книги / Теория пластичности

(траектории деформирования – круговые, в виде квадрата, 8-лучевой звезды), отмечается удовлетворительное качественное соответствие экспериментальным данным.

Встатье [145] рассматривается вариант упруговязкопластической модели, базирующийся на рассмотренной выше модели Asaro&Needleman [97]. Основное отличие заключается в использовании гиперупругого закона вместо гипоупругого, в качестве меры деформации в котором принят аналог тензора Коши – Грина, а в качестве меры напряженного состояния – аналог второго тензора Пиола – Кирхгоффа, определенные в базисе разгруженной конфигурации.

Вработе [102] рассматривается вариант упруговязкопластической модели со степенным законом течения вида (10.54) и комбинированным (изотропным и кинематическим) законом упрочнения. Используется аддитивное разложение тензоров деформации скорости

ивихря на упругую и неупругую составляющие:

неупругие деформации осуществляются сдвигом (в силу чего изохоричны); неупругие составляющие в (10.58) определяются соотношениями (10.40) (т.е. для неупругих ротаций принимается полностью стесненная модель Тейлора). Полагается, что скорость ротации решетки определяется упругим спином We. В качестве ОС для упругой составляющей принимается изотропный закон Гука в скоростной форме; в качестве меры скорости напряжений используется производная яуманновского типа тензора напряжений Коши:

σJ = σ + σ We – We σ.

Предложенная модель встроена в конечно-элементную программу и использована для анализа образования полос сдвига в монокристалле при высокоскоростном деформировании (скорость деформации 103 с–1).

Детальному описанию законов упрочнения ГЦК-кристаллов посвящена статья [134]. Рассмотрение кинематического и изотропного

341

упрочнения монокристаллов основано на тщательном физическом анализе взаимодействия дислокаций различных СС. Использовано гипоупругое соотношение, в котором коротационная производная тензора напряжений определяется по тензору спина решетки. Спин решетки полагается равным разности тензора вихря и антисимметричной части тензора скоростей сдвига по СС. Скорости сдвига в СС устанавливаются с помощью вязкопластического закона (произведение степенной и экспоненциальной функций сдвиговых напряжений).

Реализация модели осуществлена с применением МКЭ (пакет ABAQUS, 8-узловые симплекс-элементы); рассмотрен образец из монокристаллической меди, подвергнутый одноосному растяжению с постоянной скоростью роста напряжений. С позиций взаимодействия дислокаций тщательно описывается и анализируется упрочнение в первичной и вторичных СС. Сопоставление с экспериментальными результатами позволяет заключить, что предлагаемая модель хорошо описывает упрочнение первых двух стадий пластического деформирования.

В последние годы физические теории пластичности все шире применяются для решения реальных прикладных задач МДТТ. В работе [110] рассматривается модель пластичности кристаллов, основанная на введении тензора плотности и/или скалярной плотности дислокаций. Во втором случае предлагается использовать вязкопластический закон: при выполнении условия Шмида на некоторой системе скольжения скорость сдвига в ней определяется соотношением:

где τ(k ) = M(k ) : σ – сдвиговое напряжение в системе скольжения k, M(k) – ориентационный тензор, τ(ck ) , ρ(k ) – параметры изотропного и кинематического упрочнения, зависящие от плотности дислокаций; g(k), nk – материальные константы, X = Max (0, X) . Подробно закон упрочнения рассмотрен в [117] и имеет вид:

342

где матрица Qk hkr определяет активное и латентное упрочнение (не-

изотропный закон упрочнения), br, dk, mk, Nk – материальные константы. Отмечается, что в работах Флика и Хатчинсона, Фореста с соавторами данная модель расширена включением кривизн-кручений кристаллической решетки, связанных с формированием дислокационных субструктур; в законе упрочнения появляется добавочный член, пропорциональный кривизне плоскости скольжения. Отмечается существенное влияние модуля упрочнения за счет кривизны решетки на на- пряженно-деформированное состояние в окрестности кончика трещины в монокристалле. К сожалению, объяснений, почему кривизны-круче- ния должны приводить к дополнительному изотропному упрочнению, не приводится; как представляется, более важным является появление

моментных напряжений и несимметрии тензора напряжений.

В качестве примера применения физической теории для поликристаллов рассматриваются результаты расчетов деформирования крупнозернистых поликристаллов; сопоставление результатов расчета поворотов кристаллической решетки удовлетворительно согласуется с прямыми экспериментальными наблюдениями. Второй пример относится к анализу деформирования тонкого (10 мкм) цинкового покрытия стального листа, причем средний размер зерна (300 мкм) здесь существенно превышает толщину покрытия; из результатов расчетов следует, что неоднородность деформаций присуща областям вблизи границ зерен и свободной поверхности.

