книги / Прикладные задачи теории массового обслуживания

§1.6. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ПОТОКОВ СОБЫТИЙ

Вбольшинстве исследований прикладного характера делается предположение, что фигурирующие в них потоки событий являются пуассоновскими. Это объясняется не только тем, что введение пуассоновских потоков событий намного упрощает исследование

иоблегчает нахождение решения, а еще и тем, что пуассоновские

ленном смысле они являются предельными для различных пото­ ков. Например, если накладывать друг на друга («складывать») большое число различных по структуре потоков событий, то сум­ марный поток в весьма широком классе условий будет близок к пуассоновскому. С другой стороны, если взять произвольный поток и из него случайным образом выбрасывать события, то по­ сле нескольких таких разрежений полученный поток событий бу­ дет также близок к пуассоновскому * На практике очень часто фактически имеет место сложение или случайное разрежение потоков событий, поэтому пуассоновские потоки событий нахо­ дят широкое применение при решении различных прикладных задач.

1. Предельная теорема для суммарного потока

Предельная теорема для суммы нескольких потоков имеет такое же значение, как и центральная предельная теорема для суммы нескольких случайных величин. Центральная предельная теорема утверждает сходимость закона распределения суммы независимых случайных величин к нормальному закону при уве­ личении числа слагаемых. Предельная теорема для суммарного потока утверждает сходимость суммы независимых, ординар­ ных, стационарных потоков к простейшему потоку. При этом ус­ ловия, налагаемые на суммируемые потоки, приблизительно та­ кие же, как и условия центральной предельной теоремы: скла­ дываемые потоки должны оказывать более или менее одинаково малое влияние на суммарный поток. Другими словами, среди суммируемых потоков не должно быть потоков с очень большой интенсивностью (по сравнению с суммарной интенсивностью всех остальных); интенсивности складываемых потоков не должны становиться по мере увеличения номера потока исчезающе ма­ лыми; кроме этого, должны быть наложены некоторые несущест­ венные ограничения на последействие внутри каждого потока, которые мы не будем уточнять, так как книга носит прикладной характер. Здесь важно отметить, что сходимость суммарного по­ тока к простейшему осуществляется очень быстро. Практически можно считать, что сложение четырех-пяти стационарных, орди-

* Ниже будет дано более подробное разъяснение понятий сложения и раз­ режения потоков.

31

нарных, независимых потоков, сравнимых по интенсивности, достаточно для того, чтобы суммарный поток был близок к про­ стейшему.

Остановимся несколько подробнее на понятии «сложение» потоков. «Сложение» двух потоков П\ и П2 состоит в том, что все

моменты появлений событий в этих потоках относятся к одной оси 01 (см. рис. 1.6.1), на которой отмечаются моменты появле­ ния событий в суммарном потоке П = ПХ+ П2.

«____________ . ___. ____

Рис. 1.6.1

При сложении п потоков интенсивность суммарного потока

определяется следующим образом:

го потока событий достаточно знать лишь интенсивности сумми­ руемых потоков событий и практически не требуется знать внут­

реннюю структуру этих потоков. Как указывалось выше, для

сходимости суммарного потока событий к простейшему требуется взаимная независимость склады­ ваемых потоков. Поясним поня­ тие независимости потоков на примере двух потоков. Рассмот­ рим участок времени ть наложен­ ный на поток событий П\. Участок

TI может иметь произвольную длительность и начало его может быть в произвольной точке t\ оси времени 01 (см. рис. 1.6.2).

Таким же образом выберем участок времени т2 в потоке Я2. Случайное число событий в потоке Пи наступающих на участке времени п, обозначим Х\. Случайное число событий в потоке Я2, наступающих на участке времени т2, обозначим Х2. Потоки со­ бытий Пх и Я2 называются независимыми, если случайные вели­ чины Х\ и Х2 независимы. Короче это можно сформулировать

следующим образом: два потока называются независимыми, ес­ ли число событий, попадающих на любой участок времени

32

в первом потоке не зависит от того, сколько событий попало на любой участок времени во втором потоке.

На практике часто потоки возникают в результате сложения не строго независимых, а слабо зависимых потоков событий. Ис­ следования, проведенные методом статистических испытаний, по­ казывают, что и в этом случае (при достаточном числе слагае­ мых) суммарный поток также оказывается близок к простейшему.

