книги / Теория пластичности
..pdfD = Ρ : S , |
(10.19) |
где четырехвалентный тензор вязкопластических свойств определяется соотношением
K |
γ0 |
|
(k ) |
|
n –1 |
|
|
|
|
|
|||||
Ρ = ∑ |
|
τ |
|
|
M(k )M(k ) . |
(10.20) |
|
(k ) |
(k ) |
||||||
k=1 |
τc |
|
τc |
|
|
|
Отметим, что при изменении D в k раз аналогичным образом в соответствии с (10.15)1 меняются скорости сдвигов, тогда согласно (10.18) напряжения сдвига (а следовательно, и тензор напряжений) изменяются в k1/n раз. Следует подчеркнуть, что из определения тензора свойств P очевидна нелинейность соотношения (10.19), поскольку τ(k ) определяется по искомому тензору S.
Принимается закон изотропного упрочнения, эволюционное уравнение для критического напряжения имеет вид закона Воуса
(Voce):
dτc ≡ dτ(ck )
dt dt
K
= h∑ γ(k ) k=1
|
|
|
τc − τ0c |
|
K |
|
|
|
|
= h0 |
1 |
− |
|
∑ |
γ(k ) |
, |
(10.21) |
||
τsc − τ0c |
|||||||||
|
|
|
k=1 |
|
|
|
где h0 – начальная скорость упрочнения, τ0c , τsc – начальное напряжение
течения и напряжение насыщения, соответственно. Макроскопический девиаторнапряженийопределяетсяосреднениемсвесамиповсемзернам.
Отмечается, что степенной закон (10.18) может рассматриваться лишь как приближенный закон, не имеющий под собой должного физического обоснования. В связи с этим в работе предлагается модифицировать указанный закон для учета скорости деформации в широком диапазоне ее варьирования и влияния температуры. В основу указанной модификация положена так называемая модель механического порогового напряжения, предложенная Фоллансби и Куксом [120]. Последняя представляет собой изотропную «скалярную» модель для предсказания напряжения течения в зависимости от скорости деформации, температуры и текущего состояния, описываемого параметром состояния, называемым механическим порогом.
321
При использовании этой модели для поликристаллов эффективное одноосное напряжение заменяется на критическое напряжение сдвига τ(ck ) , а эффективная одноосная скорость деформации – на суммар-
ную скорость сдвигов по всем системам скольжения. При этом рассматривается только изотропный закон упрочнения Тейлора, поскольку учет скоростной чувствительности и учет упрочнения по каждой системе скольжения весьма сложны.
Для устранения скоростной чувствительности из соотношения (10.18) (при фиксированном n, обычно принимаемом равным 20) γ0 в нем заменяется на интенсивности скорости деформации
De= (2/3 D: D)1/2, что согласуется с принятой в модели Тейлора гипотезой Фойгта. Действительно, в этом случае при изменении D в k раз аналогичным образом в соответствии с (10.15)1 меняются скорости сдвигов, тогда согласно (10.18) напряжения сдвига остаются неизменными.
Критическое напряжение сдвига τ(ck ) для учета влияния скорости деформации и температуры масштабируется «механическим порогом» τˆ , представляющим собой сопротивление сдвигу при 0 К: последний разделен на атермическую составляющую τˆa и термиче-
скую составляющую τˆlt , так что
ˆ ˆ |
ˆl |
(10.22) |
τ = τa |
+ ∑ τt . |
l
Следует отметить, что использование термина «термическая составляющая» (введенного в исходной статье [120]) для второго члена правой части (10.22) представляется не совсем корректным, поскольку «пороговое напряжение» τˆ определено как сопротивление сдвигу при нулевой абсолютной температуре, а первый член правой части по определению не зависит от температуры θ.
