
. |
^ |
. |
(lt)k |
m\ |
^ |
v*e |
1 VI |
/— |
jxe-'lte ~ \m УЧ |
W)k |
7 |
|
R (m, 7) m\ U |
k\ |
(m — Л)! |
R ( m , y m) LJ |
k\ |
(m — k)\ |
|
|
|
k=0 |
Л! |
|
|
т ! |
Z j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*=o |
|
|
|
|
Slie |
^P (m, у) |
m—1 |
|
|
(7.1.36) |
|
|
R(m, |
y)[q(t)]m |
£ |
С* И 0 ] ‘ [? (0 Г ~ ‘, |
|
|
k=0 |
|
|
|
где
p{t) = - |
xt |
it |
(( > 0); |
(7.1.37) |
|
l + |
|
|
q ( t) = \ - p ( t) . |
(7.1.38) |
Заметим, что из свойства биномиального распределения следу ет, что
k-0
С учетом этого выражения получим формулу для плотности рас пределения времени простоя [см. (7.1.36) — (7.1.39)]:
|
|
|
I t |
\ п |
|
|
- ( т |
+ |
Xt |
R ( m , y J |
[ 1 — P ( t ) \ m |
|
и ) |
|
|
^ |
i + |
|
, U , |
' = r e -^ p ,, ((1 + U y» -()i)”]. (7.1.40) |
ш
Плотность распределения времени ожидания в очереди будет [см. (7.1.24), (7.1.36) — (7.1.40)]
|
т—1 |
|
|
|
/ о ч ( 0 = |
8 ( 0 А ) + |
е~'иРь= 8 ( 0 Ро+ |
|
|
k = \ |
|
|
|
|
+ у г * р ' - 1« ® Я- |
1рЮ]п= |
|
|
0 |
[q(t)Г |
|
|
= |
Ро!8(0 + [ |
( 1 |
- (W)ml 1• |
(7.1.41) |
О с н о в н ы е р а с ч е т н ы е ф о р м у л ы
Вероятность того, что все ТУ работают нормально:
_________________ 1________________
^ 0 R (т, п, р) |
Р (n, |
п) R ( т — п — !, у) ’ |
q™ |
+ |
Р (0, п) Р (т, у ) |
где |
|
|
|
|
1 |
+ |
а |
q = \ — p\
Вероятность того, что отказало ровно k ТУ и все они обслужи
ваются (очереди нет):
|
Л= |
В (т , k, р) |
|
£ = (° . |
1. |
2 , . . /г). |
|
|
|
Ро |
|
Вероятность |
того, что отказало |
(д + r) |
ТУ — п из них обслу |
живается и г ожидает в очереди: |
|
|
|
|
Р п + г — |
Р (п, |
п ) Р ( т — (п + |
г), |
х) |
р 0 |
(r = 0, 1,.. |
т —п). |
|
Р ( 0, п ) Р ( т , х) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее |
число |
обслуживаемых |
ТУ |
(среднее число занятых: |
каналов) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кВ (т, k, р) |
|
Р (/?, ri)R(m — п — 1, |
X) |
|
|
|
qm |
1 |
|
Р (0, п) Р (т, у ) |
|
Среднее число ТУ, ожидающих в очереди: |
|
Г = Р ~ |
- " У " , , l ( m - n ) R ( m - n , 7 ) - 7 R { m - n - 1, * ) ] . |
Р (0, |
п) Р (т, |
/.) |
|
|
|
|
|
|
Среднее число простаивающих ТУ
l = k-v-r.
Вероятность того, что ТУ будет простаивать (коэффициент простоя техники):
Среднее время безотказной работы ТУ
/р |
I |
|
Среднее время простоя ТУ |
|
|
t = t n |
L |
1 |
с - : |
х |
т—7 |
Среднее время пребывания ТУ в очереди
1
t
1 - С f*
За д а ч и и у п р а ж н е н и я
7.1.1.На аэродроме имеется 24 самолета и один заправщик
горючим. Заправка длится в среднем — =0,5 часа. Полеты
и-
спланированы так, что каждый самолет совершает в среднем два вылета в сутки. Определить среднее время простоя самолета, связанное с его заправкой горючим, если после каждого полета он требует заправки.
Р е ш е н и е
Рассматривается замкнутая система СМО при n = l ; т = 24;
11
ix= 2
час час
Следовательно:
■/= -!!£- = 24.
