книги / Прикладные задачи теории массового обслуживания

Таким образом, в данном случае система с частичной взаимо­ помощью обслуживает заявки с большей вероятностью и бы­ стрее.

§4.5. СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОТКАЗАМИ

ИСЛУЧАЙНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ЗАЯВОК ПО ВСЕМ КАНАЛАМ

(ЗАНЯТЫМ И НЕЗАНЯТЫМ)

П о с т а н о в к а з а д а ч и . До сих пор мы рассматривали различные системы с отказами, когда вновь поступившие заявки распределялись только по свободным каналам. Сейчас рассмот­ рим случай, когда вновь поступившая заявка направляется с равной вероятностью \/п в любой из п каналов, безотносительно

к тому, занят канал или нет. Если заявка направлена в свобод­ ный канал, то она принимается к обслуживанию и обслуживает­ ся показательное время с параметром р. Если заявка направлена в занятый канал, то она покидает систему необслуженной. Оче­ видно, что если вновь прибывшая заявка застанет все каналы занятыми, то она не будет обслужена и получит отказ. Но она может получить отказ и при наличии свободных каналов.

Входной поток заявок, как и в предыдущих параграфах, простейший с интенсивностью Л. Заявка, попавшая в канал на обслуживание, «терпеливо» ждет конца обслуживания. Заявка, принятая к обслуживанию, обслуживается достоверно.

Примером такой системы массового обслуживания может служить система ПВО при нарушенном управлении в распреде­ лении целей между каналами обстрела.

Такую СМО будем кратко называть «системой с отказами и случайным распределением заявок».

Рассматриваемая система массового обслуживания может находиться в следующих состояниях:

х0— система свободна; вновь поступившая заявка обязатель­

но будет обслужена;

хк — в системе занято k каналов (0< k < n )yкоторые обслужи­ вают k заявок; вновь поступившая заявка попадет в один

хп — все п каналов заняты; вновь поступившая заявка полу­

чает отказ.

Граф состояний этой системы показан на рис. 4.5.1. Этому графу состояний соответствует система дифференциальных урав­ нений для определения вероятностей состояний, справедливая как для постоянных параметров Л и р , так и для переменных.

151

(Читателю рекомендуется написать эту систему дифференциаль­ ных уравнений.)

Проанализируем установившийся режим, который имеет ме­ сто при постоянных параметрах A,= const, p,= const и t— их>

(система обладает эргодическим свойством).

Рис. 4.5.1

Выпишем систему алгебраических уравнений для определения вероятностей состояний в стационарном режиме:

О— —X +

0 = —ПРРп-Т— Рп-1.

Найдем среднее число занятых каналов к (в данном случае

оно совпадает со средним числом обслуживаемых заявок):

Вероятность обслуживания заявки получим из выражения

Вероятность того, что отдельный канал будет занят, опре­ делим из формулы

153

откуда среднее время простоя канала будет

следовательно, среднее время неполной загрузки системы можно найти по формуле

Среднее время нахождения заявки в системе определяется по формуле

X (JL 1 -f X

Ввиду небольшого объема данного параграфа не будем при­ водить сводку расчетных формул.

За д а ч и и у п р а ж н е н и я

4.5.1.Доказать, что классическая система массового обслу­ живания с отказами, рассмотренная в § 4.1, параметры которой

Преобразуем это неравенство, имея в виду, что ■*. = —

п

154

R { n - \ , a)-f — Я ( д - 1 , « )> /? (я , a)

п

или

R { n ~ 1, a) > — [/?(«, a ) - / ? ( « - l , a)].

П

При рассмотрении потоков Эрланга в § 1.5 было показано, что

aа л !

Сучетом двух последних равенств получим

что выполняется для любых а и /г. Таким образом, доказано, что

^(обс>я£бс для любых параметров (/г, Я, р).

4.5.2.Рассматриваются две системы массового обслуживания:

1) СМО с отказами с параметрами л Д , ц и 2) СМО с отказами и случайным распределением заявок по каналам с теми же пара­ метрами (п, Я, р). Доказать, что среднее время пребывания за­

явки в системе в первом случае будет больше, чем во втором,

если п> 1, т. е.

Р е ш е н и е Для СМО с отказами имеем

Следовательно, для того чтобы выполнялось неравенство

достаточно выполнения неравенства

155

Справедливость этого неравенства_была показана в предыду­

щем примере. Уменьшение времени № (по сравнению с временем

А(1)) связано с тем, что вероятность обслуживания заявки системой с отказами больше, чем у системы с отказами и случайным рас­ пределением заявок. Если же рассматривать условное среднее время пребывания в системе, вычисленное при условии, что заявка принята к обслуживанию, то для обеих систем оно будет одинаковым, равным 1/р.