Отмечается, что составляющая τˆa характеризует нечувствительное к скорости взаимодействие дислокаций с дальнодействующими барьерами (например, границами зерен), а τˆlt – чувствитель-
322
ные к скорости деформации взаимодействия дислокаций с близкодействующими препятствиями (например, дислокациями леса, примесными атомами), которые могут быть преодолены за счет термической активации. При изменяющихся температурах и скоростях деформации соответствующий вклад в критическое напряжение сдвига τlt связан со своим исходным аналогом τˆlt масштабирующей функ-
цией Slt (De , θ) , так что τlt = τˆlt Slt (De , θ) .
Критическое напряжение сдвига для всех СС определяется аналогично «механическому порогу»:
|
τc |
|
ˆ |
|
l |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|||
|
= |
τa |
+ |
∑ |
τt |
= |
τa |
+ ∑ Stl (De |
, θ) |
τt |
. |
(10.23) |
|||||
|
G |
|
|
G |
|
||||||||||||
|
|
G |
l |
G |
l |
|
|
|
|
|
G |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||
Здесь G0 – некоторое отсчетное значение модуля сдвига G, опреде- |
|||||||||||||||||
ляемого соотношением: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
G = G(θ) = G0 |
– |
|
D0 |
|
|
, |
|
(10.24) |
|||||||
|
|
|
θ0 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp |
|
|
– 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ |
|
|
|
|
|
D0, θ0 – экспериментально определяемые константы.
Для описания кинетики взаимодействия на короткодействующих препятствиях используются соотношение Аррениуса и феноменологическое выражение для свободной энергии как функции напряжений, тогда каждая компонента τlt может быть записана в виде:
l |
|
|
ˆ |
|
τt |
= Stl (De |
, θ) |
τt |
|
G |
G0 |
|||
|
|
|
|
kθ |
|
|
De0 |
|
1q 1 p |
= 1 |
− |
|
|
ln |
|
|
|
|
3 |
De |
|||||
|
g0Gb |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
τˆ t . (10.25)
G0
Здесь k – константа Больцмана, b – модуль вектора Бюргерса, g0 – нормализованная энергия активации дислокаций для преодоления препятствий, De0 – константа, p, q – константы, характеризующие форму препятствий ( 0 ≤ p≤ 1, 1≤ ≤q 2 ).
323
В стандартной MTS – модели используются два термических члена, обозначаемые как τˆ1t = τˆi , τˆ2t = τˆε , тогда соотношение (10.23) перепишется в виде:
|
τc |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
= |
τa |
+ S (D |
, θ) |
τi |
+ S (D |
, θ) |
τε |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
G |
|
G |
i |
|
e |
|
G0 |
|
|
ε |
|
e |
|
|
|
G0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
kθ |
|
|
|
|
De0i |
|
|
pi |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qi |
|
|
|
|
|||||||||||
Si (De |
, θ) = 1 − |
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
g0iGb |
|
|
|
|
|
De |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qε |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
kθ |
|
|
|
|
|
De0ε |
|
1 |
|
|
pε |
|||||||
Sε (De |
, θ) = 1 − |
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
g0εGb |
|
|
|
|
De |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, (10.26)
(10.27)
.
В этих соотношениях τˆi описывает термическую составляющую сопротивления деформации (в данной работе этот член не учитывается), а τˆ ε – взаимодействие подвижных дислокаций с лесом дислокаций (учитывается).
