книги / Теория пластичности

деформаций в представительном микрообъеме) приводит к нарушению условий равновесия на границах зерен. В связи с этим в дальнейшем как Линем, так и другими исследователями предпринимались и предпринимаются попытки построения так называемых самосогласованных моделей пластичности поликристаллов, в которых выполняются как условия совместности деформаций, так и условия равновесия на границах зерен [59, 154]. В значительной мере эти исследования опираются на решение Эшелби задачи об одиночном эллиптическом включении в бесконечной однородной упругой среде с эффективными характеристиками [59]. В дальнейших исследованиях (Кренер, Хилл) были рассмотрены более сложные задачи об одиночном включении в упругопластической среде с эффективными (осредненными) характеристиками. Следует отметить, что самосогласованные модели требуют чрезвычайно больших вычислительных ресурсов.

Другим направлением развития физической теории являются модификация законов упрочнения и определение изменения поверхности текучести для монокристаллов с целью включения в них постоянно обновляющихся экспериментальных и теоретических данных об эволюции дислокационных субструктур. В последние 10–15 лет физические теории активно применяются для описания процессов глубокого пластического деформирования, особое внимание при этом уделяется анализу эволюции микроструктуры, в частности – возникновению и развитию текстуры. Более подробно вопрос о современном состоянии и направлениях развития ФТП рассмотрен в следующей главе.

Взаключение кратко остановимся на связи физической теории

срассмотренной в главе 1 структурой конститутивной модели, основанной на введении внутренних переменных. Как нетрудно видеть, рассмотренные здесь различные модификации физической теории относятся к двухуровневым моделям, при этом основной целью является определение реакции материала на макроуровне. На макроуровне роль собственно определяющих соотношений играет закон Гука (обычно – в скоростной релаксационной форме). Внутренней

301

явной переменной макроуровня является тензор пластической составляющей деформации скорости (в случае модифицированной модели Линя к явным внутренним переменным относится также тензор упругих характеристик). Внутренними неявными переменными являются критические напряжения сдвига по СС и скорости сдвига в последних. В качестве эволюционных уравнений выступают законы упрочнения, связывающие скорости изменения критических напряжений со скоростями сдвигов в СС. Наконец, замыкающими уравнениям являются соотношения, определяющие среднюю по представительному макрообъему пластическую составляющую деформации скорости по скоростям сдвигов в СС (в модифицированной модели Линя к замыкающим уравнениям относится соотношение для определения тензора упругих характеристик представительного макрообъема).

В данной главе описаны главным образом основополагающие работы по физическим теориям пластичности. В последние годы интерес к ФТП резко возрастает, что находит отражение в огромном числе публикаций, посвященных различным аспектам теории. Как представляется, в ближайшие 5–10 лет ФТП станет одной из наиболее применяемых теорий для решения практически важных задач. Особую роль в этом процессе играет быстрое развитие вычислительной техники и соответствующих методов, особенно появление ЭВМ и методов параллельных вычислений.

Вопросы для самопроверки

1.В чем состоит основное отличие физической теории пластичности от математических теорий пластичности?

2.Какой механизм неупругого деформирования считается в ФТП основным и почему?

3.Запишите выражения для ориентационного тензора и закона Шмида, приведите физическое обоснование последнего.

4.Какими соотношениями определяется поверхность текучести монокристалла? Для чего требуется удвоение числа систем скольжения по сравнению с числом кристаллографических СС?

302

5.На основе какого принципа устанавливаются ОС пластичности монокристалла? В чем трудность применения уравнения поверхности текучести (9.3)?

6.Какую роль играют границы зерен в процессах пластического деформирования поликристаллов?

7.Каковы основные гипотезы модели Закса?

8.Опишите алгоритм определения напряжения течения с использованием модели Закса. Назовите основные недостатки данной модели.

9.Перечислите основные гипотезы, положенные в основу модели Тейлора.

10.В чем состоит принцип минимума сдвига Тейлора, с чем связана необходимость его формулировки?

11.Приведите описание процедуры построения кривой одноосного деформирования, основанной на модели Тейлора.

