книги / Прикладные задачи теории массового обслуживания

самолета равно — = 10 мин. Плотность потока самолетов, нуж-

щийся в дозаправке, застает все заправщики занятыми, он может некоторое время ожидать освобождения заправщиков в

районе дозаправки. Среднее время ожидания дозаправки — =

V

= 20 мин. Самолет, не дождавшийся дозаправки, производит по­

садку на запасной аэродром. Если самолет дозаправлен, он производит посадку на основной аэродром. Определить вероят­ ность того, что отдельно взятый самолет будет дозаправлен, и другие характеристики системы, обеспечивающей заправку са­ молетов в воздухе: среднее число дозаправляемых самолетов, среднее время ожидания дозаправки.

Р е ш е н и е Систему, обеспечивающую дозаправку самолетов в воздухе,

можно рассматривать как систему массового обслуживания, разобранную выше. Параметры этой системы равны:

п = 4 ;

>•=0,4—-— ;

мин

v = 0 ,0 5 —-— ;

мин

т = оо (так как нет никаких ограничений на очередь);

аХ =•4;

V

V

Среднее число дозаправляемых самолетов, вычисленное по формуле (6.4.6), равно

А =3,93.

Вероятность того, что самолет будет дозаправлен, равна

Яобс= ± £ - = 0,834.

241

Среднее число самолетов, ожидающих дозаправки самолета в воздухе, определяется по формуле (6.4.8):

7 = 2,90,

т. е. около трех самолетов будут ожидать в воздухе дозаправки. Вероятность того, что самолет покинет район дозаправки, не

заправившись, равна

Яобс = 1 - Я обс = 0,166.

Среднее время ожидания самолета в «очереди» на заправку будет равно [см. (6.4.16)]

Среднее время, потребное на осуществление дозаправки, оп­ ределяется по формуле (6.4.18):

t = -^— = ■г + — = 17,1 мин.

XX

6.4.2.Производится дезинфекция (специальная санитарная обработка) сельскохозяйственной техники, прежде чем ее допус­ тить к работам в данном районе. Специальная обработка произ­ водится для того, чтобы в данный район не была занесена инфек­ ция (например, ящур). Любая машина может быть обработана

водном из п= 10 пунктов дезинфекции. Пропускная способность

каждого пункта ц = 0,1 —— . Каждая машина, прошедшая дезин-

мин

фекцию, остается зараженной с вероятностью p i= 0 ,l. По усло­ виям обработки каждая машина может ожидать дезинфекции (находиться в очереди) в среднем v = 20 мин. Машина, попавшая на обработку, проходит ее до конца. Определить вероятность Q

того, что отдельная машина, поступившая на обработку, останет­ ся зараженной, если среднее число машин, поступающих на об­

работку в единицу времени, равно Х=1—!—.

мин

Ре ш е н и е

Вэтой задаче систему дезинфекции машин можно рассмат­ ривать как систему массового обслуживания, исследованную выше в этом параграфе. Найдем параметры системы:

/г= 10;

а = — = 10;

242

Ли.

о = — = 20;

Y = — —20;

m — оо (так как нет никаких ограничений на очередь).

Тогда среднее число обслуживаемых машин будет опреде­ ляться по формуле (6.4.6):

6 = 8,8.

Вероятность того, что машина, пройдет обработку, будет:

Я » 5 с = ^ = 0,88 .

Полная вероятность Р того, что машина будет продезинфе-

цирована, равна:

Р = Робс{\ —Р\) —0,792.

Искомая вероятность Q того, что машина останется зараженной, будет равна:

Q= 1 — Я = 0,208.

§ 6.5. СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ НАХОЖДЕНИЯ ЗАЯВКИ НА ОБСЛУЖИВАНИИ

ИНЕОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ НАХОЖДЕНИЯ ЗАЯВКИ

ВОЧЕРЕДИ

Вэтом параграфе будет рассмотрена система, в которой заявки проявляют «нетерпение», находясь только на обслужи­ вании. Примером такой системы может служить конвейер с на­ копителем. В накопителе (в очереди) детали могут находиться неограниченное время. Из накопителя детали поступают на кон­ вейер. Время же обработки детали на конвейере ограничено вре­ менем прохождения конвейера через рабочее место.

П о с т а н о в к а з а д а ч и . На вход /i-канальной системы массового обслуживания поступает простейший поток заявок с плотностью X. Каждый канал обладает производительностью р.

