книги / Теория линейных электрических цепей. Переходные процессы
.pdfПример расчета
Дана цепь (рис. 1.64) с параметрами E = 200 B, R1 = R3 = R5 =
= 100 Ом, R2 = R4 =400 Oм, L = 0,2 Гн.
|
R3 |
|
R4 |
i4 |
Е |
|
|
|
|
К1 |
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
R5 |
К2 |
|
R1 |
|
|
||
|
|
|
|
Рис. 1.64
Определить закон изменения тока i4(t) в переходном режиме при условии, что срабатывание коммутаторов происходит в моменты времени:
1)K1 в t = 0,
2)K2 в t = 2 1, где 1 – постоянная времени цепи, образован-
ной в результате первой коммутации.
Решение
Первая коммутация Расчет докоммутаци-
онной цепи (рис. 1.65). Сле-
дует помнить, что индуктивность в цепях с источниками постоянных воздействий i3(0–) представляет собой короткозамкнутый участок.
1. Запишем правила коммутации:
R3 |
i2(0–) |
R4 |
|
|
|
E |
R2 |
R5 |
|
|
|
|
Рис. 1.65 |
|
iL (0 ) iL (0 ) i2 (0 ) , iL (0 ) i3 R2 R4 R4 R5 R5 ,
81
|
|
|
|
|
i (0 ) |
|
|
E |
|
|
|
, |
||
|
|
|
|
|
R |
R2 |
R4 R5 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
R4 R5 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
i3 (0 |
|
|
|
|
400 |
400 100 |
|
|
100 222 0,621 А, |
|||||
|
) 200 |
100 |
|
|
|
|
|
|
200 |
|||||
|
400 |
400 100 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
iL (0 ) 0,621 |
|
400 100 |
0,345 А. |
||||||||
|
|
|
400 400 100 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расчет послекоммутационной цепи 2. Определение корней характеристического уравнения
2.1. Составим характеристическое уравнение по методу входного сопротивления (рис. 1.66):
Z p pL R2 R1 R3 R4 R5 0 , R1 R3 R4 R5
p1 L R2 R1 R3 R4 R5
R1 R3 R4 R5
1 0,2 400 100 100 400 100 2714,3 с 1,
100 100 400 100
p 2714с 1 , |
|
|
|
1 |
p 0,386 10 3 |
c 0,386 мс. |
|
1 |
|
|
|
R3 |
|
|
2.2. Проверим правильность по- |
|
R4 |
лученных результатов методом, осно- |
|
|
pL |
ванным на определении постоянной |
|
|
|
R5 |
времени цепи. |
R |
R |
Для индуктивной цепи первого |
|
|
|
|
порядка = L/RЭ, где RЭ – эквивалент- |
Рис. 1.66 |
|
ное сопротивление пассивной цепи, |
|
|
полученной из рассматриваемой пу- |
||
|
|
|
|
тем удаления источников относительно зажимов реактивного |
|||
элемента (в нашем случае индуктивности). Правило удаления ис- |
82
точников: ветви с источниками тока обрываются, источники напря- |
|||||||||
жения замыкаются накоротко. |
|
|
|
||||||
В |
нашем |
случае |
пассивная |
R3 |
|
|
|||
цепь имеет вид (рис. 1.67): |
|
|
R4 |
||||||
R R R1 R3 R4 R5 |
|
|
|
||||||
|
|
R2 |
|
||||||
Э |
2 |
R R |
R |
R |
|
|
R5 |
||
|
|
1 |
3 |
4 |
5 |
|
R1 |
|
|
|
|
200 500 |
|
|
|
|
|
||
400 |
542,857 Ом, |
|
|
|
|||||
|
|
200 500 |
|
|
|
|
Рис. 1.67 |
|
|
= L/RЭ = 0,2/542,857 = 0,368 мc. |
|
|
|||||||
|
|
|
Следовательно, p = –1/ = –1/0,368 = 2714,286 c–1.
3.Запишем полное решение в виде суммы принужденной
исвободной составляющей:
i4 t i4пр i4св i4пр A1e 2714t .
4. |
Расчет |
принужден- |
|
|
|
|
|
|
|||||||
ной составляющей. |
|
|
|
|
|
|
R3 |
|
i3пр |
R4 |
i4пр |
||||
Цепь в |
принужденном |
E |
|
|
|||||||||||
режиме будет иметь вид, |
|
R2 |
R5 |
|
|||||||||||
представленный нарис. 1.68. |
R1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
i4пр i3пр |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
R2 R4 |
R5 |
|
|
|
|
Рис. 1.68 |
|
|
|||||||
i3пр |
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
R |
|
|
R2 (R4 R5 ) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
3 |
|
R |
R |
R |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
i3пр |
|
|
|
|
100 |
400 400 100 |
200 / 422 0,474 А, |
||||||||
200 / 100 |
400 |
400 100 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
i |
0,474 400 |
|
400 400 100 |
0,211 А, |
|
|
|||||||||
4пр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i4пр |
0,211 А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
83
5. Расчет свободной составляющей.
