книги / Прикладные задачи теории массового обслуживания

Глава 3

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

§ 3Л. КАНАЛ ОБСЛУЖИВАНИЯ; ВРЕМЯ ОБСЛУЖИВАНИЯ; ПОТОК ОБСЛУЖИВАНИИ; ПОТОК ЗАЯВОК; ДИСЦИПЛИНА ОБСЛУЖИВАНИЯ

Основным параметром любой системы массового обслужива­ ния является число каналов обслуживания, которое мы будем обозначать буквой п. Каналом обслуживания называется вся

совокупность технических устройств, обеспечивающих обслужи­ вание одной заявки.

Рассмотрим несколько примеров:

1.Автомат продажи газированной воды является каналом обслуживания. Если рядом стоят п автоматов, то можно гово­

рить об л-канальной системе массового обслуживания.

2.Рассматривается работа столовой самообслуживания. Ка­ налами обслуживания являются места раздачи пищи. Если в столовой два места раздачи, то столовую можно рассматривать как двухканальную систему массового обслуживания.

3.Рассматривается система противовоздушной обороны (ПВО). Каналом обслуживания является совокупность всех тех

устройств, которые обеспечивают стрельбу по одной цели (радио­ локационная станция наведения снарядов и пусковые установки, которые обеспечивают запуск снарядов, наводимых этой радио­ локационной станцией).

В дальнейшем при рассмотрении конкретных задач будем указывать ту совокупность устройств, которая называется кана­ лом. Работа каждого канала характеризуется тем временем, которое затрачивается на обслуживание одной заявки. В общем случае это время является случайным. Так как мы договорились рассматривать в этой книге простейшие пуассоновские системы, то время обслуживания одной заявки одним каналом должно быть распределено по показательному закону с параметром р. Это эквивалентно тому, что на выходе непрерывно з а н я т о г о канала будет простейший поток обслуженных заявок с парамет-

92

ром |i. Поясним это положение. Допустим, что на входе такого канала в с е г д а имеется очередь из необслуженных заявок (рис. 3.1.1). Например, имеется много желающих напиться у автомата для продажи воды. Каждая заявка обслуживается независимо от других случайное время 7"1М распределенное по показательному закону с параметром р, и заявка не покидает систему во время обслуживания (если желающий пить дождется своей очереди, то он напьется воды обязательно). Тогда на вы­ ходе такой системы будет появляться поток обслуженных заявок,

при этом интервалы времени между ними (Ть Г2, Г3, ...) будут

независимы и распределены одинаково по показательному закону с параметром р, т. е. поток обслуженных заявок будет простей­ шим с интенсивностью р. В дальнейшем канал обслуживания будем характеризовать интенсивностью потока обслуживаний р. Следует обратить внимание читателя на тот факт, что рассмат­

ляется, то исчезает), интенсивность выходного потока будет меньше, чем р.

В общем случае параметр потока обслуживаний может зави­ сеть от времени (р (t)). Это эквивалентно тому, что на выходе

занятого канала будет не простейший поток обслуженных зая­ вок, а пуассоновский лоток с интенсивностью р (/).

Следовательно, можно представить себе, что обслуживание происходит так, как будто на заявку, поступившую в канал, на­ правляется поток обслуживаний с интенсивностью р. Факт обслуживания имеет место, как только в этом потоке обслужи­ ваний наступает первое событие. Такая постановка задачи очень удобна в методическом отношении, особенно, если поток обслу­ живаний пуассоновский. В дальнейшем будем всегда гово­ рить о «потоке обслуживаний», действующих на заявку, не­ смотря .на то, что каждая заявка может быть обслужена только один раз.

Рассмотрим несколько подробнее, в чем состоит допущение о показательном распределении времени обслуживания. В соот­ ветствии со свойством простейшего потока это допущение экви­ валентно тому, что если в какой-то момент времени to происходит

93

обслуживание заявки, но заявка еще не обслужена, то закон распределения оставшегося времени обслуживания не зависит от того, сколько времени продолжалось обслуживание до этого момента t0 (рис. 3.1.2). Доказательство этого положения было

изложено в § 1.4 [см. формулу (1.4.13)].

Такое положение на практике возникает тогда, когда обслу­ живание осуществляется рядом попыток, в каждой из которых с

стрельба ведется до ее поражения. Аналогичная ситуация возни­ кает при ремонте сложного радиотехнического устройства, когда «наугад» начинают искать неисправность и т. п. Во многих прак­ тических задачах время обслуживания распределено по закону, сильно отличающемуся от показательного. Однако расчеты по­ казывают, что приближенная замена этого закона показатель­ ным не приводит к большим погрешностям и большинство формул теории массового обслуживания остаются приближенно справедливыми, даже если время обслуживания не показа­ тельное.