12.Каким образом модель Тейлора может быть приведена к задаче линейного программирования?

13.Назовите основные недостатки модели Тейлора.

14.Сформулируйте основные положения, на которых базируется модель Бишопа – Хилла на макроуровне.

15.Приведите основные гипотезы, принимаемые в модели Би- шопа–Хилла на уровне монокристалла (зерна).

16.Сформулируйте и докажите принцип максимальности работы для монокристалла.

17.Дайте определения геометрически возможных и физически возможных векторов сдвига.

18.Сформулируйте и докажите принцип минимума работы для монокристалла.

19.В чем состоят отличия между принципами минимума работы и максимума работы, как они связаны между собой?

20.Сформулируйте гипотезы, использованные Бишопом и Хиллом для построения модели деформирования поликристалла, объясните их физический смысл и значение для модели.

21.Приведите графическую иллюстрацию осреднения приращений деформаций с использованием соотношения (9.20), запишите соот-

303

ношения для всех компонент тензора приращения деформаций, используя единичный куб и декартову ортогональнуюсистему координат.

22.Аналогично п. 21 – для тензора напряжений Коши с использованием соотношения (9.23)1.

23.Восстановите доказательство соотношения (9.26), объясните его важность для формулировки основных соотношений теории Бишопа – Хилла.

24.Сформулируйте и докажите теорему Бишопа – Хилла (9.35).

25.Опишите процедуру построения поверхности текучести

втеории Бишопа – Хилла.

26.Перечислите основные гипотезы модели Линя. В чем состоит её основное отличие от модели Бишопа – Хилла?

27.Опишите процедуру применения модели Линя для исследования изменения напряженно-деформированного состояния представительного макрообъема.

28.Опишите алгоритм реализации модели Линя, модифицированной для учета геометрической нелинейности и анизотропии тензора упругих характеристик.

29.Приведите основные направления развития современной физической теории пластичности.

30.Опишите связи между общей структурой конститутивной модели (см. гл. 1) и ФТП Закса, Тейлора – Бишопа – Хилла и Линя.

304

Деформируемое твердое тело является… многоуровневой иерархически самоорганизующейся системой, в которой микро-, мезо- и макромасштабные уровни органически взаимосвязаны.

В.Е. Панин

10. СОСТОЯНИЕ И НАПРАВЛЕНИЯ РАЗВИТИЯ СОВРЕМЕННЫХ ФТП

Настоящая глава существенно отличается по содержанию и стилю изложения от предшествующих; по существу, она представляет собой обзор существующих на настоящий момент ФТП. Ориентирована глава в первую очередь на аспирантов и студентов, занимающихся научно-исследовательской работой по созданию моделей материалов, основанных на ФТП.

Существующие в настоящее время ФТП можно разделить на четыре широких класса: жесткопластические, упругопластические, вязкопластические и упруговязкопластические модели. Жесткопластические теории достаточно полно изложены в предыдущей главе, поэтому здесь основное внимание уделяется трем другим классам. Несмотря на отмеченные выше (гл. 9) недостатки жесткопластических моделей типа Тейлора – Бишопа – Хилла, их изучение в силу «прозрачности» представляется весьма полезным с методической точки зрения. Дальнейшее развитие моделей этого класса связано, в частности, с совершенствованием математической основы моделей, модификации соотношений теории для учета поворотов кристаллической решетки. Например, в работе [122] наряду с трансляционной (сдвиговой) модой деформирования идеально-пластического монокристалла предлагается ввести дополнительные параметры, характеризующие ориентацию кристаллической решетки (три угла Эйлера). В качестве ключевой гипотезы вводится предположение об аддитив-

305

ном разложении градиента скорости перемещений на пластическую составляющую, определяемую скоростями сдвигов по активным системам скольжения (СС), и спин решетки. Одну из известных трудностей – задание граничных условий для скорости поворота решетки, – автор предлагает избежать за счет задания так называемых «глобальных кинематических условий», согласно которым в исследуемом теле вводятся материальные направления с запрещенными поворотами (например, вдоль оси растягиваемого образца). Как представляется, указанные гипотезы не имеют достаточного физического обоснования даже для монокристаллов.