Эволюционное уравнение для τˆ ε в скоростной форме аналогично соотношению (10.21):
ˆ |
K |
|
|
|
|
||||
dτε |
= h(θ, De , τˆ |
ε )∑ |
|
γ(k ) |
|
||||
dt |
k=1 |
|
|
K |
|
||||
= (h0 – hr (θ, De , τˆε ))∑ |
|
γ(k ) |
|
, |
(10.28) |
|
|
k=1
где h0 отражает упрочнение, обусловленное накоплением дислокаций (принимается постоянным), а hr описывает скорость динамического возврата. Наиболее употребимыми функциональными формами скорости упрочнения h являются запись через гиперболический тангенс (Фоллансби – Кукс), или в виде степенного закона (Кукс и др.):
324
h = h0 1 −
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τˆ |
s |
|
|
|
|
|
|
ˆ(k) κ |
|
|||
tanh ατε |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
h |
|
h |
|
τ |
|
|
|
|
|
, |
|
= |
0 |
1 – |
ε |
, |
(10.29) |
|||
tanh(α) |
|
|
|
|
ˆ |
||||||||
|
|
|
|
G |
|
G0 |
τεs |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где α, κ – эмпирические константы, τˆεs – пороговое напряжение на-
сыщения. В обоих соотношениях h0 описывает начальную скорость упрочнения; скорость упрочнения h с ростом деформации уменьшается и стремится к насыщению. Применение подобных моделей для деформаций, превосходящих единицу, исключено, так что невозможно описать IV стадию упрочнения.
Пороговое напряжение насыщения τˆεs является функцией скорости деформации и температуры:
|
De |
|
|
g0εsGb |
3 |
|
ˆ |
|
ln |
|
= |
|
ln |
τεs |
, |
||
|
|
kθ |
|
|
||||
|
De0 |
ε |
|
|
|
ˆ |
||
|
|
|
|
τεs0 |
где De0ε , g0εs , τˆεs 0 – эмпирические константы.
Рассматриваемая MTS-модель является, таким образом, незначительной модификацией вышеизложенной модели поликристалла. Уравнения (10.18), (10.20) и (10.21) теперь запишутся в виде:
|
|
|
(k ) |
ˆ |
(k ) |
|
(k ) |
|
|
|
|
|
|
|
τ(k ) |
|
n |
|
|
|
(k ) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
γ |
|
= γ |
|
|
(τ |
|
|
) = De |
|
|
|
|
|
|
|
|
sign(τ |
|
|
) |
, |
|
(10.30) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
τc(k ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
De |
|
τ(k ) |
|
n –1 |
|
(k ) |
|
|
(k ) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Ρ = Ρ(S) |
= ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
M |
|
|
, |
|
(10.31) |
|||||||||||||
|
(k ) |
|
|
|
(k ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
τc |
|
|
|
|
τc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ˆ |
|
|
|
K |
|
|
(k ) |
|
|
|
G |
|
|
|
ˆ |
κ |
K |
|
|
(k ) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
dτ |
ε |
|
= h∑ |
γ |
|
|
|
|
1 − |
|
τ |
|
∑ |
γ |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
= h0 |
|
|
|
|
|
|
ε |
|
, |
(10.32) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|||||||||||||||||||||||
dt |
|
k=1 |
|
|
|
|
|
G0 |
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
τεs |
|
|
|
|
|
где использована степенная зависимость (10.29)2.
325
Подробно описывается численная процедура; для интегрирования по времени используется неявная разностная схема, система нелинейных уравнений решается методом Ньютона – Рафсона (Ньютона – Канторовича). Для установления шага по времени решена задача на одноосное сжатие при 10, 20, 40 и 100 постоянных шагах по времени; различие между результатами расчета напряжения сжатия при 10 и 100 шагах не превысило 0,24 %.
Верификация предлагаемой модели осуществляется сопоставлением полученных с ее помощью результатов расчета напряжений
срезультатами стандартной изотропной модели MTS. Скоростная и температурная зависимости определялись в опытах на сжатие алюминиевого сплава Al 5182 при температурах 200 и 300 °С при скоростях деформации 0,001 и 1,0 с–1. Показано очень хорошее соответствие результатов.
Анализ предсказания моделью формирования текстуры осуществлен сопоставлением с результатами, полученными Kalidindi et al.
сиспользованием модели Тейлора; отмечается хорошее качественное соответствие результатов.