Схема замещения в момент времени 0– представлена на рис. 1.69, а, где JL1 = iL(0–) = 0,345 A.
Определим ток i4(0+) методом наложения. Согласно схеме
(рис. 4.69, б)
iE (0 ) |
|
|
Е |
200 / 100 100 400 100 |
|
R1 |
R3 |
R4 R5 |
|||
4 |
|
||||
|
|
|
|
200 / 700 0,286 A.
R3 |
JL1 |
R4 |
|
||
E |
|
i4(0+) |
R1 |
|
|
|
R2 |
|
|
R5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
R3
E
R1
б |
а
R4 |
iE (0 ) |
4 |
R5 |
R3 |
JL1 |
|
|
R1 |
R2 |
|
в
Рис. 1.69
R4
i4J (0 )
R5
По схеме (рис. 11.69, в)
iJ (0 |
) J |
|
|
R1 R3 |
|
. |
|
L1 R |
|
R |
|||||
4 |
|
R R |
4 |
|
|||
|
|
1 |
3 |
5 |
|
|
|
|
JL1 |
0,345 А, |
|
||
iJ (0 |
) 0,345 |
|
|
|
100 100 |
0,0986 А . |
|
100 |
100 400 100 |
||||||
4 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Полный ток
i4 i4E i4J 0,286 0,0986 0,1874 А.
84
Таким образом,
i4 (0 ) 0,1874 А .
Определим постоянную интегрирования:
i4(0+) = 0,211+ A1 = 0,1874; A1 = – 0,0236.
Таким образом,
i4(t) = 0,211 – 0,0236e–2714t
на промежутке t = (0+, tk2), гдеt = 0+ – моментпервойкоммутации.
Вторая коммутация
Для расчета переходных процессов в цепи после второй коммутации введем дополнительную переменную t1 = t – 2 1.
Расчет докоммутационной цепи
1. Определим независимые начальные условия для второй коммутации(рис. 1.70): R3
iL (t 0 ) iL (t 0 ) iL (2 1 ) . |
E |
|
Определим закон измене- |
|
R1 |
ния iL(t) после первой комму- |
|
|
|
|
|
тации (см. расчет первой ком- |
|
|
|
|
|
|
|
|
мутации): |
|
|
L |
R4 |
R2 |
R5 |
|
Рис. 1.70
iL t iLпр iLсв ,
iLпр i3пр |
|
R4 R5 |
|
, |
||
R R R |
||||||
|
2 |
4 |
5 |
|
||
|
i3пр 0,474 А, |
|
|
|||
iLпр 0,474 |
400 100 |
0,263 А. |
||||
400 400 100 |
||||||
|
|
|
85
С помощью правил коммутации определим постоянную интегрирования:
iL (0 ) 0,263 Α2 iL (0 ) 0,345 А, 0,263 + A2 = 0,345, A2 = 0,082.
Следовательно,
iL (t) 0,263 0,082e 2714t .
Для второй коммутации
iL (0 ) iL (2τ1 ) 0,263 0,082e 2714 0,368 2 10 3 0,293 А iL (0 ) .
Расчет послекоммутационной цепи
2. Определение корней характеристического уравнения
Составим характеристическое уравнение методом входного сопротивления (рис. 1.71):
|
|
Z p pL R R4 R1 R3 |
0 , |
|||||||||
R3 |
|
|
|
2 |
|
|
R4 |
R1 R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
R4 |
R1 R3 |
|
|
|||
|
pL |
|
|
|
|
|
||||||
|
p 1/ L R2 |
R |
R R |
|
|
|||||||
|
|
R4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
3 |
|
|
||
R1 |
R2 |
1/ 0,2 |
|
400 |
400 |
100 100 |
|
|
||||
|
|
|
400 |
100 100 |
|
|||||||
|
Рис. 1.71 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2667 с-1 , |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1/ p 0,375 10 3 мс.
3.Запишем полное решение:
i4 (t1 ) i4пр А2е-2667t1 .
4. Расчет принужденной составляющей (рис. 1.72):
i4пр i3пр |
|
R2 |
, i3пр |
Е |
|
, |
R R |
R3 R1 |
R2 R4 |
||||
2 |
4 |
|
|
|
||
|
|
R2 R4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
86
|
|
|
400 400 |
|
|
||
i3пр 200 / 100 |
100 |
|
|
|
200 / 400 0,5А, |
||
400 400 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
i4пр 0,5 |
|
400 |
|
0,25 А, i4пр 0,25 А. |
|||
400 400 |
|||||||
|
|
|
|
5. Расчет свободной составляющей. Схема замещения в момент t1 = 0+ для второй коммутации имеет вид (рис. 1.73), на которой величина задающего тока источника тока
JL2 iL (tk 2 ) iL (2 1 ) 0,293А.
