книги / Теория пластичности

Таблица 1 0 . 3

Материальные параметры анализируемых моделей

Результаты расчета кривой σ – ε при растяжении ГЦК-моно- кристалла в направлении [1 0 0] при скорости деформации 10–3 с–1 для всех четырех вязкопластических моделей обнаруживают удовлетворительное соответствие.

Далее анализируются результаты расчетов с использованием указанных вязкопластических моделей при двухосном деформировании монокристаллов. Кристаллографическое направление [1 0 0] совпадает

351

во всех численных экспериментах с осью Х1. Для реализации моделей используется МКЭ (пакет Zebulon) с элементами, допускающими независимое задание нормальных и сдвиговых деформаций. Исследовались нагружения по лучевым траекториям деформации (двумерный вариант)

использовании изотропного закона упрочнения Тейлора ( hkl = qh =1,0 ), сопоставление проведено для траекторий напряжений σ11 – σ22 . Резуль-

таты расчетов по всем четырем моделям находятся в удовлетворительном соответствии. Рассмотрены также активация систем скольжения и накопленный на них сдвиг; для варианта ε11 / ε22 = 5,33 отмечается,

тивировались четыре первичные системы скольжения, а при напряжении σ11 ≈ 310 МПа – дополнительно четыре вторичные СС.

В экспериментах на растяжение – сдвиг использовались оба закона упрочнения – Тейлора и деформационного ( hkl = qh = 0,0 ). Здесь

отмечается существенное отличие результатов, полученных, с одной стороны, с помощью моделей EB и GC, с другой – LA и DM; в двух последних при напряжениях σ11 ≈ 21 и 35 МПа соответственно резко

активизировались вторичные СС. Данное обстоятельство связано с тем, что в моделях LA и DM учтен разворот кристаллической решетки, что отсутствует в моделях EB и GC. Для проверки этой гипотезы были проведены расчеты с использованием модели DM, в которой были отключены повороты; результаты оказались близки к результатам моделей EB и GC. Сопоставлялись также накопленные сдвиги, результаты аналогичны: близость данных по моделям EB

иGC и их резкое отличие от полученных с помощью моделей LA

иDM. Отмечается также, что возможным источником различия результатов являются использованные в моделях различные схемы решения нелинейных уравнений, основанные на методе Ньютона –

352

Рафсона (Ньютона – Канторовича); исследованию данного вопроса авторы собираются посвятить будущие работы.

Аналогичное сопоставление осуществлено для всех пяти программ нагружения при использовании упругопластических моделей LA и GC. Во всех расчетах принят закон упрочнения Тейлора ( hkl = qh = 1,0, ρ(k ) = 0 ). Для случая двухосного растяжения – сжатия

траектории нагружения σ11 – σ22 оказываются близкими; кроме того,

обнаруживается их малое отличие от траекторий, полученных с помощью вязкопластических моделей LA и GC. Для варианта ε11 / ε22 = 5,33 приведены результаты расчета суммарной скорости

сдвигов как функции напряжения σ11 и времени. Для обеих моделей при σ11 ≈ 270 и 285 МПа наблюдаются осцилляции суммарной ско-

рости сдвига, что авторы связывают с неустойчивостью алгоритма в окрестности точек активизации вторичных СС. Проведено также сопоставление номеров четырех первичных и вторичных активируемых систем скольжения и накопленных сдвигов на них; за исключением нагружения по траектории ε11 / ε22 = −0,95 , где в модели GC не

активировалась ни одна из вторичных систем, соответствие результатов следует признать удовлетворительным, учитывая, что имеет место некоторое отличие траекторий нагружения (в модели LA в отличие от модели GC напряжение σ11 достигало в момент активизации

вторичных СС значения 0). Аналогичное удовлетворительное соответствие получено для программ нагружения «растяжение – сдвиг».