Отдельный раздел работы посвящен процедуре идентификации модели. С этой целью записывается функция квадратичного отклонения определяемых расчетным путем компонент тензора напряжений от экспериментально измеряемых значений; для регуляризации добавлен штрафной член, представляющий собой квадратичное отклонение искомых параметров модели от первоначально заданных. Решение поставленной задачи минимизации этой функции осуществлялось градиентным методом. Проведены расчеты для случаев сжатия и кручения образцов из стали HY100 (ОЦК-решетка, в рассмотрение включены все 48 потенциально возможных систем скольжения) при различных скоростях деформации и температурах. Полученные результаты позволили с удовлетворительной точностью описать поведение стали при отсутствии начальной текстуры. Аналогичные результаты получены для начально текстурированной танталовой пластины.
326
Представляется целесообразным кратко остановиться на работе [101], содержащей значительное количество экспериментальных данных по лучевым и двухзвенным траекториям деформации листового алюминиевого сплава, пригодным для идентификации и верификации теоретических моделей. Подробно описана методика экспериментальных исследований, включающих как чисто механические измерения, так и анализ текстуры и дислокационных субструктур. Теоретические исследования проведены с использованием вязкопластических моделей со степенным законом, «полностью стесненной» и самосогласованной. Обе модели дают близкие результаты как по зависимостям напряжений от работы на пластических деформаций, так и по полюсным фигурам; отмечается, что полюсные фигуры в теоретических расчетах получаются более четко выраженными («острыми»), чем в экспериментах.
В работе [168], как и во многих других, также используется мультипликативное разложение градиента места. Упругими деформациями пренебрегается, в силу чего упругая составляющая градиента места описывает только поворот кристаллической решетки, Fe = RL . Получено аддитивное разложение градиента скорости перемещений в промежуточной конфигурации L:
L = D + WL + Wp ,
где |
D ≡ D |
|
K |
γ |
|
, |
W |
|
= R |
|
R |
|
= ∑MS |
|
|
|
|||||||
|
|
p |
(k ) |
|
(k ) |
|
|
L |
|
l -1 |
l |
k=1
K
Wp = ∑M(Ak ) γ(k ) , причем тензоры MS( k ) и M(Аk )
k=1
– спин решетки,
(симметричная и ан-
тисимметричная части ориентационного тензора) определены также в промежуточной конфигурации. Используется гипотеза Фойгта, т.е. деформации скорости принимаются одинаковыми в каждый момент времени во всех зернах поликристалла. Скорости сдвигов на СС определяются степенным законом, аналогичным (10.30).
Следует отметить, что в вязкопластических моделях активными в каждый момент времени могут быть любые из возможных для
327
данного типа кристалла СС, хотя не все они будут линейно независимы; например, на каждой кристаллографической плоскости линейно независимыми могут быть только две из трех СС. В работе предлагается эвристическая, чисто геометрическая процедура определения активных СС, число которых на каждой плоскости не более двух; например, для ГЦК-кристаллов общее число активных СС, таким образом, не превышает восьми. Для определения скоростей сдвигов на СС ставится задача оптимизации, критерием является минимальность евклидовой нормы вектора скоростей сдвигов; кинема-
K
тическое ограничение D = ∑MS(k ) γ(k ) вносится с использованием
k=1
множителей Лагранжа. Детально описан пошаговый алгоритм реализации предлагаемого подхода. С использованием последнего решены тестовые задачи одноосной осадки и простого сдвига монокристаллов с различной начальной ориентацией, одноосной осадки, осадки
вусловиях плоско-деформированного состояния и простого сдвига поликристаллических образцов. Сопоставление результатов расчета эволюции ориентаций кристаллитов с теоретическими результатами, полученными с использованием других моделей, и экспериментальными данными обнаруживает хорошее соответствие.
Значительное внимание в физических теориях (как упругопластических, так и вязкопластических) уделяется модификации законов упрочнения в связи с новыми экспериментальными данными, полученными с применением высокоразрешающей аппаратуры (в особенности, электронных микроскопов).
