книги / Теория пластичности

дифференциальных уравнений второго порядка относительно скорости сдвига; получено аналитическое решение редуцированной задачи. Результаты ее решения сопоставляются с данными, полученными авторами ранее с помощью методов дислокационной динамики.

Обширный обзор работ по градиентным моделям физических теорий пластичности содержится в статье [165].

Отдельную группу составляют модели, являющиеся, по сути, развитием теории скольжения Батдорфа – Будянского [4, 5] и которые представляется возможным назвать «квазифизическими». Остановимся на одной из последних работ [186], содержащей краткий обзор моделей данной группы.

В цитируемой работе предполагается, что механическое поведение поликристаллического материала с хорошей точностью может быть описано небольшим (от 5 до 10) числом структурных элементов (СЭ), называемых авторами «зернами» (следует подчеркнуть, что в общем случае СЭ не являются зернами в обычном смысле, каждый СЭ может описывать поведение конгломерата зерен). СЭ выбираются в форме куба (хотя форма особого значения не имеет), в котором назначаются 6 независимых «систем скольжения»; заметим, что к СС в монокристаллах в общем случае (если СЭ действительно не представляет собой зерно) эти «системы скольжения» никакого отношения не имеют. Как и в физических теориях упруговязкопластичности пластические деформации полагаются изохорическими, реализующимися сдвигом по введенным «системам скольжения». Используется неизотропный закон упрочнения (деформационное и латентное упрочнение определяются отличающимися модулями упрочнения); кроме того, для «систем скольжения» СЭ учитывается кинематическое упрочнение.

Модель ориентирована на совместное применение с МКЭ с высокой степенью аппроксимации и применением численного интегрирования по конечным элементам. Каждой точке интегрирования «приписывается» один или несколько (с использованием процедуры осреднения) СЭ с определенной ориентацией; ориентации СЭ определяются в соответствии с полюсными фигурами материала исследуемой области. На уровне конечных элементов (макроуровень) в качестве ОС ис-

371

пользуется закон Гука в релаксационной скоростной форме; скорости пластической деформации определяются в каждой точке интегрирования из упомянутых выше вязкопластических соотношений для соответствующих (одного или нескольких) СЭ.

Предложенная модель использована для решения нескольких тестовых задач (растяжение и простой сдвиг образцов, растяжение тонкой пластины с круговым отверстием). Сопоставление результатов с экспериментальными данными и результатами, полученными с помощью классической теории течения и физической теории упруговязкопластичности (40 зерен на КЭ), показывает их хорошее соответствие. При этом время расчетов по предлагаемой модели сопоставимо (превосходит не более чем на порядок при использовании 7 СЭ на точку интегрирования) с временем решения по теории течения и в 10–15 раз меньше времени расчета по физической теории.

Структурно-аналитическая теория

Значительный вклад в развитие физических теорий внесен работами В.А. Лихачева и В.Г. Малинина. Обобщающие результаты многолетней работы по созданию модели, названной авторами структур- но-аналитической теорией прочности и пластичности, содержатся в монографии [60], где приведен также весьма обширный список публикаций авторов.

Анализируя состояние физических теорий пластичности, авторы отмечают, что основным концептуальным недостатком этих теорий являлась попытка описать процессы деформирования, основываясь на рассмотрении поведения самой малой части, которую можно выделить в материале (например, субзерно, фрагмент), неучет самоорганизованной многомасштабности процессов неупругого деформирования и разрушения.

Воснову теории авторами положены следующие положения.

♦Для описания поведения материала используется двухуровневая модель (микро- и макроуровень), для каждого из уровней вводится представительный объем; в пределах представительного объема соответствующие параметры каждого из уровней полагаются однородными.

372

♦Все микрообъемы взаимодействуют друг с другом через микронапряжения. При этом вводится дополнительное поле микронапряжений, разделенное на две составляющие – ориентированные

инеориентированные микронапряжения. Поля ориентированных микронапряжений порождаются неоднородными неупругими макродеформациями и не исчезают при снятии (в макросмысле) внешней нагрузки. Поля неориентированных микронапряжений обусловливаются многими причинами, к числу которых относятся: несовместности температурных деформаций микрообъемов, неоднородности упругих характеристик на микроуровне, неоднородностей магнитострикционных

иэлектрострикционных микродеформаций, неоднородность неупругих микродеформаций.

♦Процессы деформирования на микро- и макроуровнях связаны между собой через соответствующие поля напряжений и деформаций.

♦Физические константы теории являются фундаментальными характеристиками материала и не зависят от способа их калибровки в макроэкспериментах (принцип локальной калибровочной инвариантности).

Вкачестве процедуры осреднения принимается ориентационное и статистическое осреднение (по некоторым параметрам).

Детально анализируется большинство из известных механизмов упругого и неупругого деформирования (температурные, магнитострикционные, электрострикционные, диффузионные, вязкие (деформации ползучести), сдвиговые, деформации двойникования, деформации за счет мартенситных реакций). Для каждого из указанных механизмов записываются определяющие напряжения микроуровня, связывающие скорости микродеформаций со скоростями и полными эффективными микронапряжениями. Для тензора скорости микродеформаций принимается гипотеза об аддитивности скоростей микродеформаций по всем реализующимся механизмам.

