книги / Прикладные задачи теории массового обслуживания

Вероятность противоположного события T04^ t будет равна

Типичный график этой зависимости показан на рис. 5.1.6.

Функция распределения случайной величины Точ определяет­

ся так:

ч V) = Р (Топ < ty= 1 - Р (Гоч > t ) - P (Гоч = *)• (5.1.28)

Вероятность P(T04 = t) имеет смысл только при ^= 0. График

функции распределения показан на рис. 5.1.7.

Мы видим, что случайная величина Точ является случайной

величиной смешанного типа, так как функция распределения имеет скачок и интервал непрерывного возрастания. Для вычис­ ления различных начальных моментов случайной величины Точ

можно воспользоваться следующей формулой:

С помощью этой формулы при k= l можно получить выраже­

ние для математического ожидания времени нахождения в оче­ реди:

^1^оч] = ^оч-

Для нахождения функции----—Р(Т0Ч> t) можно использо-

Ot

вать следующий прием. Время ожидания Ттданной заявки в оче­

реди при условии, что перед ней стоит в очереди г заявок (см. рис. 5.1.5), равно сумме (г+1) времени обслуживания в предпо­ ложении, что работают все п каналов. Так как работают все ка­

налы, то время, протекающее между вызовами двух очередных заявок из очереди, распределено по показательному закону с параметром n\i. Следовательно:

181

гS=0

Этот интеграл не равен единице, так как он не учитывает то­ го обстоятельства, что заявка вообще может не находиться в оче­ реди: получит немедленный отказ или немедленно будет приня­ та к обслуживанию.

Единице будет равно следующее выражение:

~ \ ~ t p {Т°" > tydt+ р {Т°ч= 0 ) = 1 ’

0

где

Р(Точ = 0) = \ - р п^ —

есть вероятность того, что время пребывания в очереди будет равно нулю.

182

Если ввести в рассмотрение дельта-функцию 6(х) (см. § 1.5), то можно записать выражение для плотности распределения вре­ мени ожидания в очереди /0ч(0- Напомним, что дельта-функция обладает следующими основными свойствами:

o(jt)=0 при хфО]

^<o(x)b(x)dx=<?(0),

если ф(л) непрерывна в точке дс=0; 8 (х) ф (л) = 0;

если ф (х) — нечетная функция.

Плотность распределения времени пребывания заявки в оче­ реди имеет вид

pnny.e~^-l)‘R (т — 1, >i) 4- о (г) X

Если требуется определить лишь среднее время нахождения заявки в очереди ?0ч, то закон распределения времени 70ч отыс­ кивать не требуется. Покажем это (см. гл. 3). Допустим, что время ожидания данной заявки в очереди попало в элементарный ин­ тервал (t, t+dt). Вероятность этой гипотезы приближенно рав­ на f04{t)dt. За время пребывания заявки в очереди за этой за­

явкой образуется очередь, в которой в среднем будет находить­ ся Kt заявок. Следовательно, полное математическое ожидание

числа заявок, находящихся в очереди, будет определяться из выражения

откуда формула для определения среднего времени ожидания за явки в очереди примет вид

г

(5.1.36)

183

Среднее время нахождения заявки в системе

заявки в очереди требуется лишь знание среднего числа заявок, находящихся в очереди. Таковы основные характеристики време­ ни пребывания заявок в очереди.

Рассмотрим теперь случай, когда вероятность успешного обслуживания заявки, побывавшей на обслуживании, равна р< 1. Все характеристики системы, кроме вероятности Р0бС, оста­

ются неизменными. Вероятность обслуживания заявки в этом случае определяется по формуле

Обратим внимание читателя на то, что при рассмотрении ста­ ционарного режима работы СМО с ожиданием мы ограничились лишь случаем ограниченного числа мест в очереди (/п<оо). При неограниченном числе мест в очереди (т = оо) стационарный ре­

жим работы системы существует только при условии, что

ГЦХ

Это условие указывает на то, что среднее число заявок, обслу­ живаемых в единицу времени всеми п каналами, должно быть

больше среднего числа заявок, поступающих в систему в единицу времени. Если это условие не выполняется и число мест в оче­ реди не ограничено (т = оо), то стационарного режима работы

наблюдаться не будет. Это можно объяснить следующим обра­

Однако стабилизации этого движения «вправо» не наступит, так как система не справляется с потоком заявок, что приводит к

так как система рано или поздно пройдет это состояние и практи­ чески в него уже не вернется.