В последнее десятилетие жестко-пластические модели используются довольно редко, наиболее широко применяемыми моделями стали модели трех других типов.

10.1. Упругопластические модели

Следует отметить, что большинство упругопластических моделей (равно как и упруговязкопластических) используют гипотезу аддитивности упругих и неупругих составляющих тензора деформации скорости и (изотропный или анизотропный) закон Гука:

или ОС в так называемой релаксационной форме; эта гипотеза использована и в изложенной в гл. 9 модели Линя. В (10.1) d, de ,din – тензор деформации скорости, его упругая и неупругая (пластическая или вязкопластическая) составляющие, П – тензор (4-го ранга) упругих характеристик, σ – материальная производная тензора напряжений Коши. Вместо материальной производной тензора напряжений в геометрически нелинейном случае применяется та или иная «объективная производная», чаще всего коротационная. Основное отличие в моделях заключается в соотношениях для определения неупругой составляющей тензора деформации скорости.

306

Одним из наиболее важных направлений развития физических теорий являются модификация законов упрочнения и определение изменения поверхности текучести для монокристаллов с целью включения в них постоянно обновляющихся экспериментальных

итеоретических данных об эволюции дислокационных субструктур [212]. В цитируемой работе анализируются различные теории упрочнения, основанные на рассмотрении движения и взаимодействия дислокаций. Часть из этих теорий (сплетения дислокаций Хирша

иМитчелла, ступенек дислокаций Мота, дислокаций леса Басинско-

го, ячеистых структур Кульман – Вильсдорф) относится автором к механизмам изотропного упрочнения; другие теории (дисперсного упрочнения Орована и скоплений дислокаций Зигера) описывают кинематическое (анизотропное) упрочнение монокристаллов. Изотропное упрочнение считается одинаковым во всех системах сколь-

K

жения (СС): при активизации К систем скольжения τ(ci ) = ∑ τ(ck ) , где i

k =1

«пробегает» все номера СС. Для описания кинематического упрочнения вводится геометрический фактор Qij = n(i )b(i ) : b( j )n( j ) , тогда скорость изменения критического напряжения сдвига в i-й СС

K

определяется соотношением: τ(ci) = ∑Qik τ(ck ) . Детально рассматрива-

k =1

ется процедура построения эволюционирующей поверхности текучести в пространствах симметричного (6-мерного) и несимметричного (9-мерного) тензоров напряжений. Отмечается, что при реализации нагружения, контролируемого по деформациям, предпочтительнее использовать поверхность текучести в пространстве деформаций, в связи с чем аналогичная процедура рассматривается в терминах соответствующих пространств (6-мерном тензора малых деформаций

и9-мерном тензора дисторсии).

Вразвитие цитируемой работы в статье [213] рассматривается обобщение модели на случай геометрической нелинейности. Используется текущий лагранжев подход; закон Гука записывается в терми-

307

нах производной Яуманна тензора напряжений Кирхгоффа [76]. Приведены соотношения для определения начальной поверхности текучести в пространствах напряжений и деформаций; учет поворота (в упругой области рассматривается материальный поворот) приводит к появлению в уравнении квадратичных относительно напряжений и деформаций (соответственно в пространствах напряжений

идеформаций) членов. Получены соотношения для эволюционирующей поверхности текучести; в упругопластической области учитывается как материальный поворот, так и ротация за счет сдвигов, причем последняя определена как сумма по всем активным системам произведений антисимметричной части ориентационного тензора на приращение сдвига. В терминах пространств напряжений и деформаций сформулированы критерии пластического деформирования

иопределяющие соотношения.

Впоследние 10–15 лет физические теории активно применяются для описания процессов глубокого пластического деформирования, особое внимание при этом уделяется анализу эволюции микроструктуры, в частности – возникновению и развитию текстуры.

