книги / Прикладные задачи теории массового обслуживания

В примере 4.3.1 было доказано, что при к<1

Pol > P ll,

только при числе каналов п>\.

Предлагаем читателю самостоятельно доказать справедли­ вость неравенства

/ (2)< & (1) для случая х > 1 .

§4.4. СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОТКАЗАМИ

ИЧАСТИЧНОЙ ВЗАИМОПОМОЩЬЮ МЕЖДУ КАНАЛАМИ

П о с т а н о в к а з а д а ч и : На вход n-канальной системы массового обслуживания поступает простейший поток заявок с плотностью Я. Плотность простейшего потока обслуживаний каж­ дого канала р. Если поступившая на обслуживание заявка за­ стает все каналы свободными, то она принимается на обслужи­ вание и обслуживается одновременно / каналами (1<п). При

этом поток обслуживаний одной заявки будет иметь интенсив­ ность l\i.

141

Если поступившая на обслуживание заявка застает в системе одну заявку, то при п^ 2 1 вновь прибывшая заявка будет при­

нята к обслуживанию и будет обслуживаться одновременно /

каналами.

Если поступившая на обслуживание заявка застает в системе i заявок (/= 0, 1, 2,...), при этом (* + 1 )/< я , то поступившая

заявка будет обслуживаться / каналами с общей производитель­ ностью /р. Если вновь поступившая заявка застает в системе /

вании будут заняты все п каналов, которые распределены между

заявками произвольным образом. Если вновь поступившая заяв­ ка застает в системе п заявок, то она получает отказ и не обслу­

живается. Попавшая на обслуживание заявка обслуживается до конца (заявки «терпеливые»).

Как и при анализе системы массового обслуживания с отка­ зами и полной взаимопомощью между каналами (см. § 4.3), будем классифицировать состояние системы по числу заявок,

целая часть числа я//. Каждая заявка обслуживается одновре­ менно / каналами с общей производительностью /р;

Xj — в системе имеется / заявок (j = h+ 1, ..., /г), в обслужива­ нии принимают участие все п каналов, распределяясь между

заявками приблизительно равномерно. Граф состояний такой системы показан на рис. 4.4.1.

Этому графу соответствует система дифференциальных урав­ нений для вероятностей состояний, которая справедлива и для переменных параметров X и р (желающие могут составить эти

уравнения).

Рассмотрим стационарный режим работы системы для случая A,= const, p = const и t— кю, который существует, так как система

обладает эргодическим свойством (см. § 2.4). В этом случае

142

можно выписать систему алгебраических уравнений и решать ее так, как это мы делали до сих пор. Однако можно поступить проще и воспользоваться теми решениями, которые были уже получены.

Заметим, что граф состояний системы до состояния Xh с точ­

ностью до обозначений параметров потоков совпадает с графом состояний классической системы массового обслуживания с от­ казами, изображенными на рис. 4.1.1. Следовательно [см. (4.1.8)]:

Граф состояний системы начиная от состояния хн и кончая со­ стоянием хп совпадает с точностью до обозначений с графом

состояний системы массового обслуживания с полной взаимопо­ мощью, изображенным на рис. 4.3.1. Таким образом [см. (4.3.5)}:

Введем обозначения:

(4.4.2)

х

(4.4.3)

гц*.

С учетом (4.4.3) выражение (4.4.1) окончательно примет вид

143

Лп

144

Вероятность занятости всех каналов системы определим из

выражения

п

Закон распределения времени Г3.вл. занятости всех каналов для случая, когда А<п// определяется с помощью графа состояний, изображенного на рис. 4.4.2.

Рис. 4.4.2

Соответствующая этому графу состояний система дифференциальных^уравнений ^должна интегрироваться при начальных

условиях ph+1(0) = 1; pk{0) =0(/e=^A +1). Плотность распределе­

ния времени занятости всех каналов системы находится из выражения

Закон распределения времени простоя хотя бы одного из кана­ лов, если h<n/l, определяется с помощью графа состояний, изо­

браженного на рис. 4.4.3. Соответствующая этому графу состоя­

145

ний система дифференциальных уравнений должна интегриро­

ваться при начальных условиях /?/Д0) = 1; Рь(0) =0{кф1г).