К сожалению, авторы не обсуждают, каким образом в упругопластической модели по предписанной деформации могут быть определены сдвиги в восьми системах скольжения. В плоском случае, анализируемом в данной работе, возможно одновременное определение не более трех скоростей сдвигов (даже при работе с полными напряжениями), в объемном – не более шести. Возможно, в статье речь идет о СС, активированных в течение всей истории нагружения.

Весьма подробно вопросы построения и применения физических моделей упруговязкопластичности для описания поведения поликри-

353

сталлов в широком диапазоне скоростей деформации (10–3–102 с–1) при больших деформациях (порядка 100 %) и относительно низких гомологических температурах (Тг < 0,3) рассмотрены в статье [100]. Как и в большинстве рассмотренных выше работ, использовано мультипликативное разложение градиента места и ОС анизотропной гиперупругости (с учетом температурной деформации), в котором в качестве мер напряженного и деформированного состояния приняты соответственно второй тензор Пиола– Кирхгоффа и тензор деформаций Коши– Грина, определенные в терминах разгруженной конфигурации.

Пластическое деформирование полагается реализующимся скольжением краевых дислокаций; следует отметить, что как и во многих других работах последнего десятилетнего периода, закон

Критическое напряжение сдвига полагается равным сумме двух составляющих: сопротивления близкодействующих барьеров, которые могут быть преодолены за счет термических флуктуациях даже при напряжениях ниже барьера Пайерлса– Набарро (называемого термической состав-

ляющей) τ(ctk ) , и сопротивления дальнодействующих барьеров (называемого атермической составляющей) τ(cak ) (см., например, [120]). Для модулясреднейскоростидвижениядислокацийпринимаетсясоотношение:

где ∆τ(k ) = τ(k ) – τ(cak ) , l (k ) – средняя длина свободного пробега дислокаций, ν – характеристический частотный параметр (порядка 1012 с–1),

354

ψ(k ) – свободная энтальпия активации (или свободная энергия актива-

ции Гиббса); k – константа Больцманана; правление движения совпадает с направлением сдвиговых напряжений. Предлагается модификация закона упрочнения, рассмотренного выше [98], для учета влияния температуры и скорости деформации.

Для определения макронапряжений используется процедура осреднения Тейлора по представительному объему, включающему 400 зерен. Предлагаемая модель встроена в конечно-элементный пакет ABAQUS. Подробно описаны процедура реализации и результаты идентификации модели, выполненные для чистого (99,987 %) алюминия и алюминиевого сплава (ГЦК-решетка). Для идентификации использованы известные в литературе экспериментальные данные по одноосному растяжению образцов при нескольких значениях постоянных скоростей деформаций и температур. Полученные параметры были далее применены для теоретического предсказания поведения материала при одноосном нагружении со скачками по скорости деформаций и температуре; режимы изменения скоростей деформаций и температур выбраны аналогичными реализуемым в известных из литературы экспериментах. Сравнение расчетных и экспериментальных данных по зависимостям «напряжение – деформация» показывает хорошее соответствие.

Одним из недостатков моделей поликристаллов, основанных на физических теориях, является необходимость рассмотрения большого количества (сотни и тысячи) зерен со своими ориентациями, что требует существенных затрат процессорного времени. Один из возможных вариантов уменьшения вычислительных затрат – модель «текстурных компонент» – представлен в статье [108]. Под текстурным компонентом понимается ориентация кристаллической решетки, для которой функция распределения ориентаций (ФРО) имеет локальный максимум. Вместо расчетов для большого числа зерен рассматривается несколько (в данной работе – пять, четыре из которых соответствуют указанным локальным максимумам ФРО, а пятый характеризует распределение остальных ориентаций) элементов («псевдозерен»). Для каждого из псевдозерен используется модель упруговязкопла-

355

стичности со степенным законом течения и изотропным законом упрочнения. Для аппроксимации ФРО вблизи текстурных компонент принят закон распределения Мизеса – Фишера. Вычисления искомых параметров (скоростей пластических деформаций и напряжений) осуществляются далее для текстурных компонентов, после чего осуществляется ориентационное осреднение параметров с локальными ФРО. На двух примерах для ГЦК-поликристаллов показано удовлетворительное соответствие результатов, полученных с помощью предлагаемой модели (5 элементов) и модели Тейлора (1000 зерен).

