книги / Теория пластичности

дислокаций (Kroner&Teodosiu (1972), Kratochvil&de Angelis (1971))

имодели Линя (гл. 9).

Впредлагаемой модели приняты все гипотезы модели Линя, за исключением соотношений для определения скоростей (или приращений) сдвигов: предполагается, что скорости сдвигов связаны с касательными напряжениями на кристаллографических системах скольжения вязкопластическими соотношениями вида:

где γ0 – константа материала, Н0 – величина энергетического барье-

ра (Пайерлса); k – константа Больцмана; θ – температура (К); ν – константа, относящаяся к объему препятствий (активационный объем); τ(k ) , τ(ck ) – касательное напряжение и критическое напряжение

сдвига в k-й системе скольжения, причем τ(ck ) характеризует сопро-

тивление сдвигу препятствий, не преодолеваемых за счет термической активации и связанное с дальнодействующими полями напряжений; K – число систем скольжения (для рассматриваемых в работе ГЦК-кристаллов принято K = 24, т.е. удвоенное число кристаллографических систем скольжения). Предлагается эволюционное уравнение для τ(ck ) , представляющее собой модификацию закона упрочнения Тейлора:

K

τ(ck ) = A ∑ γ(i ) – [B(τ(ck ) – τˆc )]m exp[–QD / (kθ)] , k = 1, K , (10.34)

i =1

где А, В, m, τˆc – материальные константы, QD – энергия активации

диффузии.

В качестве основы конститутивной модели, как и в модели Линя, используется (изотропный) закон Гука, записанный в скоростях. Численная процедура реализуется пошагово, задается история осредненных скоростей полных деформаций (используется гипотеза Фойгта).

331

Предлагаемая модель была апробирована для случая простого и сложного нагружения поликристаллического алюминия (на двухзвенных траекториях с изломами на углы 30, 60, 90, 120, 150 и 180°) при изотермическом деформировании при температуре 200 °С и скоростях деформирования от 3× 10–5 до 3× 10–3. Результаты расчетов находятся в удовлетворительном соответствии с экспериментальными данными; в частности, хорошо описывается эффект «нырка» (резкого падения интенсивности напряжений в окрестности точки излома траектории деформации).

К рассмотренной выше работе вплотную примыкает статья [202], в которой более детально рассматривается процедура ориентационного осреднения тензора напряжений. Рассмотрена также модификация модели для реализации процесса нагружения в пространстве напряжений. Отмечается возможность использования вместо гипотезы Фойгта самосогласованной модели Кренера.

Обзор работ по физическим теориям пластичности, вязко- и упруговязкопластичности, выполненных до 1985 года, содержится в статье [98]. Предлагаемая в работе модель ориентирована на описание образования текстуры при больших пластических деформациях, и с этой точки зрения представляется целесообразным её достаточно полное изложение.

В качестве исходного кинематического соотношения также используется вариант мультипликативного разложения:

где тензор F* описывает как упругое деформирование, так и квазижесткие повороты, тогда как Fр полностью определяется сдвигами по кристаллографическим системам скольжения (СС).

Рассмотрим разложение (10.35) в терминах конфигураций и базисных векторов. Наряду с отсчетной К0 и актуальной Кt конфигурациями в разложении участвует промежуточная конфигурация К*, получаемая из К0 преобразованием Fр. Векторы основного (сопряженного) базисов в этих конфигурациях обозначим соответственно

332

в разложение (10.35) тензоры можно представить следующим обра-

зом [76]:

Из (10.36) легко подтвердить справедливость (10.35). Единичные ортогональные векторы нормали к k-й СС и на-

ми и ортогональными, т.е. влиянием упругих искажений решетки пренебрегается. Тогда пластическая составляющая градиента скоро-

в моделях физической теории пластичности принято использовать её симметричную часть M((S)k ) , вводя разложение:

333

где M(Ak ) – антисимметричная составляющая диады. С использованием

разложения (10.39) входящие в (10.38) пластические составляющие девиатора деформации скорости и спина можно записать в виде:

С использованием (10.35) – (10.36) можно получить следующие соотношения:

Из (10.42)2 следует, что «пластическая составляющая» в разложении (10.41) представляет собой скорость изменения компонент метрического тензора в конфигурации К*, отнесенных к диадному базису актуальной конфигурации.