Далее, вероятность того, что заправщик будет свободен, равна [см. (7.1.29), (1.5.31), (1.5.32)]
|
PQ-- |
Р ( т , у) |
Р (24, 24) |
|
|
Л (я , |
X) |
Ж 24 , 24) |
|
Ф* |
24 + 0,5 — 24 \ |
_ |
/ 23 + |
0,5 — 24 |
\ |
V24 |
/ |
|
\ |
У й |
/ = 0,149, |
|
|
|
Ф* |
24 + 0,5 — 24 |
|
|
|
|
V24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
Ф* (х)-- |
|
|
dt |
|
V2л
—нормальная функция распределения, таблицы которой приве дены в [2].
Заметим, что точное значение р ^т' /-- = 0, 1 4 7 .
Я Ш , г)
Среднее число заправляемых и ожидающих заправки самоле тов будет равно [см. (7.1,32)]
7 = / / г - х [ 1 - р о 1 = 2 , 7 .
Среднее число самолетов, ожидающих заправки [см. (7.1.31)]:
г = 7 - к = Г - ( 1 - Ро)= 1,85.
Среднее время простоя самолета
/п= — Г------ --------- |
1 1 = 2,04 часа, |
п X U ( l - * 0) |
J |
а среднее время ожидания заправки равно
*оч=^п —А)бс = 2,04 —0,5=1,54 часа.
7.1.2. В гараже имеется 30 автомашин и три станции обслу живания, где проводятся профилактические и ремонтные работы.
В среднем каждая машина в течение месяца трижды нуждается в проведении ремонтных работ. Машина при выполнении ремонт ных работ находится на обслуживании в среднем одни сутки. Оп ределить вероятность того, что отдельно взятая автомашина не будет нуждаться в проведении ремонтных работ, и найти сред нее время, потребное для проведения ремонтных работ и ожида ния этих работ.
Р е ш е н и е Опять рассматривается замкнутая система СМО с парамет
рами
|
п = 3; /7z = 30; \ = -----=0, 1 |
1 |
!^= 1 |
1 |
|
сутки |
сутки |
|
30 |
|
|
Имеем: |
|
|
|
Х = ^ = 3 0 ;
|
^ = |
1 — /7= 0,09; |
Щт, |
п, р) |
и |
|
__ |
Ста* = 12,4; |
|
|
ь=о |
|
|
|
Р (п , п) R ( m — ;i — 1, 7 ) = Jg 5 |
Р(0, п)Р{т, |
у ) |
По формуле (7.1.12) |
находим |
|
Ро= R (от, п, р) |
|
1 |
= 0,0336. |
|
|
Р (п, п ) Р ( т — п — 1, х) |
qm |
+ |
Р (0, |
п) Р (т, у.) |
По формуле (7.1.13) определим среднее число занятых каналов к:
k = 2,48.
Среднее число автомашин, ожидающих ремонтных работ, будет равно [см. (7.1.14)]
г = 2,09.
Среднее число автомашин, нуждающихся в проведении ремонт ных работ, будет
I = k + г = 2,48 + 2,08 = 4,56.
Вероятность того, что отдельно взятая машина не будет нуж даться в проведении ремонтных работ, равна
5 = 1 —С = 1 ----- — =0,848,
т
т . е . в с р е д н е м о к о л о 8 5 % |
в с е х м а ш и н н е б у д у т н у ж д а т |
в е д е н и и р е м о н т н ы х |
р а б о т . |
Среднее время проведения ремонтных работ и ожидания ре |
монтных работ будет равно |
|
/ п— |
1 7 ^ |
= 1 , 79 суток. |
Среднее время ожидания в очереди будет |
^оч“ |
^и-----—=--0,79 суток. |
§7.2. ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
СЧАСТИЧНОЙ ВЗАИМОПОМОЩЬЮ МЕЖДУ КАНАЛАМИ
В отличие от системы, рассмотренной в предыдущем пара графе, где техническое устройство (ТУ) могло обслуживаться только одним каналом, в этом параграфе будет рассмотрена сис тема, в которой возможна частичная взаимопомощь между ка налами. Например, если имеется шесть групп обслуживания са молетов, то один отказавший самолет будут обслуживать сразу две группы; два отказавших самолета будут обслуживать уже четыре группы: две группы — один самолет, две группы — второй самолет. Если в обслуживании нуждаются три самолета, то все они будут обслуживаться, каждый двумя группами. Если же в обслуживании нуждаются четыре самолета, то все шесть групп будут принимать участие в обслуживании самолетов; при этом два самолета будут обслуживаться каждый двумя группами и два самолета будут обслуживаться каждый одной группой и т. д.