В работе [156] приведено краткое описание эволюции микроструктуры при деформировании ГЦК-монокристаллов (ячейки, блоки ячеек, субзерна, дислокационные стенки, разделяющие ячейки и блоки). Для описания микроструктуры предлагается ввести внутренние переменные, моделирующие блоки ячеек и дислокационные стенки. В качестве основного ОС используется закон Гука, записанный для разгруженной конфигурации. Скорости сдвигов по СС определяются из закона Орована; скорость движения дислокаций устанавливается кинетическим законом, учитывающим энергию активации дислокаций, температуру, сдвиговые напряжения, плотности мобильных дислокаций и дислокаций леса. Основываясь на принципе максимума работы напряжений на пластических деформациях, получено выражение для плотности мобильных дислокаций; представляется странным, что плотность мобильных дислокаций пропорциональна корню квадратному плотности дислокаций леса. На основе того же принципа для случая «композита» из блоков ячеек и стенок выведено выражение для плотности мобильных дислокаций как функции плотностей дислокаций в блоках ячеек и дислокационных стенках. Предложены основанные на рассмотрении дислокационных реакций кинетические уравнения для изменения плотностей иммобильных дислокаций в блоках ячеек и в дислокационных стенках.

Для моделирования «композита» из блоков и стенок для каждой системы скольжения предлагается использовать модель Максвелла, в которой в силу сложности реализации пренебрегается упругими составляющими сдвигов. В итоге построенная модель имеет

356

в своем составе десять материальных констант. Авторы отмечают, что вследствие построения всех кинетических уравнений на основе теории дислокаций указанные константы имеют явно выраженный физический смысл, и, по крайней мере, известен порядок этих величин. Авторами проведен физический анализ и обоснованы интервалы возможных значений каждой из констант, входящих в модель. Разработанная модель использована для анализа сжатия монокристалла алюминия при трех скоростях нагружения (0,2, 2 и 20 н/с) и трех различных температурах (623, 673 и 723 К); сопоставление теоретических результатов с экспериментальными показывает удовлетворительное соответствие. Отмечается, что в дальнейшем модель предполагается расширить на более широкий температурный диапазон и ОЦК-кристаллы и встроить её в конечно-элементную программу.

Близкая к рассмотренной выше «композитная» упругопластическая модель для описания ячеистой структуры монокристалла представлена в работе [210]. Материал представляется совокупностью ячеек и стенок (областей с повышенной плотностью дислокаций); записаны эволюционные уравнения для плотности дислокаций. Для моделирования используются теория течения с комбинированным законом упрочнения и гиперупругий закон, в котором второй тензор Пиола – Кирхгоффа определен в разгруженной конфигурации. На двухзвенных траекториях деформации (растяжение – растяжение с изломом траектории) анализируется влияние величины деформации первого участка траектории и угла излома на остаточные напряжения в ячейках и стенках; отмечается возможность применения модели для описания эффекта Баушингера. Результаты расчетов удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными.

Модификация упруговязкопластической модели, учитывающая поврежденность материала, предложена в [182]. Классическое мультипликативное разложение градиента места дополнено градиентом места, отвечающим за порообразование и переводящим пластически деформированную конфигурацию в разгруженную. Приведены кинетические уравнения, описывающие эволюцию пор, связанную с наличием начальных пор, образованием пор от включений вторичной

357

фазы и коалесценцией. Скорости сдвигов по СС определяются степенным законом; использован гиперупругий закон, связывающий тензор деформаций Коши – Грина и второй тензор Пиола – Кирхгоффа, определенные в разгруженной конфигурации. Для случая одноосного нагружения проанализировано влияние ориентации монокристаллических зерен на процесс накопления поврежденности и кривые напряжение – деформация. Для поликристаллического агрегата меры напряженного и деформированного состояния определяются осреднением по объему; сопоставление кривых σ – ε при растяжении поликристаллического образца для трех алюминиевых сплавов обнаруживает хорошее соответствие с экспериментальными данными.