Остановимся на геометрическом смысле приведенных выше тензоров градиентов скоростей перемещений. Рассмотрим две беско-

об

жевы координаты [76]. Тогда нетрудно видеть, что L dr = dr = dvKt , т.е. скорость частицы r + dr в конфигурации Кt относительно частицы r.

собой относительную скорость той же частицы в конфигурации К*, компоненты которой отнесены к базису актуальной конфигурации Кt.

Наконец, аналогично показывается, что Le dr = dvKt − ei (dvK* )eˆi , т.е. эта составляющая представляет собой разность скоростей той же

334

частицы в конфигурации Кt и в конфигурации К* (приведенную к базису актуальной конфигурации).

Введенные соотношениями градиенты скоростей перемещений представляются разложением на симметричную (тензоры деформации скорости) и антисимметричную (тензоры вихря) составляющие:

Следует отметить, что обе составляющие De и We содержат скорости упругих искажений решетки и вращения тела как целого, тогда как Wр описывает скорость вращения решетки за счет пластических сдвигов (в так называемой «полностью стесненной модели Тейлора»).

Введем меру Коши – Грина G* и тензор деформаций Коши – Грина C* [76] при использовании в качестве отсчетной конфигурации К* (в анализируемой статье последний назван «решеточным тензором Грина»):

где g – метрический (единичный) тензор, gˆ ij – его компоненты в ба-

зисе актуальной конфигурации. С использованием (10.42)1, (10.44) и (10.46) нетрудно показать, что справедлива следующая связь:

которая потребуется в дальнейшем.

В геометрически нелинейной теории пластичности наряду с тензором напряжений Коши σ часто используется тензор напряже-

335

o

(см. [76]), где ρ, ρˆ – плотность в отсчетной и актуальной конфигурации соответственно. Заметим, что свертки K : D и σ: D определяют мощность напряжений на единицу объема соответственно в отсчетной и актуальной конфигурациях.

В работе полагается, что свободная энергия (Гельмгольца) ϕ не зависит от пластических сдвигов и является функцией только С*. Мощность работы напряжений определяется соотношением:

где K(k ) = K : MS( k ) – сдвиговое напряжение на k-й системе скольжения. Первый член правой части характеризует скорость изменения свободной энергии Гельмгольца и может быть выражен через ϕ как

∂ φ∂ C : C , тогда с учетом (10.47) можно записать:

откуда следует

Заметим, что если известно выражение свободной энергии ϕ как функции С*, то (10.50) можно трактовать как закон гиперупругости (закон Гука с заменой линейной меры деформаций на нелинейную).

Далее вводится коротационная производная Kr [76] тензора Кирхгоффа K , ассоциированная с решеточным упругим спином Wе:

336

В цитируемой статье первый член правой части представляется

ход к гипоупругому закону. К сожалению, авторам не удалось доказать правомочность такого перехода, вероятно, он не верен (возможно, использовалось известное в тензорном анализе «цепное правило», справедливое только для сверток тензоров второго ранга, тогда как в данном соотношении фигурирует тензор четвертого ранга). Заметим, что запись первого члена правой части (10.52) в компонентах не меняет закона гипоупругости, имеет место просто усложнение записи.

В дальнейшем, заменяя в (10.51) Wе = W – Wр и переходя к коротационной производной Kr , ассоциированной с тензором (материального) вихря W, определяющее соотношение может быть преобразовано к виду:

k

Наконец, заменяя Dе = D – Dр, а Dр выражая через скорости сдвигов, получаем ОС упруговязкопластичности, связывающее коротационную производную Kr с тензором полной деформации скорости и скоростями сдвигов. Теперь для возможности использования полученных ОС для решения конкретных задач следует определить закон для скоростей сдвигов, в качестве которого используется вязкопластический закон (степенная зависимость скорости сдвига от сдвигового напряжения на каждой СС):

337

где а(k) – так называемая «отсчетная скорость» (сдвига) (нетрудно видеть, что она равна скорости сдвига при K( k ) = g ( k ) ); g (k ) – функция

упрочнения, зависящая от суммарного сдвига, накопленного на всех системах скольжения; m – показатель скоростной чувствительности монокристалла. Из (10.54) следует однозначная определенность скорости сдвига по любой СС, причем скорость сдвига будет отличной от нулевой при любом отличном от нулевого сдвиговом напряжении K(k ) .