Учитывая тот факт, что основными механизмами неупругого деформирования моно- и поликристаллических металлов являются кристаллографический сдвиг и двойникование, рассмотрение этих механизмов выделено в отдельную главу. Приведены соотноше-

373

ния конститутивной модели для описания пластического деформирования, деформаций ползучести (с разделением их на деформации ползучести, обусловленные возвратом, и деформации термоактивируемой ползучести). Приведены результаты численных расчетов для различных пропорциональных и сложных нагружений, отмечается их хорошее качественное соответствие экспериментальным данным. Значительная часть монографии посвящена анализу прочности и разрушения поликристаллов, а также рассмотрению деформирования материалов с мартенситным механизмом неупругого деформирования (в частности, материалов, обладающих эффектом памяти формы). Указанные вопросы выходят за рамки тематики предлагаемой работы; интересующийся читатель может найти сведения о моделях материалов, описывающих твердотельные фазовые переходы, и чрезвычайно обширные экспериментальные данные в справочнике [64].

374

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

2. Пластичность с позиций макроскопических опытов

2.1.Длинный цилиндрический тонкостенный трубчатый образец

спервоначальными размерами l0 , a0 , d0 ( d0 <<a0 <<l0 ) подвергается

монотонно возрастающей нагрузке (рис. 1), испытывая деформацию, в результате которой приобретает размеры l, a, d ( d <<a <<l ) , d ≈ d0 ,

а торцы поворачиваются относительно друг друга (вокруг оси образца) на угол ϕ * .

Можно считать, что во всех точках образца, достаточно удаленных от торцов, компоненты тензоров деформации в цилиндрической СК однородны. Определить градиенты места и физические компоненты следующих тензоров деформации: а) тензора деформации Коши – Грина, б) тензора деформации Альманси, в) тензора малых деформаций, г) левого тензора деформации Генки, д) правого тензора деформации Генки через геометрические размеры образца.

2.2. 1) Длинный тонкостенный трубчатый образец находится вравновесииподдействиемследующихсил(см. рис. 1): накаждомторце приложены растягивающая вдольоси сила F и крутящий относительно

Рис. 1. Тонкостенный трубчатый образец под нагрузкой

1) Механика сплошных сред в задачах. Т. 1: Теория и задачи / под ред. М.Э. Эглит. – М.: Московский лицей, 1996. – 396 с.

375

оси образца момент M, кроме того, известна разность внутреннего и внешнего давлений p = p2 − p1 .

Можно считать, что во всех точках образца, достаточно удаленных от торцов, компоненты тензоров напряжений в цилиндрической СК однородны. Считая все размеры и кинематические характеристики образца в каждый момент деформирования известными (воспользоваться результатами решения задачи 2.1), по измеряемым силе, давлению и моменту определить физические компоненты для тензора напряжений Коши, 1-го и 2-го тензоров напряжений Пиола – Кирхгофа.

2.3. 1) Какими должны быть величины F, M, p для трубчатого образца (см. упр. 2.2), чтобы нетривиальной была только следующая компонента тензора напряжений:

а) σzz (реализуется «чистое растяжение»), б) σzφ (реализуется «чистый сдвиг»).

2.4. Пусть в результате испытания цилиндрического тонкостенного трубчатого образца получены зависимости для силовых и кинематических характеристик, приведенные на рис. 1 (см. упр. 2.1,2.2) – F(t ) ,

M (t ), p(t ), l(t ), ϕ(t ), a(t ) (при этом толщина d = d(t ) определяется

из условия упругой сжимаемости, коэффициент Пуассона ν), представленные на рис. 2.

Предполагая заданными:

а) зависимость F(t ) , l(t ) согласно рис. 2, остальные величины

нулевые,

б) зависимость M (t ), ϕ(t ) согласно рис. 2, остальные величины

нулевые,

в) зависимость p (t ), a(t ) согласно рис. 2, остальные величины

нулевые, г) все зависимости согласно рис. 2, построить кривые «интенсив-

ность напряжений – интенсивность деформаций» при использовании различных определений интенсивностей, мер деформации и энергетически сопряженных с ними мер напряжений для приведенных экспериментальных данных (численные значения параметров кривых (рис. 2) задаются самостоятельно).

376

находящихся на одной прямой и взаимодействующих только попарно согласно (3.1).

3.3.Доказать, что не существует оси симметрии 5-го порядка.

3.4.Построить сферические проекции зеркальных плоскостей симметрии и осей симметрии для кристалла кубической системы.

3.5.Показать, что индексы любой плоскости могут быть определены как сумма индексов двух плоскостей, лежащих по разные стороны от рассматриваемой, сферические проекции которых расположены на одной дуге большого круга (см. рис. 3.10).