Результаты применения упруговязкопластической модели для анализа особенностей деформирования двухфазного сплава (титан + алюминий) содержатся в статье [162]. Подробно рассмотрены физические механизмы деформирования и упрочнения двухфазного сплава, основной объем которого составляет α-фаза с ГПУ-решеткой, остальная часть имеет слоистую структуру из α + β-фаз (β-фаза – кристаллиты с ОЦК-решеткой). Анализируется деформирование представительного объема поликристаллического агрегата; для решения на макроуровне использован пакет ABAQUS. Особое внимание уделяется идентификации физической модели, для чего авторы осуществили три серии численных экспериментов.

Результаты, полученные с применением упруговязкопластической модели тейлоровского типа, для коммерческой и высокой степени чистоты α-титана (ГПУ-решетка) представлены в статье [219]. Неупругая составляющая градиента скорости перемещений принимается равной сумме скоростей сдвига и двойникования, умноженных на соответствующие ориентационные тензоры. Величина скоростей сдвига по каждой СС определяется степенным законом; скорость сдвига по системам двойникования определяется произведением фиксированного сдвига двойника и скорости изменения объемной доли двойников каждой ориентации, последняя также определяется степенным законом. При достижении критической объемной доли двойников (в цитируемой работе – 0,4) предполагается, что зерно испытывает фрагментацию

358

с образованием нескольких «потомков», сохраняющих параметры достигнутого упрочнения, но отличающихся ориентациями, определяемыми ротациями решетки при двойниковании. Разориентированные фрагменты в дальнейшем рассматриваются как отдельные зерна.

Описаны методика экспериментов для определения полюсных фигур (включая установление начальной текстуры) и идентификации модели, состав используемых материалов. В качестве образцов использовался листовой материал после глубокой прокатки и термообработки. Для идентификации и верификации модели проводилась серия испытаний по осадке образцов в трех взаимно-перпендику- лярных направлениях (в направлении прокатки, поперечном и по направлению нормали к плоскости листа). Показано хорошее соответствие результатов расчета кривой σ – ε с экспериментальными данными по осадке в направлении прокатки, не использованными на стадии идентификации. Сравнение теоретически полученных полюсных фигур и соответствующих экспериментальных данных также обнаруживает удовлетворительное соответствие.

В последние годы для модификации различных физических теорий все чаще исследователями применяются модели обобщенных континуумов (градиентные теории – в особенности). Остановимся детальнее на некоторых работах данного направления. В статье [190], основанной на феноменологической градиентной теории пластичности [119], рассматривается вариант градиентной физической теории упруговязкопластичности. Анализируется случай малых градиентов перемещений, в связи с чем не делается различия между отсчетной и актуальной конфигурациями. В духе микроморфного континуума Миндлина вводятся радиусы-векторы макроточки Х и микроточки х, соответствующие операторы Гамильтона обозначим каки . Каждой макроточке Х приписывается микрообъем δV, наделенный микроструктурой (системами скольжения). Скорости сдвига по произвольной k-й СС определяются разложением в ряд Тейлора с сохранением градиентов первого порядка:

359

где γ(k ) (X) – осредненная по δV скорость сдвига по k-й СС,

γ(k ) (X) – осредненный по δV градиент скорости сдвига по k-й СС.

Пластическая составляющая тензора микродеформации скорости далее определяется обычным соотношением (в предположении изохоричности деформирования сдвигом):

Подстановка (10.72) в (10.73) и запись мощности напряжений в единице объема на скоростях пластических деформаций,

вается тензором «парных напряжений».

Тензор скорости полных микродеформаций в δV полагается линейной функцией микрокоординат х. Тогда мощность напряжений на единицу объема можно представить соотношением:

Уравнения равновесия и статические граничные условия макроуровня по-

360