До сих пор мы рассматривали только сложение стационар­ ных потоков событий. Оказывается, если складываемые потоки не стационарны, то предельное свойство также имеет место: по­ лучается суммарный поток, близкий к нестационарному пуассо­ новскому с интенсивностью

где hj(t) — переменная интенсивность /-го потока. При этом для любого момента времени t интенсивности всех пото­

ков должны быть соизмеримы.

Из всего вышеизложенного следует, что многие потоки собы­ тий, возникающие на практике и фигурирующие в задачах мас­ сового обслуживания, можно приближенно считать пуассонов­ скими.

Так, например, поток космических частиц является практиче­ ски пуассоновским, так как частицы порождаются очень боль­ шим числом звезд, испускающих эти частицы независимо друг от друга. Поток машин на загородном шоссе будет также прак­ тически пуассоновским потоком, так как он состоит из отдель­ ных машин, выезжающих на шоссе с различных улиц и дорог. Поток самолетов, осуществляющих посадку на аэродром, также близок к пуассоновскому, несмотря на то, что его стремятся сде­ лать строго регулярным (заранее планируют время приземления каждого самолета). Это объясняется тем, что самолеты прибыва­

в о с т ь ю, состоящей в том, что при суммировании независимых пуассоновских потоков получается снова пуассоновский поток, причем интенсивности складываемых потоков суммируются. Д о­ кажем это свойство, которое понадобится нам в дальнейшем.

Рассмотрим участок времени произвольной продолжительно­ сти т, начало которого находится в произвольной точке ty нала­

гаемой на все складываемые потоки (рис. 1.6.3). Введем в рас­ смотрение случайную величину Xj — число событий, наступив­ ших на участке времени т, в потоке /7,- (/= 1, 2, ..., п). Так как все потоки пуассоновские, то случайная величина Xj распреде­

лена по закону Пуассона с математическим ожиданием

33

aj = aj{t, т)= j lj{t)dt, 1

где ?.j(t) — интенсивность потока IJj.

Характеристическая функция случайной величины Xj, распре­ деленной по закону Пуассона с параметром aj(t, т), будет

подчинена закону Пуассона с параметром

Найдем характеристическую функцию g(x) случайной вели­ чины X. Так как потоки Я ь /72, ..., Пп независимы, то случайные величины Х\, X2i ...» Хп тоже независимы и, следовательно [см. ( 1.2.6), (1.6.3) и (1.6.5)]:

Сравнивая это выражение с выражением (1.6.3), убеждаемся, что случайная величина X подчинена закону Пуассона с пара­ метром л, что и требовалось доказать.

Таким образом, складывая независимые пуассоновские по­ токи, мы снова получаем пуассоновский поток.

34

2. Предельная теорема для редеющих потоков

Потоки событий, встречающиеся на практике, часто подвер­ гаются операции «разрежения». Она состоит в том, что под влия­ нием случайных причин те или иные события выпадают из по­ тока. Например, поток космических частиц, прежде чем достичь уровня земли, редеет за счет столкновения этих частиц с атома­ ми атмосферы; поток самолетов, прорывающихся через систему ПВО противника, редеет за счет поражения части этих самоле­ тов; поток готовых изделий тоже редеет за счет выбраковывания

дое событие с определенной вероятностью р исключается из пото­

ка независимо от того, исключены другие частицы или нет. Рассмотрим подробнее такое случайное разрежение. В каче­ стве исходного потока событий П рассмотрим стационарный

поток Пальма. К этому потоку событий применим операцию раз­ режения, состоящую в том, что каждое событие, независимо от других, переносится из исходного потока в разреженный поток Пр с неизменной вероятностью р (следовательно, выбрасывается с вероятностью q= 1— р\ рис. 1.6.4).

Такую операцию разрежения будем называть «операцией Rv» и обозначим Rp{17}:

n p= R p {п }.

Допустим, что в исходном потоке Пальма интервал между со­ седними событиями Т имел характеристическую функцию g{x). Найдем характеристическую функцию интервала Тр между со­ седними событиями в разреженном потоке Пр.

Для отыскания этой характеристической функции проведем преобразования, связанные с анализом случайного числа случай­ ных слагаемых. Рассмотрим последовательность случайных величин Х\уХ2у X3, Суммой п случайных слагаемых будем на­

зывать выражение вида

где п — вполне определенное неслучайное число.