R3 |
R3 |
JL2 |
E |
E |
R4 |
R4 |
R2 |
|
|
R2 |
|
|
R1 |
R1 |
|
Рис. 1.72 |
Рис. 1.73 |
Определим ток i4(0+) методом наложения (рис. 1.74).
|
R3 |
R3 |
JL2 |
|
R4 |
|
|
E |
|
R4 |
|
|
|
|
|
|
R1 |
R1 |
R2 |
|
|
||
|
а |
Рис. 1.74 |
б |
|
|
||
|
|
|
Составляющая от действия источника ЭДС (см. рис. 1.74, а):
iE (0 |
) |
|
E |
200 / 100 100 400 0,333 A . |
|
R1 |
R3 R4 |
||||
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
Составляющая от действия источника тока (см. рис. 1.74, б):
87
iJ (0 ) J |
L2 |
|
|
R1 R3 |
|
0,293 |
100 100 |
0,0977 A. |
||
R |
|
|
100 100 400 |
|||||||
4 |
R |
R |
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
Полный ток |
) |
i4 |
i |
4 0,333 |
0,0977 0,2353 А. |
|||||
i4 |
(0 |
|
||||||||
|
|
|
|
E |
|
J |
|
|
|
|
Определим постоянную интегрирования: i4(0+) = 0,25 + A3 = 0,2353; A3 = – 0,0147.
Таким образом,
i4 (t ) 0,25 0,0147e 2667t
для промежутка времени t 2 1; .
Итак, закон изменения тока после срабатывания первого коммутатора:
i4(t)1 = 0,211 – 0,0236e–2714t
после срабатывания второго коммутатора:
i4(t1)2 = 0,25 – 0,0147e–2667t , где t1 = t – 2 1.
На рис. 1.75 изображен график изменения i4(t) в переходных режимах после срабатывания первого и второго коммутаторов.
i4(t), А
0,2353
0,2
0,1
t1(0+)
0,1 |
0,5 |
1 |
1,5 |
t, мс |
Рис. 1.75
88
2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
Классический метод расчета обладает несомненными достоинствами, обусловленными физической наглядностью связей между величинами, которые выражаются дифференциальными уравнениями Кирхгофа, и сравнительной простотой их совместного решения. Часто, однако, задачи при решении классическим методом приводят к громоздким выкладкам, связанным главным образом с отысканием постоянных интегрирования, причем эта процедура усложняется с ростом порядка цепи.
Отмеченные недостатки отсутствуют при применении операторного метода, в соответствии с которым уравнения переходного процесса в линейных цепях, представляющие собой линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, можно интегрировать в области операторных изображений.
Идея операторного метода заключается в замене вещественной переменной t комплексной переменной p j , осущест-
вляемой в соответствии с функциональным преобразованием Лапласа. При этом каждой временной функции f (t) , называемой
оригиналом (прообразом), ставится в соответствие функция F( p) , именуемая изображением (образом). Эта операция запи-
сывается так: f(t) = F(p). В результате такой замены система дифференциальных уравнений для оригиналов преобразуется в систему алгебраических уравнений для их изображений. В результате решения этой системы определяют изображение X ( p)
искомой величины, а на заключительном этапе переходят к физически понятной функции – оригиналу x(t) .
Подобный прием применялся при анализе стационарного решения цепей символическим методом. Однако в то время как символический метод можно применять лишь к гармоническим функциям, операторный метод обладает значительно большей общностью и применим к широкому классу функций.
89
2.1.Преобразование Лапласа
2.1.1.Условия существования, ограничения
Известно, что функция (2.1), называемая интегралом Лапласа, которая ставит в соответствие оригиналу f(t) операторное изображение F(p), т.е. f(t) = F(p), имеет вид
|
|
F p f t e pt dt. |
(2.1) |
0 |
|
Поскольку это несобственный интеграл, то надо оговорить условия его сходимости:
функция f(t) должна отвечать условиям Дирихле;
функция f(t) ограничена, т.е. при t она конечна или если и растет по модулю, то не быстрее некоторой экспоненциальной
функции Ae t , где A и – положительныечисла, т.е. |
|
f (t) |
|
Ae t . |
|
|
В этом случае интеграл Лапласа сходится, т.е. имеет конечное значение при условии, что Re( p) .
Итак, всегда можно выбрать достаточно большое Re( p) ,
не уточняя, какое именно, так, что F(p) в полуплоскости является однозначной функцией, т.е. интеграл Лапласа существует в области .
Основным достоинством преобразования Лапласа является его простая связь с частотным спектром функции f(t), широко используемом в теории и современной технике. В преобразовании Лапласа обычно подразумевают, что интервал интегрирования начинается с момента возмущения t = 0+, так что оно не отражает особенностей функции в точке t = 0.
Преобразование Лапласа может учитывать изменение физической величины в точке t = 0, если его представить в форме
|
|
F p L f t f (t)e pt dt . |
(2.2) |
0 |
|
90