§ 4.6. СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОТКАЗАМИ, ВЗАИМОПОМОЩЬЮ И ОТСУТСТВИЕМ ИНФОРМАЦИИ

О РЕЗУЛЬТАТАХ ОБСЛУЖИВАНИЯ

П о с т а н о в к а з а д а ч и . На вход я-канальной системы массового обслуживания подается простейший поток заявок с интенсивностью X. Каждый канал обслуживает заявку в течение случайного времени Т{>., распределенного по показательному за­

кону с параметром р. При этом обслуживание заявки заканчи­ вается успешно с вероятностью р. Информация о том, закончи­

лось ли обслуживание успешно или безуспешно, в СМО не поступает. Если к моменту прихода новой заявки занято k кана­ лов (6 = 0, 1, 2, ..., п— 1), то оставшиеся {n — k) каналов присту­

пают к обслуживанию вновь прибывшей заявки. Таким образом, если заявку начали обслуживать (п — k) каналов, то вероятность

ее случайное время, по истечении которого он освобождается, в то время как другие каналы могут еще продолжать обслужи­ вание.

Заявки «терпеливые», т. е. время обслуживания заявки не ограничено.

Примером такой системы может быть система ПВО, когда нарушено целераспределение и каждую вновь поступившую в зо­ ну обстрела цель обстреливают все свободные каналы. Каждый канал обстреливает цель некоторое время и за это время пора­ жает ее (независимо от других каналов обстрела) с вероят­ ностью р.

Рассмотрим подробнее работу такой системы. Допустим, что в момент / = 0 все каналы были свободными. В этом случае пер­ вую пришедшую заявку будут обслуживать все п каналов и ве­ роятность ее обслуживания будет равна 1 — (1—р)п. Если к мо-. менту прихода новой заявки все п каналов заняты, то она полу­

чает отказ. Постепенно каналы, занятые обслуживанием первой заявки, будут освобождаться (все в общем случае в разное вре­ мя). Если к моменту t свободен хотя бы один канал, и в этот

момент прибывает новая заявка, то она принимается на обслу-

156

живание всеми свободными к этому моменту каналами. Таким образом, если в системе обслуживанием занято k каналов

(fe= 1, 2, я), то нельзя точно указать, сколько заявок обслужи­ вается. Можно лишь утверждать, что число обслуживаемых зая­ вок S находится в пределах

Анализ работы системы начнем с введения состоянии системы, которые в данном случае будем связывать с числом за­ нятых каналов: хк— обслуживанием занято ровно k каналов, (п—k) каналов свободны (/е= 0, 1, 2, ..., /г); в этом случае число

заявок в системе не больше /г.

\

Рис. 4.6.1

Из состояния хк система может перейти в состояние хк-и

если освободится канал. Интенсивность потока освобождений равна k[i. Система из состояний хк может перейти в состояние л:п, если придет новая заявка. Интенсивность потока заявок X. Если система находится в состоянии хп и прибывает новая заявка, то

последняя получает отказ.

Граф состояний такой системы показан на рис. 4.6.1.

Этому графу состояний соответствует система дифференци­ альных уравнений для вероятностей состояний:

<!Р'^Р = - п\хрп(/) ~ >- V рк(/)• k=0

Начальные условия для интегрирования этой системы обычно берут такими: /?0(0) = 1, рк{0) = 0 (6 ^ 0 ). Напомним, что в этой системе уравнений параметры % и ц могут быть некоторыми

157

функциями времени, т. е. потоки событий могут быть нестацио­ нарными пуассоновскими потоками.

откуда

Переходя далее к рп- 2, рп-з и т. д., можно убедиться, что

т - 1

X П р ( л — О

*=0

158

откуда по формулам обращения для преобразований Лапласа

получим

Вероятность /?о(0 найдем из условия

л— 1

(4-6ЛЗ)

m=0

Рассмотрим стационарный режим работы при t— мэо. В этом

случае получим следующие выражения для вероятностей со­ стояний:

и разделим числитель и знаменатель выражения (4.6.14) на ве­ личину !^1|.

Обратим внимание на то, что последнее выражение справедливо и для гаг = 0, в чем можно непосредственно убедиться (см. (4.6.15)].

Дальнейшие преобразования связаны с введением гаммафункции Г (JC) . Напомним ее свойства:

159

С учетом выражения (4.6.18) вероятность рп-т [см. (4.6.17)]

будет иметь вид

Если а является целым положительным числом, то формула (4.6.20) упрощается [см. (4.6.18)]:

ра—1

где

Cmп П\

т\ (п — т)\

Можно убедиться в том, что формула (4.6.22) справедлива для любого целого числа k (£=0, 1, 2, ..., п), т. е. что

a—1

2 еа -г k—1= С“+„. к=0

Вычисление вероятностей ри удобно проводить с помощью таблиц биномиального распределения В (п, т, р)

где

<7— 1 — Р\

т < п.

Действительно:

Таблицы биномиального распределения можно найти в [23].

160