В дальнейшем будем без специальных оговорок предполагать, что поток обслуживании каждого канала является простейшим с интенсивностью р. Интенсивность обычно определяют через сред­

нее время обслуживания одним каналом одной заявки

1

(3.1.1)

>

Как правило, будем считать, что все каналы имеют одинако­ вую интенсивность потока обслуживаний р (иногда величину р называют интенсивностью обслуживания). В этом случае нет необходимости различать каналы (первый, второй и т. д.). По­ мимо этого, будем считать, что заявка может обслуживаться любым из п каналов, т. е. любой из п каналов «доступен» для

заявки Следующим важным параметром системы массового обслу­

живания является интенсивность (плотность) потока заявок /.. (Сам поток заявок будем считать простейшим). Здесь уместно напомнить, что заявки различаются лишь моментом поступления

94

на обслуживание, а интенсивность потока заявок К определяется

через средний интервал между поступлением двух заявок t\

следующим образом:

Помимо этих параметров: числа каналов п, интенсивности

обслуживания заявки каждым каналом |х и интенсивности по­ ступления заявок в систему Я, эффективность работы системы массового обслуживания будет зависеть от дисциплины (алго­ ритма) обслуживания. Алгоритм обслуживания определяет по­ рядок распределения заявок между свободными каналами: по­ ведение заявок, попавших в систему на обслуживание; закон образования очереди; поведение заявки, попавшей в очередь, и т. п. Например, покупатель, попавший в большой универсаль­ ный магазин, может долго искать нужный отдел, в то время как в другом магазине при хорошо поставленной информационной службе и хороших указателях покупатель будет тратить на это меньше времени. Далее, при наличии нескольких одинаковых отделов покупатель может стоять в очереди в одном отделе, в то время как другой отдел будет свободен. Каждый отдел, в силу ограниченности помещения, допускает обслуживание опре­ деленного числа покупателей и наличие определенной очереди. Покупатели, не дождавшиеся своей очереди, могут покидать магазин. Некоторые покупатели стараются купить товар без очереди и т. п.

При решении различных задач методами теории массового обслуживания нужно ясно представить себе весь порядок обслу­ живания. Лишь после того, как сформулирован алгоритм обслу­ живания, можно приступать к решению поставленной задачи.

§ 3.2. РАЗОМКНУТЫЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Системы массового обслуживания можно делить на «разомк­ нутые» и «замкнутые». На вход разомкнутой системы массового обслуживания извне поступает некоторый поток заявок, причем источники этих заявок в систему не входят и их состояния ана­ лизу не подвергаются. Примером разомкнутой системы может служить счетчик Гейгера, регистрирующий космические части­ цы, или (с некоторым приближением) АТС, на которую посту­ пают вызовы.

В замкнутой системе массового обслуживания число источ­ ников заявок ограничено и интенсивность поступления заявок зависит от состояний источников, обусловленных работой самой системы. Примером замкнутой системы массового обслуживания может служить рабочий, обслуживающий несколько станков, яв­ ляющихся источниками заявок.

95

Рассмотрим я-канальную разомкнутую систему массового обслуживания (СМО) с отказами, :на вход которой подается про­ стейший поток заявок с интенсивностью X (рис. 3.2.1).

На выходе такой системы в стационарном режиме (если он существует) будут два потока;

—поток обслуженных заявок с интенсивностью Х0;

—поток необслуженных заявок с интенсивностью Хи.

необслуженных

заявок

Рис. 3.2.1

При этом будет выполняться очевидное равенство, которое назы­ вается «уравнением расхода» для разомкнутой системы:

Очевидно, отношение Х0/Х есть не что иное, как вероятность Р0пс

того, что заявка, поступившая на вход такой системы, будет об­ служена или, короче, вероятность обслуживания заявки

В дальнейшем при анализе стационарных режимов работы системы будем широко пользоваться уравнениями (3.2.1) — (3.2.4).

Иногда интенсивность потока обслуженных заявок л0 назы­ вают абсолютной пропускной способностью системы, а вероят­ ность обслуживания заявки Р0GC — относительной пропускной способностью системы.

Заметим, что если поток заявок был простейший, то потоки обслуженных и необслуженных заявок в общем случае не будут простейшими.

96

Следующей важной характеристикой разомкнутой системы, находящейся в стационарном режиме, является среднее число занятых каналов к. Для системы без «взаимопомощи» между

каналами, когда заявка может обслуживаться только одним ка­ налом, интенсивность потока обслуженных заявок определяется формулой

Для доказательства этой формулы будем рассуждать следую­ щим образом. Пусть в момент времени t занято случайное число*

каналов У Мгновенная интенсивность потока обслуженных заявок будет равна Ур, а среднее число обслуженных заявок в; единицу времени

Рассмотрим произвольно выбранный канал и найдем веро­ ятность л3.к того, что в произвольно выбранный момент времени этот канал будет занят (индекс «з.к» означает «занят канал»).

Так как все каналы работают в одинаковых условиях, то

97

очереди, либо на обслуживании. Обозначим среднее число зая­

вок, находящихся в очереди, через г и среднее число обслужи- (ваемых заявок при стационарном режиме работы системы —

через s. Очевидно, среднее число заявок if, находящихся в систе­ ме, будет равно

Обозначим среднее время нахождениизаявки в системе через /. Очевидно:

1 = 1 + 1 . (3.2.13)

где Тг — среднее время нахождения заявки в очереди и 1в— среднее время нахождения заявки на обслуживании.

Так как мы рассматриваем стационарный режим, то уравнение

Докажем справедливость формулы (3.2.14). Пусть имеется эргодическая система массового обслуживания X, работающая в стационарном режиме. Тогда на нее поступают заявки, обра­ зующие поток с интенсивностью К и покидают заявки также по­

током с интенсивностью ^= >I0 + ^H (см. рис. 3.2.1).

Т

Рмс. 3.2.2

Возьмем очень длинный промежуток времени длиной Т (мы

его потом устремим к бесконечности) и зафиксируем некоторый

98