Взаимопомощи между каналами нет: каждая заявка обслужи­ вается одним каналом. Находясь на обслуживании, заявка про­ являет «нетерпение». Параметр «нетерпения» равен х\. Если все п

каналов заняты, заявка становится в очередь, где ждет неограни­ ченное время (в очереди заявки ведут себя «терпеливо»). Число мест в очереди т. Если заявка застает все места в очереди за­

нятыми, то она получает отказ.

Состояния рассматриваемой системы будем опять связывать с числом заявок, находящихся в системе:

243

Xh — в системе имеется k заявок ( O ^ k ^ n ) ; все они обслужи­

ваются; каждая заявка обслуживается одним каналом; хп+г — в системе имеется п + r заявок ( 0 < /'^ т ) ; п из них обслу­ живается (каждая заявка одним каналом) и т ожидают

в очереди.

Граф состояний рассматриваемой системы показан на рис. 6.5.1. Величина р* на этом графе определяется из выражения

Этот граф с точностью до обозначений совпадает с графом си­ стемы, изображенном на рис. 5.1.1. Поэтому для определения

Рис. 6.5.1

вероятностей состояний рассматриваемой системы можно вос­ пользоваться результатами, полученными в § 5.1:

Во всех выражениях этого параграфа предполагается, что х*=тМ. При х* = 1 получается неопределенность, которую чита­ телю предлагается раскрыть самостоятельно (см. § -5.1).

Вероятность обслуживания равна вероятности того, что вновь прибывшая заявка не получит отказа (1 — рп+т), умноженной

244

на вероятность того, что за время нахождения на обслуживании

Вероятность обслуживания можно определить и через сред­ нее число занятых каналов k :

где Рн.о — вероятность наличия очереди в системе; tH.0— среднее время наличия очереди.

Вероятность наличия очереди определяется по формуле

г=1

245

Среднее время наличия очереди определим по формуле, ана­ логичной формуле для среднего времени наличия очереди для системы с ожиданием [см. (5.1.15)]:

Среднее время простоя канала найдем по формуле

г=1

Среднее время ожидания в очереди найдем из выражения

Закон распределения времени нахождения в очереди определяет­ ся таким же образом, как это было сделано в § 5.1.

Среднее время пребывания заявки в системе определяется по формуле

В рассматриваемой системе при неограниченном увеличении числа мест в очереди {т— »-оо) стационарный режим существует

только при величине •/.*=—— <М . Подробное объяснение этого

П[1*

факта было изложено в § 5.1.

Ввиду небольшого объема этого параграфа не будем приво­ дить сводку основных расчетных формул.

§ 6.6. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ ПВО КАК СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Рассмотрим работу n-канальной системы ПВО (рис. 6.6.1), на вход которой поступают самолеты противника. Самолеты, пролетающие в пределах полосы налета, могут быть обстреляны любым из п каналов данной систем ПВО.

Ширина полосы налета b определяется возможностями об­ стрела всеми п каналами любой цели в пределах полосы налета.

Предполагается, что если самолет летит вне пределов полосы налета (слева или справа), то эти самолеты не могут быть об­ стреляны ни одним из п каналов данной системы ПВО.

246

Глубина зоны обстрела а определяется рубежом перехвата*

и рубежом прекращения огня, которые являются одинаковыми для всех п каналов. Если обозначить через dmSLX среднюю даль­

ность перехвата и через cfmm — среднюю дальность прекращения стрельбы, то можно записать следующее приближенное выра­ жение для глубины зоны обстрела а:

Ь зависят также от скорости налетающих самолетов v, высоты их полета h и т. п.

При анализе системы ПВО в качестве канала обслуживания рассматривается канал наведения. Под каналом наведения бу­ дем понимать всю совокупность средств, обеспечивающих стрель­ бу по воздушной цели. Например, канал наведения может со­ стоять из радиолокационной станции наведения и одной пусковой установки. Если одна станция наведения обеспечивается одно­ временно тремя пусковыми установками, то каналом наведения будет эта станция и три пусковых установки. Иногда несколько каналов могут обстреливать одну цель. В этом случае будем говорить о том, что в такой системе ПВО существует «взаимопо­ мощь» между каналами.

Одной из основных характеристик системы ПВО является эффективная скорострельность одного канала р. Допустим, что станция наведения обеспечивается одновременно g пусковыми

* Рубежом перехвата называется условная линия, пролетев которую само­ лет может быть обстрелян.