35

Теперь представим себе опыт, в результате которого сумми­ руется не определенное число слагаемых п, а случайное число

слагаемых У Тогда суммой случайного числа случайных слагае­ мых будет выражение

i=1

где случайная величина У может принимать только положи­ тельные целочисленные значения (1, 2, 3 ...). Число возможных значений случайной величины У может быть либо ограничено некоторым конечным числом п, либо равно бесконечности.

Вернемся к исследованию случайной величины Тр. Очевидно, что случайная величина Тр может быть представлена как сумма

случайного числа случайных слагаемых

Тр = \ т ь 1=1

где случайные величины Ti(i = 1, 2, ...) взаимно независимы и

каждая имеет характеристическую функцию g(x).

Случайная величина Z представляет собой число просумми­ рованных интервалов в исходном потоке П и подчинена закону

Паскаля:

чайная величина Z = k. В предположении, что эта гипотеза имела

место, получим выражение для условной характеристической функции [см. ( 1.2.7)]:

Следовательно, безусловная характеристическая функция величины Гр будет

так как 0 < 9< 1 и | g ( x ) | ^ l .

36

Найдем числовые характеристики случайной величины Тр.

Применяя формулы (1.2.9) и (1.2.10) и учитывая, что

ft= l

получим

можно по формуле ( 1.2.11) найти плотность распределения

/тр (0 .

Анализ формулы (1.6.10) приводит нас к естественному вы­ воду, что интенсивность Кр разреженного потока Пр будет равна

интенсивности исходного потока Я, умноженной на вероятность сохранения события в потоке р:

где К— интенсивность исходного потока Я.

37

Введем новое преобразование Rp потока П, заключающееся в том, что поток подвергается сперва преобразованию Rp, а за­

тем сжимается так, чтобы интенсивность потока Пр была равна интенсивности исходного потока П. Для этого достаточно слу­ чайную величину Тр умножить на р\

В этом случае характеристическая функция интервала между

Теперь можно перейти к предельной теореме для редеющих потоков. Смысл этой теоремы состоит в том, что если последо­ вательно разрежать стационарный ординарный поток Пальма достаточно большое число раз, то такой многократно разрежен­ ный поток будет близок к простейшему. Предположим, что первое разрежение сохраняет событие в потоке с вероятностью /?i> 0, второе — с вероятностью /?2>0 и т. д. Обозначим h интен­

сивность исходного потока Пальма. Предположим, что вслед за каждым разрежением происходит сжатие потока с тем, чтобы его интенсивность оставалась неизменной. Обозначим п после­

довательных таких преобразований символом

38

Найдем предел этого выражения при неограниченном увеличе­ нии числа преобразований (п— кх>). В этом случае р<п>— Ч) и в

Сравнивая это выражение с (1.4.14), видим, что у предель­ ного потока интервалы между соседними событиями распределе­ ны по показательному закону. Так как исходный поток был по­

током Пальма и всякое преобразование Доставляет его потоком Пальма (интервалы остаются независимыми), то предельный поток будет также потоком Пальма с показательно распределен­ ными интервалами, т. е. простейшим потоком. Исследования показывают, что на практике уже 4—5-кратное разрежение (при /?< 0,8) дает поток, близкий к простейшему, даже если исходный

поток был регулярным. Рассмотрим случай, когда разрежению подвергается простейший поток с интенсивностью X. При разре­

жении без сжатия (Д ) преобразованный поток остается про­ стейшим с параметром Хр [см. (1.6.7), (1.6.24)]:

Если же простейший поток с параметром X подвергается

«разрежению со сжатием», то получается простейший поток с тем же параметром X.

39

§1.7. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

1.7.1.Поток Эрланга k-ro порядка является частным слу­

чаем так называемого гамма-потока, у которого интервал между соседними событиями является случайной величиной, подчинен­ ной гамма-распределению с параметрами а и р:

( t > 0; « > l ) ,

Г(а)

где

со

Г (а )= I*x a~le~xdx

6

— известная гамма-функция. При а=& -Н получаем закон рас­ пределения Эрланга k-ro порядка. Найти характеристики этого

потока.

Р е ш е н и е Найдем числовые характеристики случайной величины Т,

подчиненной гамма-распределению:

Следовательно, интенсивность потока будет

3. a

Характеристическая функция интервала Т между событиями

имеет вид

er^dt—

Плотность распределения интервала Т*9 на который случай­ ным образом падает точка S, определяется по формуле ( 1.2.2):

Ф ' я~1 е-?1

Г(а)

Воспользовавшись известным свойством гамма-функции:

Г ( * + 1 )

40