При рассмотрении поликристаллов авторывыделяют три уровня:

– уровень 1 – представительный объем поликристалла, характеристиками которого служат тензоры осредненных напряжений, деформаций и некоторых внутренних переменных;

343

– уровень 2 – так называемая «фаза»; для химически однородных зерен под фазой понимается совокупность монокристаллов с примерно одинаковой ориентацией; для многофазных материалов (например, аустенит–феррит) под фазой понимается совокупность химически однородных монокристаллов с примерно одинаковой ориентацией. Поведение фаз описывается осредненными по указанной совокупности тензорами напряжений и деформаций; для определения этих характеристик часто используются так называемые самосогла-

в пределах фазы имеет место неоднородность (возмущения) напряжений и деформаций; уровень, на котором эти отклонения включаются в рассмотрение, обозначается авторами как 2’;

– на уровне 3, который в настоящее время реализуется с применением МКЭ, рассматриваются локальные поля напряжений и деформаций внутри зерен. Решение реальных задач описания поведения поликристаллических тел обычно ограничивается первыми двумя уровнями; для реализации подобных моделей весьма эффективными оказались параллельные вычисления, где для реализации модели на макроуровне (уровне 1) используется разделение области на подобласти с последующей «сшивкой» решения по статическим граничным условиям.

Приведены результаты решения трехмерной задачи исследования поведения поликристаллического образца сложной конфигурации, подвергнутого циклическому нагружению; отмечается, что применение параллельных вычислений позволило более чем в семь раз сократить время вычислений по сравнению с обычной процедурой. Аналогичные результаты приведены для представительного объема поликристалла; отмечается, что полученные данные могут быть использованы для идентификации и верификации макрофеноменологических ОС. Для описания межзеренного разрушения вводятся соотношения, связывающие нормальные и касательные компоненты напряжений и скоростей деформаций, и эволюционное уравнение для скалярной характеристики поврежденности; при численной реализации применяются специальные граничные элементы.

344

К работе [110] вплотную примыкает статья [117], в которой детально рассматривается прямое конечно-элементное моделирование поведения поликристаллического агрегата с ГПУ-решеткой. Для описания зеренной структуры использовались многогранники Вороного. Исследовался агрегат из 447 зерен; в расчетах применялись разбиения на 8 × 8× 7 , 18 × 18× 18, 28 × 28× 28 конечных элементов. Использовалась техника параллельных вычислений с разбиением исследуемой области на блоки (число блоков – от 1 до 20). На примере одноосного растяжения показано, что для осредненных по агрегату величин кривые «продольное напряжение – продольная деформация» практически не отличаются для трех указанных разбиений, однако аналогичные кривые для первого и двух более детальных разбиений, построенные по осредненным напряжениям и деформациям по зернам, существенно отличаются. Результаты расчета свидетельствуют об относительно малом разбросе осредненных по зернам напряжений, тогда как деформации имеют существенно большую дисперсию, т.е. гипотеза Тейлора об однородности полных деформаций в представительном макрообъеме не вполне справедлива. При этом результаты расчетов на мелких сетках показывают локализацию градиентов деформаций и напряжений в окрестностях границ зерен.

Проанализировано влияние на результаты расчетов используемого способа разбиения и типа конечного элемента. Отмечается, что для получения осредненных по ПО поликристалла характеристик может применяться грубая (даже один элемент на зерно) регулярная сетка с 27 точками интегрирования. Однако для описания локальных характеристик (распределения напряжений и деформаций в зерне) требуются применение сетки, адаптированной к форме зерен, и повышенный порядок аппроксимации.

Для идентификации и верификации модели рассмотрены 4 варианта растяжения с различными скоростями деформаций (от 2× 10–6 до 2× 10–3 с–1) и 3 варианта ползучести (при напряжениях 275, 350 и 380 МПа) образца из циркониевого сплава Zy–4 при температуре 350 °С. ПО поликристалла содержал 2197 зерен, использованы разбиения 13× 13× 13 и 32× 32× 32. Во всех случаях сопоставление обна-

345

руживает удовлетворительное соответствие теоретических и экспериментальных результатов.

Исходя из важности для процесса меж- и внутризеренного разрушения концентрации напряжений вблизи границ зерен, осуществлен детальный статистический анализ нормальных напряжений на границах зерен. Результаты его показывают, что разброс нормальных напряжений увеличивается с ростом деформации и ростом угла между нормалью к границе и направлением растяжений.

В работе [103] вязкопластическая самосогласованная модель использована для анализа процесса равноканального углового прессования (РКУ). В качестве представительного объема макроуровня рассматривается совокупность 500 зерен, который в каждом проходе подвергается однородной сдвиговой деформации, определяемой углом излома канала. Материал – поликристаллический алюминий, начальные ориентации зерен полагаются случайными, распределенными по равномерному закону. Каждое зерно эллипсоидальной формы, окруженное матрицей с эффективными характеристиками, описывается вязкопластической моделью. Предложена простая геометрическая модель дробления зерен, согласно которой в зависимости от отношения длин большой оси к наименьшей и средней к наименьшей зерно дробится на две или четыре одинаковые части. Ориентация после дробления сохраняется. Приведены результаты расчета напряженнодеформированного состояния, полюсные фигуры, распределение размеров зерен по проходам. Отмечается удовлетворительное соответствие полученных результатов экспериментальным данным.

