Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Прикладные задачи теории массового обслуживания

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

12.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3328 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

При К— мх), что соответствует очень большой плотности на

лета:

Q(oo) = Hm Q(X) = 0,368.

		Л-*- >3
На рис. 6.6.116 показан		график зависимости Q(л) для рас
сматриваемого случая.	Из графика видно, что рациональной
плотностью является л	= 1 ~	2,5. С тактической точки зрения же

лательно брать плотность потока меньшей, так как более редкий налет легче осуществлять.

Полная вероятность непоражения самолета Q(0) будет поряд ка 0,4, значит, вероятность поражения Р(°)«0,6.

Глава 7

ЗАМКНУТЫЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

До сих пор мы рассматривали системы массового обслужива ния, на которые поступал поток заявок с интенсивностью К, при чем эта интенсивность К не зависела от состояния СМО, а сами

источники заявок находились вне системы и нами не рассматри вались.

В данной главе рассмотрим другие системы массового обслу живания, где интенсивность потока заявок зависит от состояния СМО, а сами источники заявок являются не внешними, а внут ренними элементами СМО. С такими случаями мы встречаемся, когда СМО обслуживает ограниченное число «клиентов» (источ ников заявок), сравнимое по количеству с числом каналов об служивания. Находясь под обслуживанием, данный «клиент» (источник заявок) перестает подавать заявки, а после конца обслуживания снова становится источником заявок. Классиче ским примером такой системы является работа группы наладчи ков в ткацком цеху: станки являются источниками заявок, а на ладчики — каналами обслуживания. Интенсивность поступления заявок на обслуживание зависит от того, сколько станков в дан ный момент работает и сколько станков обслуживается или ожидает обслуживания.

Такие системы, в отличие от рассмотренных ранее, будем на зывать замкнутыми системами (так как источник заявок здесь

является элементом системы).

Рассмотрим несколько примеров работы замкнутых систем массового обслуживания.

Первый пример: допустим, что на аэродроме базируется пг са молетов (источников заявок), и имеется п мест проведения ре

монтных работ (каналов обслуживания). Обычно /г < т , т. е. число мест проведения ремонтных работ меньше общего числа самолетов, приписанных к данному аэродрому. На каждом само лете после выхода из строя каких-то его элементов или налета определенного числа часов требуется проводить ремонтные ра боты.

272

Рис. 7.1.1

Будем считать, что каждый самолет, находящийся в эксплу атации, «генерирует» поток заявок на ремонтные работы, интен сивность которого обозначим л, а находящийся в ремонте пли ожидающий его — не генерирует потока заявок, так как не экс плуатируется. Тогда общий поток заявок на ремонтные работы будет зависеть от числа самолетов, которые в настоящий момент эксплуатируются. Например, если эксплуатируются все т само

летов, то интенсивность потока заявок на ремонтные работы будет равна тХ. Если эксплуатируется только k самолетов из т, то интенсивность потока заявок на ремонтные работы будет равна kX.

Таким образом, интенсивность потока заявок существенно зави сит от того, какое число самоле тов находится в эксплуатации,

т.е. зависит от состояния СМО.

Вкачестве второго примера можно рассмотреть работу гара жа, в котором имеется т автома шин и п мест ремонта. При по

ломке машины ее направляют в ремонт. В ремонт могут направ ляться машины, нуждающиеся в

профилактическом ремонте. Рассматривая работу различ

ных систем с ограниченным числом источников заявок (замкну тых систем массового обслуживания), полезно иметь в виду об щую схему изменения состояний каждого технического устрой ства (ТУ) (источников заявок), изображенную на рис. 7.1.1. Будем считать, что каждое ТУ, подавшее заявку на обслужива ние, немедленно снимается с эксплуатации.

Состояние «техническое устройство работает» состоит в том, что данное ТУ не нуждается в обслуживании. В примере с аэрод ромом это состояние состоит в том, что самолет эксплуатируется и не нуждается в проведении ремонтных работ. В примере с гара жом это состояние состоит в том, что машина работает нормаль но и не нуждается в ремонте или профилактическом осмотре. Находясь в этом состоянии, ТУ генерирует поток заявок с интен сивностью X.