Предполагается, что при обслуживании одного самолета двумя группами производительность увеличивается вдвое.
П о с т а н о в к а з а д а ч и : Имеется т одинаковых ТУ,
каждое из которых может в случайные моменты времени отка зать (выйти из строя). Поток отказов каждого ТУ пуассоновский с плотностью А. Каждое отказавшее ТУ может обслуживаться од ним из п каналов. Плотность пуассоновского потока обслужива-
ний каждого канала р. Если отказало не более
технических устройств, то каждое отказавшее ТУ обслуживается одновременно I каналами (напомним, что [х] — целая часть чис ла х). При этом производительность обслуживания каждого ТУ
равна /р. Величина / равна максимальному числу каналов, кото рое может обслуживать одно ТУ.
Если число отказавших технических устройство / лежит в пределах
// < у О ,
то в обслуживании участвуют все п каналов, распределяясь бо
лее или менее равномерно между всеми / отказавшими ТУ, при этом каждое ТУ обслуживается одновременно не более чем / ка налами.
т\ |
(m-i+f)k |
(m-i)A |
(m-h+f)A (m-h)A |
|
яр |
яр |
|
яр. |
яр. |
|
|
(/л-я-г+лл {т-п-г)К___ |
____ |
Л |
|
. |
. . xn*r-f |
Хп+Г |
ХП*Г+/ • • • |
xm |
|
|
яр |
|
яр |
|
яр |
|
|
|
|
Рис. 7.2.1 |
|
|
|
Если отказало k технических устройств |
то |
ров |
но п ТУ обслуживается |
(каждое ТУ обслуживается одним |
ка |
налом) |
и k—п ожидает очереди на обслуживание. |
|
Состояния системы будем связывать с числом отказавших ТУ: |
|
— отказало |
ровно i ТУ (i = 0, 1, ..., h) и все они нахо |
|
дятся на обслуживании |
(ремонтируются, проходят ре- |
гламент и т. п.); каждое ТУ обслуживается одновре менно I каналами;
Xj — отказало ровно / ТУ (j = h + \, ..., п— 1) и все они на
ходятся на обслуживании; в обслуживании участву ют одновременно все п каналов, распределяясь про извольно между отказавшими ТУ, но так, что все п
каналов заняты обслуживанием;
хп+г — отказало ров.но п + r ТУ (r = 0, 1, |
т — /г); из них |
п обслуживается (каждое ТУ одним |
каналом) и г |
ожидает в очереди на обслуживание. |
|
Граф состояний системы показан на рис. 7.2.1. |
Сравнивая граф этой системы с графом, изображенным на рис. 7.1.2, можно убедиться в том, что с точностью до обозначе ний они совпадают. Следовательно, можно воспользоваться фор мулами (7.1.12) для вероятностей состояний при стационарном
режиме работы рассматриваемой системы: |
|
|
Pi = |
------( * = 0 , ! , • • • , |
h)\ |
|
(7.2.2) |
|
|
Я(1) |
|
|
|
|
P ( h , h ) P ( m - J , у) |
( |
д + 1 |
п) |
(7.2.3) |
1 |
Р ф , h ) P ( m , х) |
|
1 |
' |
4 |
Р |
(ft, |
h) Р (т — (п + г), |
X) |
р 0(г = 0,1- • |
т — я);(7.2.4) |
Р п + г ---- |
|
Р (0, |
h ) P ( m , х) |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А й= |
т |
|
|
|
(7-2-5> |
|
|
|
« , = 4 - |
|
|
(7.2.6) |
|
|
|
|
|
|
|
(7.2.7) |
R (т, h, р {1)) Р (Л, h)R(m — h — 1, у) ’
^Р (0, Л) Р (т, г)
В(т, i, Pu)) = Clmp[i)q?i)
R{m, h, p(i)) = '2i Ckmpk{l)q™~\ k=0
Найдем среднее число обслуживаемых ТУ s:
*=Е/Л+Е w+nЕ P « + r = -^ - V] ХВ (/л, к р(1 ) 'г |
/=0 /= //+1 |
Г=1 |
ч (о «То |