184

Рассмотрим встречающийся на практике частный случай, когда имеется всего один обслуживающий канал и т мест в очереди. В этом случае величина к [см. (5.1.4) и (5.1.5)] будет равна величине а и вероятность того, что в системе будет k зая­

вок (одна заявка обслуживается, а остальные ожидают в очере­ ди), будет равна

При неограниченном числе мест в очереди (ш = со) стацио­ нарный режим существует только при условии а< 1 . В этом случае получим следующее выражение для вероятности наличия k заявок в системе:

Такое распределение вероятностей называется распределени­ ем Паскаля. Оно уже встречалось у нас в гл. 1.

1 8 5

Вероятность обслуживания в этом случае будет равна едини­ це, вероятность того, что канал занят, будет [см. (5.1.45)]:

Среднее число мест в очереди найдем по формуле

r=0 k=l

Среднее время ожидания в очереди равно

Среднее время нахождения заявки в системенайдем по формуле

ц— X

Закон распределения времени ожидания в очереди определим из выражения (5.1.27) при условии, что п=1; к = а и

О с н о в н ы е р а с ч е т н ы е ф о р м у л ы

Вероятность того, что занято ровно k каналов, а очереди нет:

186

где

fi ** ли

Вероятность того, что все каналы заняты и в очереди имеется г заявок:

р „ + г = у ' р п ( r = 0 , 1, 2 , . . . , от).

Рп+г=Р„ (Г—0, 1, 2,..., гаг).

Вероятность обслуживания равна

^обс = 1 —%тРп-

Среднее число занятых каналов (среднее число обслуживае­ мых заявок)

/г = а(1 — АтРп).

Среднее число заявок, находящихся в очереди:

Среднее время нахождения заявок в системе

t = ~ + k .

187

Вероятность обслуживания заявки для СМО с ожиданием равна

Рассмотрим первоначально случай, когда х = 1 (а =п), и по­

кажем, что

P%L-P№c>0.

Разность вероятностей в этом случае равна

так как знаменатель первой дроби в квадратной скобке меньше знаменателя второй дроби.

Рассмотрим общий случай, когда к ф 1:

Я (л, я) + Р (Л, я) V.—--------

Для того чтобы эта разность была положительна, нужно, чтобы был положителен числитель последней формулы; покажем, что он положителен:

1_угп

Отношение —------ положительно при любом значении х. По-

кажем, что разность, стоящая в квадратных скобках, тоже поло­ жительна:

188

Таким образом, мы показали, что при одинаковых парамет­

Р е ш е н и е Рассмотрим характер изменения абсолютной пропускной спо­

собности для СМО с отказами (Хс(1)) и для СМО с ожиданием (W2)) (рис. 5.1.2а) в зависимости от интенсивности потока зая­ вок X при условии, Ч Т О Р 1> Р 2 . При большой интенсивности по­ тока заявок X все каналы будут практически заняты и в этом

случае пропускная способность обеих систем будет определяться лишь общим числом каналов п и производительностью канала р. Так как по условию p i> p 2, а число каналов у них одинаковое, то при X— их> Я0(1)>^о(2). При X— *0 абсолютная пропускная способ­

ность обеих систем будет тоже стремиться к нулю (заявок очень мало), а относительная пропускная способность для обеих си­ стем будет одинаковой:

так как любая заявка будет принята к обслуживанию.

В примере 5.1.1 было показано, что в случае одинаковых па­ раметров (/г, X, х) пропускная способность СМО с ожиданием (при т > 0) всегда выше пропускной способности СМО с отка­

зами. Следовательно, о г р а н и ч е н н о е (небольшое) увеличе­ ние производительности обслуживания канала СМО с отказами можно «компенсировать» увеличением числа мест т в очереди

для СМО с ожиданием, т. е. всегда можно подобрать такую про­ изводительность канала обслуживания p i> p 2 для системы с от­ казами, когда пропускная способность обеих систем будет оди­ наковой.

189

начинает сказываться наличие большей производительности СМО с отказами. Так, например, при Л=8 вероятность того, что в системе с ожиданием будет очередь, равна [см. (5.1.17)]

Р е ш е н и е Абсолютная пропускная способность СМО с ожиданием

(А,0(2)(т )) есть неубывающая функция числа мест в очереди т

(рис. 5.1.3а), имеющая определенный предел присяг — ос:

1о2)— Пт Хо2) (ш).

/Я-*-«о

190