Плотность распределения времени простоя хотя бы одного канала системы найдем по формуле

Рис. 4.4.3

Для отыскания среднего времени занятости всех каналов си­ стемы Г;,.,,.,;, т. е. времени ее однократного пребывания в состоя­

Следовательно, вероятность пребывания системы в группе со­ стояний AVH, ..., хп (см. граф на рис. 4.4.4) будет

Тогда, в соответствии с формулами (2.5.11) и (2.5.12), будем иметь

^з.в.к "Ь —

откуда среднее время занятости всех каналов равно

146

Теперь можно _найти среднее время простоя хотя бы одного ка­

где р — вычисляется по формуле (4.4.7).

Напомним еще раз, что формулы (4.4.20) — (4.4.23) справед­ ливы только для случая, когда число каналов п не делится без

Можно показать, что система массового обслуживания с час­ тичной взаимопомощью и отказами имеет большую пропускную способность, чем система массового обслуживания без взаимо­ помощи (естественно при одинаковых параметрах системы п, л, J L ) I , но меньшую, чем система с полной взаимопомощью между каналами при тех же параметрах п, А, р.

Вероятность полной загрузки системы равна

Время полной загрузки системы Г п .з распределено по показа­

тельному закону с параметром /гр, потому что граф состояний, с

147

помощью которого определяется это время, имеет вид, показан­ ный на рис. 4.4.5.

Следовательно, среднее время полной загрузки системы равно

Среднее время пребывания заявки в системе определяется из выражения

(4.4.29)

Рис. 4.4.5 где Т— среднее число заявок, маходящихся в

системе и определяемых по формуле (4.4.9). Функцию распределения времени Т пребывания заявки в

системе можно аппроксимировать выражением

а1= 1—

/|j.

НР

Вероятность того, что занято ровно А каналов:

Среднее время пребывания заявки в системе

7= —

За д а ч и и у п р а ж н е н и я

4.4.1.Определить, на сколько увеличится вероятность обслу­ живания для СМО с отказами, параметры которой равны п=10,

Х= 8 Г——1; м.= 0 ,8 Г— 1, если обеспечить взаимопомощь в пре­

лин] Iмин]

делах группы из двух каналов (1= 2).

Р е ш е н и е Для СМО с отказами без взаимопомощи вероятность обслу­

живания определяется по формуле (4.1.13):

Р (1) _ /г (/г — 1, а)

обе —

R ( n , а)

149

В нашем случае п= 10, а= 10

Для системы с частичной взаимопомощью имеем

Для этой системы в случае, когда х = 1 , вероятность обслужи­ вания определяется по формуле (4.4.7) и (4.4.8):

Таким образом:

Яоб’с - Робе= 0,883 - 0,795 = 0,088.

4.4.2. Для условий, приведенных в предыдущем примере, найти среднее время нахождения заявки в системе для обоих случаев: СМО с отказами и без взаимопомощи и СМО с отказа­ ми и частичной взаимопомощью.

Р е ш е н и е Для отыскания среднего времени нахождения заявки в си­

стеме можно воспользоваться формулой

Среднее число заявок, находящихся в СМО с отказами, будет равно среднему числу занятых каналов

7(1>=1“,= «.P ‘VC = 7I95.

Среднее число заявок /(2), находящихся в СМО с отказами и частичной взаимопомощью, определяется по формуле (4.4.9) с учетом формулы (4.4.14):

[а,Я(/г — 1, а,)-)-Я(Л, а ,)Х

Я(!щ) + Р(Л, al) (п — Л)

X ~ Y ~ (W~M + 1)] —6,2.

Следовательно, среднее время нахождения заявки в СМО с отказами и без взаимопомощи равно

а для системы с взаимопомощью

150