Детальное изложения модели пластичности монокристалла содержится в работе [109]. Приведен общий вид условия текучести на СС:

где τ(k ) = σ: M(k ) напряжение сдвига в k-й системе скольжения, функция f (k) описывает вязкопластическое сопротивление сдвигу (для пластичности, не зависящей от скорости деформации, она тождественно равна нулю), θ – абсолютная температура, r(k ) , τ(ck ) , ρ(k ) – внутренние

346

переменные, характеризующие вязкостное (в цитируемой статье данная составляющая называется «сопротивлением множественному скольжению», что связано с реализацией в вязкопластической модели сдвигов одновременно по всем СС), квазистатическое и кинематическое упрочнение соответственно. Для внутренних переменных r(k ) , τ(ck ) , ρ(k ) эво-

люционные феноменологические уравнения в общем виде записываются следующим образом:

ρ(k ) = ρˆ (k ) {γ( k ) , r(k ) , r(l ) , τ(ck ) , ρ(k ) , θ}.

Знак «^» введен для отделения функции от ее значения; наличие в 1-м и 2-м соотношении соответственно r(l ) и τ(cl ) означает учет упрочнения

за счет взаимодействия дислокаций на сопряженных СС. Формулировка конститутивной модели основана на термоди-

намическом подходе. Прежде всего авторы вводят сопряженные параметрам r(k ) , τ(ck ) , ρ(k ) термодинамические переменные состояния R(k ) , Τ(k ) , Ρ(k ) . Функция свободной энергии (Гельмгольца) представляется суммой «упругой» и «неупругой» составляющих, ψ= ψe + ψi .

«Упругая» составляющая зависит от тензора упругих деформаций и температуры, и по ней из неравенства Клаузиуса – Дюгема определяется тензор напряжений Коши. «Неупругая» составляющая связана с внутренними переменными, определенными в СС, в связи с чем предлагается следующее представление:

где ρ0 – плотности материала, ψ(Rk ) , ψΤ(k ) , ψ(Ρk ) – составляющие свободной энергии на k-й СС, являющиеся явными функциями соответствующих термодинамических параметров состояния R(k ) , Τ(k ) , Ρ(k ) . Из

347

неравенства Клаузиуса – Дюгема с учетом независимости термодинамических параметров состояния R(k ) , Τ(k ) , Ρ(k ) непосредственно следует общий вид эволюционных уравнений для r(k ) , τ(ck ) , ρ(k ) :

Далее для построения в рамках термодинамического подхода теории вязкопластичности монокристалла вводится вязкопластический потенциал:

k

С использованием вязкопластического потенциала, учитывая, что пластические деформации реализуются сдвигом по СС, получают следующее соотношение:

Суммирование в записанных выше соотношениях осуществляется по всем активным системам скольжения.

Функция диссипации определяется разностью между мощностью работы напряжений на пластических деформациях и мощностью работы на квазистатическом (или вязком) и кинематическом упрочнении, чему соответствуют два представления функции диссипации:

348

Относительно соотношения (10.68) необходимо отметить следующее: по сути дела, считается, что часть энергии не диссипирует, а запасается в виде внутренней энергии упругих искажений решетки, энергии взаимодействующих дислокаций, что и описывают 2-й и 3-й члены правой части. Соотношение (10.69) в этом смысле менее понятно: как правило, вязкостное трение приводит к рассеянию энергии; вероятно, в данном случае следует помнить о вязкопластичности, т.е. повышение вязкого сопротивления приводит к повышению запасенной упругой энергии, реализуемой при разгрузке.

Приведенная формулировка модели, обозначаемая как ЕВ-модель (E. Busso), далее сопоставляется с другими известными соотношениями пластичности монокристаллов. В рассмотрение включены модели

G. Calletaud и L. Meric e.a. (обозначенные как GC), L. Anand (LA)

с соавторами, D. McDowell&R. McGinty (DM). Все указанные модели относятся к классу вязкопластических, однако в рамках моделей GC и LA рассматриваются также варианты с исключением вязких членов. В табл. 10.1 и 10.2 приведена достаточно полная информация о всех соотношениях моделей. В табл. 10.1 приведены функции, описывающие вязкопластичность, выражения составляющих свободной энергии, соотношения для сопряженных термодинамических переменных, характеризующих различные виды упрочнения. В табл. 10.2 содержатся сведения об эволюционных уравнениях для критического напряжения сдвига, вязкого сопротивления и остаточных микронапряжений.

Реализация всех рассматриваемых моделей осуществлялась с использованием МКЭ и неявной схемы интегрирования по времени. Сопоставление результатов расчета осуществлено для ГЦК монокристаллов (12 потенциально активных систем скольжения). Идентификация параметров модели проводилась для случая одноосного нагружения по направлению 100 при квазистатическом нагружении

и использовании закона упрочнения Тейлора. Калибровка проводилась таким образом, чтобы влияние вязкостных членов в интервале скоростей деформации 10–1–10–3 с–1 было весьма малым. Во всех моделях при калибровке пренебрегалось кинематическим упрочнением (т.е. ρk = 0 ). Все коэффициенты моделей сведены в табл. 10.3.

349

Таблица 1 0 . 1

Функции, используемые в моделях пластичности кристаллов

Таблица 1 0 . 2

Эволюционные уравнения для различных моделей

350