3.6.Построить стереографические проекции зеркальных плоскостей симметрии и осей симметрии для кристалла кубической системы.

3.7.Показать, что для кристаллов кубической системы достаточно рассмотреть только один из 24 треугольников на стереографической проекции.

3.8.Построить схематичный рисунок винтовой дислокации, обозначить линию дислокации, ввести контур Бюргерса и указать вектор Бюргерса.

3.9.Рассмотреть систему из трех пластин одинаковой толщины, находящихся в естественном состоянии, контакт считать идеальным, упругие характеристики всех пластин одинаковы. При незначительном изменении температуры средняя пластина испытывает твердотельное фазовое превращение, при котором её удельный объем возрастает на 3 %. Качественно определите напряженное состояние пластин. Как оно изменится, если удельный объем при фазовом превращении уменьшится?

3.10.Для условий предыдущей задачи определить качественное распределение напряжений при вторичном (обратном) фазовом переходе в случаях: а) первичный фазовый переход приводит только

купругим деформациям всех пластин; б) первичный фазовый переход приводит к появлению пластических деформаций только в средней пластине; в) первичный фазовый переход приводит к появлению пластических деформаций только в крайних пластинах; г) первичный фазовый переход приводит к появлению пластических деформаций во всех трех пластинах.

378

3.11.На схематичном рисунке кристаллической решетки обозначить плоскости и направления скольжения краевых дислокаций для ГЦК-кристалла и ОЦК-кристалла.

3.12.Используя соотношение (3.8) поставить и решить оптимизационную задачу для определения систем скольжения в а) ГЦК, б) ОЦК, в) ГПУ кристаллах.

3.13.Построить совокупность тетраэдров Томпсона для ОЦКрешетки, проиллюстрировать все системы скольжения.

3.14.Рассмотреть дислокационную реакцию в ГЦК-кристалле: расщепление дислокации на две дислокации Шокли.

3.15.Рассмотреть дислокационную реакцию в ГЦК-кристалле: объединение дислокации Франка и дислокации Шокли.

3.16. Рассмотреть образование барьера Ломера – Коттрелла

вГЦК-кристалле.

3.17.Рассмотреть дислокационную реакцию в ОЦК-кристалле: объединение n полных дислокаций в n-кратную дислокацию, и обратную реакцию.

3.18.Рассмотреть все возможные реакции расщепления полной краевой дислокации в ОЦК-кристалле.

4.Основные понятия и определения теории пластичности

4.1.2) Показать справедливость соотношений (4.7), (4.12).

4.2.2) Получитьсистему неравенств (4.8) и построить круги Мора.

4.3.1) Показать, что величина τ S в критерии пластичности

Треска ( max | σi+1 − σi +2 | =2 τS ) – предел текучести при чистом сдвиге (см. упр. 1,2), а величина σ S в критерии пластичности Мизеса

3

( ∑(Si − Si +1 )2 = 2σs2 ) – предел текучести при чистом растяжении.

i =1

2) Трусов П.В. Механика сплошной среды: курс лекций. Ч. 3: Классические среды. – Пермь: Изд-во ПГТУ, 1996. – 142 с.

379

4.4. 2) Установить энергетический смысл условия пластичности Мизеса.

4.5.Для тонкостенного образца (рис. 1) определить условие для величин нагрузок F, M, p в момент выполнения критериев пластичности Треска – Сен-Венана, Мизеса – Губера – Генки.

4.6.Шар со сферической полостью из упругопластического ма-

териала находится под действием внешнего pa и внутреннего давле-

ния pb. Геометрические центры шара и полости совпадают, радиус шара – b, радиус полости – a, a < b . При какой разности давлений чисто упругое деформирование станет невозможным? В каком месте шара начнется развитие пластических деформаций?

4.7.2) Прямоугольный параллелепипед из упругопластического материала находится под сжимающей нагрузкой p, приложенной вдоль оси x1, в условиях плоской деформации между двумя абсолютно гладкими жесткими пластинами, нормальными оси x3, так что

σ22 = 0 , ε 33 = 0 . Используя критерий Мизеса, определить величину

нагрузки p и тензор малых деформаций в момент начала пластической деформации.

4.8. 1) Бесконечно длинная труба, имеющая внутренний радиус a и внешний радиус b, находится под действием внешнего pb и внутреннего давления pa. При какой разности давлений упругое деформирование станет невозможным? В каком месте трубы начнется развитие пластических деформаций?

4.9. Цельный цилиндр радиусом R закручивается с моментом M. При какой величине момента упругое деформирование станет невозможным? В каком месте цилиндра начнется развитие пластических деформаций? Для упрощения решения принять, что при деформировании искажений поперечного сечения цилиндра не происходит (принимаются гипотезы «плоских сечений» и «прямых радиусов»).

4.10. Показать, что при стремлении α → ∞ соотношение (4.27) приводит к критерию Треска – Сен-Венана.

4.11. Показать, что для случая идеальной пластичности из условия экстремума функции Ф = Np – pf (σ) ( N p = σ: Dp – мощность дисси-

380