Эволюционное уравнение для функции упрочнения g (k ) по структуре аналогично закону (10.2):

в общем случае Hij полагаются функциями накопленных сдвигов; следуя более ранним работам Хатчинсона, Азаро и других в рассматриваемой статье используется следующее соотношение для коэффициентов матрицы упрочнения:

где Q характеризует отношение скорости латентного упрочнения к скорости активного упрочнения. Для ГЦК-кристаллов в работе предлагается разделить 12 кристаллографических систем на 4 множества компланарных систем (по 3 в каждом множестве); в случае принадлежности СС одному и тому же множеству Q = 1,0, если же индексы k и j относятся к СС из разных множеств, то в численных экспериментах для Q принимались значения либо 1,0, либо – 1,4.

Подробно рассмотрена процедура численного решения. Исследовалось поведение поликристаллической меди (закон распределения начальной ориентации зерен – равномерный) при растяжении и сжатии в условиях осевой симметрии и плоско-деформированного со-

338

стояния. Использовались смешанные граничные условия, объемными силами пренебрегалось, принята гипотеза Фойгта; в качестве процедуры определения осредненных напряжений для представительного объема поликристалла принято осреднение по объему. Приведены результаты расчета развития текстуры, отмечается существенное влияние на её эволюцию параметра латентного упрочнения Q.

Представлены расчетные кривые «интенсивность напряжений – интенсивность деформаций» для различных значений параметра латентного упрочнения. Отмечается достаточно быстрый (при εи ≈ 0,1 ) выход упрочнения на уровень насыщения; дальнейший рост интенсивности напряжений при больших деформациях ( εи ≥ 0, 4 ) связыва-

ется с формированием текстуры («геометрическое упрочнение»). Для случая комбинированного нагружения (растяжение–сжатие

с одновременным сдвигом) при различных предварительных деформациях растяжения и сжатия построены условные «поверхности текучести» с различным допуском на неупругие деформации. Из полученных расчетных кривых видно, что предлагаемая модель качественно описывает образование «носика» на «поверхности текучести» в направлении нагружения, уплощение тыльной части поверхности, эффект Баушингера.

Предложенная модель с незначительными модификациями использована в [135] в сочетании с МКЭ для исследования локализации деформации и формирования текстуры в плоских задачах растяжения–сжатия и простого сдвига. Для установления кривых напряжение–деформация в терминах компонент напряжений Кирхгоффа и логарифмических деформаций в конечно-элементной модели используется определение напряжений по узловым силам на границе. Отмечается хорошее соответствие результатов, полученных с помощью исходной модели Тейлора (осреднение по объему) и конечно-элементной модели для растяжения–сжатия. Для случая простого сдвига при накопленном сдвиге γ = 1,1 конечно-элементная модель дает заниженные (на 35 %) значения нормальных напряжений по сравнению с моделью Тейлора.

339

Достаточно детальное изложение вышерассмотренной модели содержится в изданном в 2005 г. справочнике по моделированию материалов [142]. Значительная часть цитируемой работы посвящена изложению алгоритмов интегрирования соотношений конститутивных моделей упругопластичности и упруговязкопластичности.

Интересный вариант физической модели упруговязкопластичности предложен в работе [149], согласно которому монокристалл представляется совокупностью «жестких» (зоны с повышенной плотностью дислокаций, например, стенки ячеек) и «мягких» (зоны с пониженной плотностью дислокаций, например, внутренность ячеек) областей. Принимается гипотеза Фойгта; напряжения определяются суммой напряжений в «жестких» и «мягких» областях. Для каждой из областей используется изотропный закон Гука с отличающимися константами Ламе. Принимается гипотеза об аддитивном разложении тензора малых деформаций на упругую и вязкопластическую составляющие. Неупругие деформации осуществляются сдвигом в активных системах скольжения, условием активации является выполнение закона Шмида. Для каждой из областей скорости сдвигов в k-й СС определяются степенным законом вида

где нижние индексы S, H относятся соответственно к «мягкой» (soft) и «жесткой» (hard) зонам, τc0 – постоянное критическое напряжение

в «мягкой» области, τ(ck ) – критическое напряжение сдвига в «жесткой»

области, τ((S)k ) , τ((H)k ) – сдвиговые напряжения в k-й СС, n – показатель скоростной чувствительности. Для критического напряжения сдвига в «жесткой» области τ(ck ) предлагается эволюционное уравнение, учи-

тывающее активное и латентное упрочнение за счет сдвигов в обеих областях и возможное разупрочнение за счет сдвигов в «мягкой» зоне.

Предложенная модель была использована для анализа поведения монокристаллов при непропорциональном циклическом нагружении

340