Одна из первых попыток конструктивного применения модели Линя для анализа поведения поликристаллов при сложном нагружении освещена в работе [200]. В первой части работы приведены

иобсуждаются результаты экспериментов на сложное нагружение тонкостенных трубчатых латунных образцов. Исследуются траектории в виде двухзвенных ломаных (растяжение – кручение) при различных длинах сегментов ломаных и углах излома от 30 до 180°. Для теоретического исследования использована модель Линя с модифицированным для учета эффекта Баушингера законом упрочнения. Отмечается, что учет взаимодействия зерен в модели Линя можно рассматривать как упрощенную модификацию модели Кренера, основанной на решении Эшелби для сферического кристалла в изотропной матрице. Рассмотрены плоские траектории деформации, пластические сдвиги осуществляются в одной плоскости по трем направлениям (6 систем скольжения), образующим равносторонний треугольник. Описаны алгоритм реализации модели и полученные

308

результаты; показано хорошее качественное соответствие расчетных и экспериментальных результатов.

Развитие рассмотренной модели [200] содержится в работах [150, 199], в которых особое внимание уделяется законам упрочнения для СС и описанию эволюционирующей поверхности текучести. В качестве поверхностей текучести приняты поверхности равных уровней интенсивности пластических деформаций по лучевым траекториям деформаций из текущих точек полной разгрузки; «допуск» на пластические деформации принимался равным 0,02, 0,05, 0,2, 0,5 и 1,0 %. Приведены основные гипотезы модели Линя; представляет интерес предложенный авторами закон упрочнения, являющийся модификацией закона Тейлора и более позднего предложения Венга:

Нетрудно видеть, что в предлагаемом законе учтены различие активного и латентного упрочнения и разупрочнение при реверсивном нагружении (за счет аннигиляции дислокаций). Предлагаемый закон упрочнения позволяет описать эффект Баушингера и экспериментально наблюдаемый факт «скругления» участка кривой реверсивного нагружения перед наступлением вторичной пластической деформации.

Для упрощения осуществлен переход к плоской задаче; для выбранной декартовой ортогональной системы координат Ох1х2х3 принимается, что деформирование осуществляется сдвигом в плоскости Ох1х2 по трем равнонаклоненным направлениям скольжения. В рассмотрение включены только сдвиговые деформации е31, е32 и соответствующие компоненты сдвиговых напряжений (или девиаторов напряжений) S31, S32, которым в соответствие ставятся двумерные векторы деформаций и напряжений.

309

Врасчетах использованы следующие значение параметров:

А= 5,9·102 МРа, В = 2,0·102, е = 0,5, модуль сдвига G = 29,4 ГПа, на-

чальное критическое напряжение сдвига равно 79,2 МПа, что соответствует латуни.

Рассмотрена эволюция поверхности текучести для случая лучевого нагружения при различных допусках на пластическую деформацию; показано, что чем больше величина допуска, тем ближе форма поверхности текучести в данном случае двумерного нагружения к окружности. Сопоставление теоретических результатов с экспериментальными данными показывает хорошее качественное соответствие при всех величинах допуска, количественное соответствие тем лучше, чем больше величина допуска. По сопоставлению с экспериментом возникает вопрос: эксперименты проводились по растя- жению-кручению трубчатых образцов, модель же ориентирована на сдвиг в двух перпендикулярных направлениях. Авторы не поясняют переход от сдвиговых компонент к реализующимся в эксперименте.

Приведены результаты расчетов эволюционирующей поверхности текучести для двух- и трехзвенных ломаных с углами излома 90°. На трехзвенных ломаных показывается справедливость принципа затухающей памяти: на симметричных траекториях деформации получены одинаковое расположение и размеры поверхностей текучести по отношению к внутренней геометрии траекторий деформации.

Дальнейшее развитие модели Линя связано в значительной мере с модификацией положенного в его основу закона упругости и с учетом геометрической нелинейности. Работ по данной теме чрезвычайно много, в связи с чем остановимся только на нескольких из них, содержащих достаточно полное изложение теории и алгоритмов.

Встатье [167] рассматривается геометрически нелинейная модель термоупругопластичности моно- и поликристаллов. Последовательно излагаются кинематические соотношения, основанные, как и большинство других моделей геометрически нелинейной пластичности, на мультипликативном разложении Ли градиента места. Кроме того, вводится разложение градиента места, упругой и пластической составляющих на шаровую и унимодулярную части. На основе

310