В случае отказа (поломки) ТУ его направляют на обслужи вание (ремонт, наладка, производство регламентных работ, про филактика и т. д.). Если имеются свободные места для обслужи вания техники, то ТУ принимается на обслуживание и обслужи вается. Если свободных мест для обслуживания техники нет, то техника вынуждена простаивать (ожидать обслуживания). По сле освобождения мест обслуживания техника принимается на обслуживание. Места обслуживания будем называть каналами обслуживания. При нахождении ТУ в состояниях «техническое

2 7 8

устройство ожидает обслуживания», «техническое устройство обслуживается», оно (ТУ) не генерирует потока заявок (не мо жет выйти из строя, поломаться).

Так как мы условились рассматривать только пуассоновские системы массового обслуживания, то будем считать, что каждый канал обеспечивает пуассоновский поток обслуживаний с интен сивностью р, а каждое техническое устройство (самолет, авто машина и т. д.) порождает пуассоновский поток отказов с интен сивностью X, если ТУ находится в состоянии «работает».

Обозначим через т общее число ТУ, подлежащих обслужива нию, R(t) — случайное число ТУ, ожидающих очереди на обслу живание в момент времени tyS(t) — случайное число обслужива емых ТУ в момент времени t и H (t) — случайное число заявок, не нуждающихся в обслуживании в момент времени t.

Для любого момента времени t имеет место равенство

или, переходя к математическим ожиданиям:

тп= г (t) -j- s (/) -|- h (/).

Для стационарных режимов работы замкнутых систем получим

y j	П1= Г - } - 5 - j - h,
где г — среднее	число ТУ, ожидающих	очереди на	обслужи-
_ вание;
s — среднее число обслуживаемых ТУ;
h — среднее	число ТУ, не нуждающихся в обслуживании.
Последнее уравнение будем называть		уравнением	расхода

для замкнутой системы. Величины в этом уравнении не зависят от времени.

Вероятность того, что ТУ не будет нуждаться в обслужива нии (или коэффициент использования), определяется по фор муле

^ __ ь _ __\|	г 4- 5
m	m

Вероятность того, что ТУ будет нуждаться в обслуживании, равна

; = 1 _ S = - L ± i -

тп

Вероятность того, что ТУ находится на обслуживании, най дем по формуле•

•	5
4>=	—
	тп

274

Тогда вероятность того, что ТУ находится в очереди (ожидает обслуживания), определится по формуле

Введем в рассмотрение следующие временные характери

стики^
	/оч — среднее время однократного пребывания заявки (ТУ)
_	в очереди;
/обе — среднее время		однократного	обслуживания заявки
	(ТУ) (или, просто, среднее время обслуживания);
	/р — среднее время однократной работы ТУ, т. е. среднее
	время, протекающее с момента окончания последнего
	обслуживания	до появления	очередной «неисправно

сти» (подачи очередной заявки).

Тогда на основании эргодического свойства будут выполнять ся следующие равенства:

------f e e		_ .
ton "1" /обе ■+■ /р
£ = ■	h	_	>
	_
^оч “Ь ^обс 4“
С- 6 = -			/р
04 “Ь обс +

Среднее время полного цикл£ обращения ^технического уст ройства найдем из выражения / ц = / 0ч + /абс + /р.

§ 7.1. ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ БЕЗ ВЗАИМОПОМОЩИ МЕЖДУ КАНАЛАМИ

П о с т а н о в к а за д а ч и : имеется т одинаковых техниче

ских устройств, каждое из которых может в некоторые случай ные моменты времени нуждаться в обслуживании (отказать, выйти из строя и т. п.). Поток отказов каждого ТУ пуассонов ский с интенсивностью X. В качестве ТУ могут рассматриваться

станки, самолеты, автомашины и т. д. Каждое ТУ может обслу живаться одним из п каналов. Интенсивность пуассоновского

потока обслуживаний каждого канала р,. Если к моменту отка за ТУ все п каналов будут заняты, то это ТУ станет в очередь*

* Время полного цикла обращения слагается из времени однократного пребывания ТУ в очереди, времени обслуживания и времени однократной работы ТУ.