247

установками, а каждая пусковая установка производит в сред­ нем р выстрелов в единицу времени. Тогда эффективная скоро­ стрельность одного канала определится так:

где р — средняя вероятность поражения цели одной выпущенной

по ней ракетой.

При рассмотрении работы системы ПВО существенным яв­ ляется вопрос о получении информации о результатах стрельбы. Здесь возможны различные случаи.

Самым простым является случай, когда канал обстреливает

цель в течение времени t0®, после чего обстрел цели прекращает­ ся независимо от того, поражена цель или нет. Считая, что каж­

дый из каналов производит пуассоновский поток эффективных (успешных) выстрелов с параметром р, можно приближенно вычислить вероятность поражения цели одним каналом по фор­ муле

Если считать, что каждый канал производит регулярный по­

ток выстрелов с параметром gp, то вероятность поражения цели одним таким каналом можно приближенно вычислить по фор­ муле

а по точности мало уступает формуле (6.6.4).

Если цель обстреливалась одновременно k каналами и каж­ дый из k каналов поражает цель независимо от других, то ве­

роятность поражения цели будет равна

Я* = 1 - ( 1 - Л ) * .

Врассматриваемом случае время обстрела Т0ъ должно быть

меньше или по крайней мере равно времени пребывания цели в зоне обстрела Г3. Среднее время пребывания цели в зоне обстре­

ла будет

где v — скорость полета самолета при условии, что он обстре­

ливается.

Случай, когда Т0б= Т3, характерен для системы ПВО, когда само время Т3 мало и нет возможности выяснить, поражена ли

цель или нет за время ее обстрела, т. е. когда, цель находится в зоне обстрела очень малое время.

248

Другой способ обстрела имеет место тогда, когда есть воз­ можность получить и использовать информацию о поражении цели. Допустим, что время, проходящее между моментом пора­ жения цели и моментом прекращения огня, есть случайная вели­ чина 7„ с математическим ожиданием М{Т„]=ги. Если за начало отсчета времени считать момент входа самолета в зону обстре­ ла, то при наличии свободных каналов это начало отсчета совпа­ дает с началом обстрела цели. В общем случае время пребыва-

ния в зоне обстрела будет случайной величиной 73 с математи­

ческим ожиданием M [73]= f3. Цель будет не поражена, если время, потребное для ее поражения 7П, будет больше времени

так как при всех условиях обстрел ведется до тех пор, пока цель находится в зоне обстрела. Если величина 7„ велика, то с боль­ шой вероятностью будет выполняться равенство 7 0 б = 7 3, т. е. мы приходим к первому случаю обстрела цели, когда стрельба ведется в течение всего времени пребывания цели в зоне обстре­ ла (типично для системы ПВО, у которой время 7 3 мало).

Таким образом, вероятность поражения цели при условии, что она обстреливается одним каналом, будет определяться как вероятность выполнения неравенства Тп< 7 3:

Имея в виду принятое допущение о пуассоновском характере системы, будем считать, что среднее время, затрачиваемое на поражение цели, равно

а поток эффективных выстрелов является пуассоновским с пара­ метром р. Далее, в силу того, что мы условились рассматривать

249

только пуассоновские системы, будем считать, что время пребы­ вания самолета в зоне обстрела Т3 является показательным с па­

раметром т):

t3 а

В этом случае можно доказать справедливость формулы

Если, кроме того, допустить приближенно, что сумма случай­ ных величин Гп+'Ти распределена по показательному закону с математическим ожиданием tn + tlu то можно доказать [21], что время занятости канала Т0б будет также подчинено показатель­

ному закону с параметром

Таким образом, поток освобождений канала ПВО, определяе­ мый выражением (6.6Л1), имеет интенсивность \х*. Если время передачи информации tn мало, то выражение (6.6.11) .примет вид

Можно дать следующее объяснение формуле (6.6.12). Поток освобождений канала слагается из двух потоков: потока пора­ жающих выстрелов с параметром ц и потока уходов непора­ женных самолетов из зоны обстрела с параметром т]. Другими словами, канал освобождается либо по причине поражения само­ лета, либо по причине выхода самолета из зоны обстрела непора­ женным.

Если время передачи информации велико по сравнению со временем пребывания цели в зоне обстрела (типично для систе­ мы ПВО, у которой время Т3 мало), то

Наконец, при анализе работы системы ПВО необходимо знать характеристики налета. Будем считать, что налетающие самоле­ ты образуют пуассоновский поток с интенсивностью А, который определяется так:

где I — средний линейный интервал между самолетами.

250