Краткий обзор существующих теорий упрочнения приведен
вработе [160]; особое внимание уделяется теориям, основанным на рассмотрении эволюции дислокационных субструктур. Выделена модель [179, 180], в которой зерно представляется совокупностью блоков ячеек; для описания блоков вводятся ориентации потенциально возможных границ и присущие границам плотности дислокаций. Следуя указанным статьям, предлагаются эволюционные уравнения для плотности дислокаций, «налипающих» на границах блоков ячеек. Критические напряжения сдвига определяются по объемной
328
доле границ блоков в зерне и накопленной плотности дислокаций. Входящие в эволюционные уравнения и выражение критического напряжения параметры модели предлагается определять методом наименьших квадратов по экспериментальным данным; приведены соответствующая постановка задачи оптимизации и алгоритм ее решения. Предлагаемый закон упрочнения был использован в самосогласованной вязкопластической модели для анализа деформирования при сложном нагружении поликристаллической меди (ГЦК-решетка). Сложное нагружение осуществлено по следующей схеме: образцы из отожженной меди прокатывались за один проход на 5,6, 10,5 и 18,8 %, затем из них вырезались цилиндрические образцы в направлении прокатки, поперечном направлении и в направлении нормали к плоскости прокатанного листа. В дальнейшем полученные образцы подвергались осадке до деформаций от 24 до 44 %. Для случая прокатки на 5,6 и 10,5 % и последующей осадки предлагаемая модель показывает хорошее соответствие с экспериментальными данными; несколько худшее соответствие результатов имеет место при деформировании на первом этапе (прокатки) до 18,8 %, в связи с чем авторы отмечают необходимость дальнейшей доработки модели упрочнения для описания IV стадии.
В статье [188] детально анализируются законы кинематического внутризеренного упрочнения (или – законы, определяющие эволюцию остаточных микронапряжений ρ). Каждое зерно представляется совокупностью внутренностей и стенок ячеек, материал внутри ячейки полагается упругопластическим, стенки рассматриваются состоящими из упругого материала. Для получения аналитического решения рассматривается простая геометрия ячеек (сферическая и круговая цилиндрическая). Определение остаточных микронапряжений осуществлено с помощью моделей Kröner и Berveiller and Zaoui в предположении изотропии кристаллов. Согласно модели Kröner тензор остаточных микронапряжений ρk в определяется как
ρk = –2G(1 – β)(εpk – εp ) ,
329
где β – геометрический фактор (для сферического включения решение Эшелби дает β = 2(4–5ν)/(15(1–ν)), ν – коэффициент Пуассона, εpk – пластическая составляющая тензора деформаций внутри k-й
ячейки, εp – средняя по кристаллу пластическая деформация. Berveiller and Zaoui предложили уточненное соотношение:
ρ |
|
= –2G(1 – β) |
|
1 |
|
|
(εp – εp ) , |
|
|
|
|
|
|||
|
k |
|
1 |
+ 3 |
G |
εup |
k |
|
|
|
|
2 |
|
σu |
|
где εup , σu – интенсивности средних по кристаллу пластических де-
формаций и напряжений. С учетом предположения о деформировании стенок ячеек упругим образом последнее соотношение модифицировано к виду
|
|
|
fw |
|
|
|
1 |
|
|
N |
ρk |
= – |
|
G(1 – β) |
|
|
|
|
∑ γi (ni mi + mini ) , |
||
|
− fw |
|
|
+ 3 |
|
p |
||||
|
1 |
|
1 |
G |
εu i=1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
σu |
где fw – объемная доля границ ячеек. Результаты расчетов сопостав-
лялись с известными данными экспериментальных исследований, проведенных на растяжение и циклическое нагружение монокристаллов; показано удовлетворительное соответствие экспериментальных и теоретических результатов, полученных с помощью модифицированной модели. Результаты расчетов по модели Kröner на один-два порядка превышают экспериментально измеренные.
10.2. Упруговязкопластические модели
Одной из первой работ, в которой представлены теоретические результаты, удовлетворительно согласующиеся с экспериментальными данными, была статья [201]. Модель, предложенная в цитируемой работе, базируется на теории термоактивируемого движения
330