275

’на обслуживание: Дисциплина очереди естественная: «кто

раньше пришел, тот раньше обслуживается» *.
Состояния системы		будем связывать	с числом	отказавших
технических устройств:			п) и все		они нахо
хк — отказало	ровно k ТУ (fe= 0, 1,
дятся на обслуживании (ремонтируются, проходят
регламент);					и г ТУ
хп+г — отказало п + r ТУ, из них п обслуживается
ожидает в очереди (г= 1, 2,			т—п).
Граф состояний системы с указанием плотностей потоков, пе
реводящих систему	из	состояния в состояние,		показан на

рис. 7.1.2.

В соответствии с этим графом можно записать систему диф ференциальных уравнений для вероятностей состояний системы:

,1Pl'(/ ) =	— mlpoW + pp^ty,
— —— = —		im — k)+	Pk (0 +
a t
~X(m — k -f-1) Pk—i			PPk-H (0 (^ = 1) 2,..., n — 1).
=	-	\{rn - n) x+ ntf p„(t)
at
	~h	—Л +	Щ^Рпл i (0>
dpn^r(t)		\{ГП—П — r)\ + ny.]pn+r(0+
d t		\{ГП—П — r)\ + ny.]pn+r(0+
—tl— r			ll}±pn+r+\ (r = l, 2,..., m—n)\

^ ^ = - n ^ Pm{t)YKPm_ l{t).

Напомним, что в системе уравнений (7.1.1) параметры X и

]*•могут быть любыми неотрицательными функциями времени и

Рассмотрим стационарный режим работы системы при Х = •==eonst, p = const и t —+оо. В этом случае вместо системы диф

ференциальных уравнений (7.1.1) можно получить систему алге браических уравнений, для чего достаточно в системе (7.1.1)

Дисциплина очереди влияет лишь на закон распределения времени ожи дания в очереди, но не влияет на среднее время ожидания в очереди и другие интегральные характеристики системы.

2 7 6

положить все производные равными нулю. Решая полученную таким образом систему алгебраических уравнений, получим

где

т \

Рк= ы Г ' мr ( - ) % ° =			C^ V °	(fe= °, 1, ... , П), (7.1.2)
/г! (т — k)\	\	/
		а = — .		(7.1.3)
			Iх
(т-к+1)\		[т - к ) \		(m-n+f)\___ ( т - п ) к
			Хк+f	п-1
		(*+/>р		п\к
. (/Л-Я-Г+ОЛ		(Л1-Я-Г)Л		л
*[^г-/[7	* Iхп+г^^		* \|
п р		я р		я р
		Рис. 7.1.2

Выражение Cmhah можно		вычислить				по таблицам биномиаль
ного распределения:				О / гм	/,	г>\
				О / гм	/,	г>\
				В (т,	к,	р)		(7.1.4)
								(7.1.4)
где
	1 + а (О < /> < ! ) ;							(7.1.5)
	q = \ — p\							(7.1.5)
	q = \ — p\
	Я (m,	k,	p) = Cmpkqm~k.
Вероятность	/?П+Г(г=0,		1,	2,		m—n) подсчитывается no
формуле
	Pn+r~~ nrn\ (m — n — r)\						a	P o ~
^ P i n n ) P ( m - n - r			7.)po(r =			0,	1,	2 ,... , m - n ) , (7.1.6)
P (0,	n) P (m, /.)
где				П"
	P(m,			П"
	P(m,		a )= - ~ e - « ;
					ml
		! _		_Jt_				(7.1.7)
								(7.1.7)

Величину po находят из нормировочного условия

277

		2		2	p ,i+r—	(7.1.8)
		Л = 0		r = 1
откуда [см.	(7.1.2), (7.1.4)		и	(7.1.6)]
	Ро~~				1
	Ро~~	R (т, л, /?)		Я (л, п) R (т — п — 1, у)		(7.1.9)
			+		Р (0, л)Я(т, у.)	(7.1.9)
			+		Р (0, л)Я(т, у.)
где
я	к п,	р) = 2	5 к		р) = 2 сктркдт — к	(7.1.10)
		k=0			k=0
			т		т
	Я (я. X )= J ]^ ( .				a) = J ]	(7.1.11)
		л=о			й=0

Таблицы последней функции приведены в приложении. Таким образом, получим окончательные выражения для вероятностей состояний:

Р , =		Р} ft,	(‘ = 0 ,		1, 2....... л);			’
/,.+ .= Р ("’ »>Р<—			<«+■•). 7.) я, (г = 0			1	'	(7.1.12)
^ +		Р(0,п)Р(т,г)			V		'	(7.1.12)
/V			1
/V	/? (т ,	л, р)	Р (я,	п) R (m — п — 1,		у )
	/? (т ,	л, р)	Р (я,	п) R (m — п — 1,		у )
			р	(0,	п) Р (от, у )			j
Найдем среднее число обслуживаемых ТУ к:
		п	т — п		п
	£ =	& / ? * +	/£			j Л в	(/7Z, k , /?) +
		ft = 0	г = 1		ft= 0
			/гррЯ (m, п) R ( m — п — I,				у )	(7.1.13)
				Я ( 0, п ) Р ( т , у)				(7.1.13)
				Я ( 0, п ) Р ( т , у)
Среднее число технических устройств,						ожидающих очереди на
обслуживание, можно найти так:
	г =		р £ (* „ " £ г) \e n - n ,) R ( m - n , X ) -
	г = 0
			—Х ^(« —я — 1,			Х)1-		(7.1.14)

278

Следовательно, среднее число простаивающих (не работающих). ТУ будет

1 = 1 + 7 .

(7.1.15)

Наиболее выпукло характеризует работу такой системы ве роятность | того, что определенное (любое) ТУ в любой момент времени t будет работать. Иногда величину £ называют коэффи циентом использования (или коэффициентом оперативного ис

пользования) техники. Величина £ подсчитывается по формуле

5 = 1 - — .	(7.1.16)
тп

Чем больше коэффициент £, тем более интенсивно работает техника, тем меньше она простаивает.

Зачастую интерес представляет коэффициент простоя техни ки £ (вероятность того, что ТУ будет простаивать):

С = 1 - 5 — .

(7.1.17)

тп

Среднее время простоя ТУ /п можно найти исходя из следую щих соображений. Вероятность того, что ТУ будет работать, можно вычислить на основании эргодического свойства по фор муле

	Л> +
где	среднее время безотказной работы ТУ. Следова-
тельно:
	1 - 5	(7.1.18)
		(7.1.18)
Время простоя ТПслагается из времени ожидания в очереди
Точ и времени обслуживания Тобс-
	7'п = 7'оч4-7'„6с.	(7.1.19)
Воспользуемся	теоремой сложения математических	ожиданий
для отыскания среднего времени ожидания ТУ в очереди:
tn= M [ТП]= .М [7’0Ч]-Ь-М [7’обс]:=^оч“Ь^обс.		(7.1.20)

Среднее время обслуживания ТУ (обе равно 7/р, следовательно [см. (7.1.18)]:

279

Найдем закон распределения времени ожидания в очереди Точ. Случайная величина Точ представляет собой смешанную случайную величину, функция распределения которой F64(t) терпит разрыв в точке t = 0, так как существует определенная ве

роятность того, что это время будет равно нулю:

п— 1
Я (7’„, = 0) = 2 Р»	(7.1.22)
/г=0

Определим условную плотность распределения времени ожи дания в очереди fr(t) при условии, что к моменту отказа данно го ТУ система будет находиться в состоянии хп+Гу т. е. в очереди будет находиться г технических устройств ( O ^ r ^ m —п— 1) и все п каналов будут заняты обслуживанием. В этом случае ус

ловная плотность распределения будет

f r(t)=,n^ (n^ )r- e - '^ (t > 0),	(7.1.23)
т. е. (7.1.23) представляет собой закон Эрланга	r-го порядка

с параметром лр. Это объясняется тем, что очередная заявка бу

дет обслужена лишь после того, как все п каналов		проведут
(г+,1) циклов обслуживания.
Следовательно, безусловная плотность распределения време
ни ожидания в очереди будет иметь вид
п—1	m—п—1
/ оч(0 = 8 ( / ) 5 ] ^ +	£	(7.1.24)
Л=0	*=0

Заметим, что среднее время нахождения в очереди можно найти и по более сложной формуле, чем (7.1.21):

70Ч= ] t f 04(t)dt.

Эту формулу мы используем не для нахождения среднего време ни ожидания в очереди, которое легко вычисляется по формуле (7.1.21), а для отыскания одного специального интеграла, вы числение которого нам потребуется в дальнейшем.

Подставим в последний интеграл выражение для плотности распределения (7.1.24). Имея в виду, что

f /3 (/)<// = о,

280

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3328 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги