книги / Теория линейных электрических цепей. Переходные процессы
.pdfy t |
1 |
|
|
F j W j d e |
j t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
(5.11) |
|
|
|
F j W j e j t d . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
Таким образом, (5.11) позволяет установить связь между комплексными спектрами входного и выходного сигналов:
Y j W j X j , |
(5.12) |
которая не только определяет спектр выходного сигнала (реакции), если известны передаточная функция цепи и спектр входного сигнала (воздействия), но и лежит в основе спектрального метода расчета переходных процессов.
Алгоритм расчета спектральным методом состоит из следующих этапов:
1.Для заданного входного сигнала f(t) с помощью (5.1) определяется спектр F(jω).
2.С помощью символического метода определяется передаточная функция W(jω).
3.Определяется спектр выходного сигнала с помощью (5.12) по известным F(jω) и W(jω).
4.Определяется выходной сигнал y(t) с помощью обратного преобразования Фурье (5.11).
Сам по себе этот путь расчета не дает каких-либо существенных преимуществ по сравнению с изложенным выше операторным методом. Существенное преимущество частотного метода обнаруживается при нахождениитока i(t) по заданному напряжению u(t),
когда имеем практически осуществленную сложную линейную электрическую цепь или вообще какое-либо сложное устройство с линейными электрическими элементами и есть возможность снять экспериментально зависимость входного комплексного сопротивления илипередаточнойфункциицепиот частоты.
171
Необходимо отметить, что указанные приемы расчета пере- |
||||||||||||||
ходных процессов возможны при нулевых начальных условиях. |
||||||||||||||
При ненулевых начальных условиях можно воспользоваться ме- |
||||||||||||||
тодом наложения, рассчитав процесс при нулевых начальных ус- |
||||||||||||||
ловиях и наложив на него процессы, которые получаются только |
||||||||||||||
от действия одних начальных напряжений на конденсаторах и |
||||||||||||||
индуктивных токов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В зависимости от типа реакции и воздействия передаточная |
||||||||||||||
функция может иметь различные вид и размерность. Ее удобно |
||||||||||||||
обозначать двумя индексами первый отражает входной сигнал, |
||||||||||||||
второй – выходной сигнал. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Остановимся подробнее на определении передаточных функ- |
||||||||||||||
ций спомощью символического метода. |
|
|
|
R |
||||||||||
Для последовательной RL-цепи (рис. 5.7) |
|
|||||||||||||
справедливо следующее: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uвх |
L |
|
|
IL |
|
|
Uвх |
|
, |
|
|
|
|
|
|
||
|
R j L |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.7 |
|
W |
IL j |
|
|
1 |
|
, |
W |
UL |
j |
R |
j L. |
|||
Uвх |
j |
R |
j L |
Iвх |
j |
|||||||||
ui |
|
|
iu |
|
|
|||||||||
Для параллельной RL-цепи (рис. 5.8) передаточные функции: |
W |
|
1 |
|
1 |
, |
W |
|
Rj L |
. |
|
|
|
|||||||
ui |
R |
|
j L |
iu |
R j L |
||||
|
|
|
|
|
Таким же образом можно получить безразмерные передаточные функции Wuu , Wii , например, для RC-цепи (рис. 5.9):
UC |
U |
вх |
|
R |
|
1 |
|
|
|
j C |
|
|
|
|
|
1 |
|
Uвх |
|
1 |
, W |
|
UC j |
|
1 |
. |
|
Rj C 1 |
|
|
|
|||||||
|
j C |
|
j C |
uu |
|
Uвх |
1 j RC |
||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
j C |
|
|
|
|
|
|
|
|
172
R |
R |
L |
C |
|
|
Рис. 5.8 |
Рис. 5.9 |
Рассмотрим примеры расчета переходных процессов спектральным методом.
5.4.Связь преобразования Фурье
спреобразованием Лапласа
Взадачах о переходных процессах в электрических цепях часто приходится иметь дело с функцией времени, тождественно равной нулю при отрицательных значениях аргумента:
f |
(t) приt 0, |
(5.13) |
0 |
приt 0. |
|
Ее изображением по |
Лапласу называют функцию |
F( p) |
комплексного переменного |
p j , образованную при помо- |
|
щи прямого преобразования Лапласа: |
|
|
|
|
|
F p f (t)e pt dt . |
(5.14) |
|
|
0 |
|
Преобразование Лапласа носит формальный характер, и его трудно наделить физическими свойствами. Оно позволяет получить для заданной функции времени f (t) однозначно ей соответствую-
щее операторное изображение F( p) , если f (t) имеет экспоненци-
альный порядок роста, т.е. возрастает со временем не быстрее экспоненты. В этом случае подынтегральное выражение (5.14) убывает со временем и интеграл приобретает конечное значение, если выбрать достаточно большой вещественнуючасть параметраp.
173
Прямое преобразование Фурье (5.1), применяемое к сигналам типа (5.13), принимает вид одностороннегопреобразованияФурье:
|
|
F j f (t)e j t dt . |
(5.15) |
0 |
|
Оно, как и прямое преобразование Фурье, существует в обычном смысле, т.е. комплексный спектр принимает конечное значение, только если функция f (t) абсолютно интегрируема.
Очевидно, что преобразование Лапласа (5.14) и одностороннее преобразование Фурье (5.15) по структуре и написанию тождественны, если заменить в них одно постоянное число другим: p на j либо обратно. Поэтому, пользуясь обратным преобразо-
ванием Фурье в обобщенной форме, можно записать обратное преобразование Лапласа, дающее возможность вычислить оригинал f (t) по его операторному изображению F( p) :
|
1 |
σ jω |
F( p) . |
|
|
f (t) |
F( p)e pt dp L 1 |
(5.16) |
|||
|
|||||
|
2 j σ jω |
|
|
Преобразование Лапласа является более общим, так как p рассматривается как комплексная величина.
Таким образом, преобразование Лапласа и преобразование Фурье различаются ограничениями, накладываемыми на функцию f (t) . В преобразовании Лапласа функция f (t) должна быть
с ограничным ростом, а в преобразовании Фурье – абсолютна интегрируема. Однако встречаются сигналы, не удовлетворяющие условию абсолютной интегрируемости, но имеющие порядок роста, т.е. такие, для которых F( p) существует, а F( j ) не
выражается обычными функциями. В этом случае возникает различие в момент времени t 0 , появляется импульсная составляющая, которую необходимо учитывать при расчете.
174
5.5. Задачи и вопросы |
|
|
|
Типовые задачи |
|
|
|
Задача 1. |
R1 |
|
|
|
|
|
|
Дано: электрическаяцепь(рис. 5.10). |
L |
R2 |
iR2 |
Найти: передаточныефункциицепи. |
|||
Решение. |
|
|
|
Передаточная проводимость (Сим): |
Рис. 5.10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
вх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IR |
|
|
|
|
R |
R2 |
j L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R j L |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R j L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
W |
|
|
|
|
1 |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
uiR2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
R |
j L |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
U |
вх |
|
|
|
|
|
|
|
U |
вх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Передаточное сопротивление (Ом): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
W I |
|
R2 j L |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
R2 j L |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
iu |
|
|
|
|
|
1 R j L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R j L |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Передаточная функция по току: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j L |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j L |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
W |
I |
|
|
|
R |
|
j L |
|
|
|
I |
|
|
|
R |
|
j L |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
ii |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Передаточная функция по напряжению: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Wuu |
|
Uвх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j L |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j L |
|
|
|
. |
||||||||
R1 |
j LR2 |
|
|
j L R2 |
Uвх |
( j L R2 )(R1 |
|
j LR2 |
) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
j L R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j L R2 |
|
Задача 2.
Дано: RC-цепь (рис. 5.11, а), на вход которой поступил экспоненциальный сигнал (см. рис. 5.12, б).
175
R1 R2
E |
i1 |
i2 |
|
|
а |
E Ee t
t
Рис. 5.11
Найти: закон изменения тока i2(t).
Решение.
Определим передаточные функции. Передаточная проводимость
|
|
|
|
I2 |
|
|
|
E |
|
|
|
|
j |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
W |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
, |
||||||
|
E |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
E |
||||||||||
ui |
|
вх |
|
|
|
|
|
|
R2 |
j |
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 j |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
передаточные функции по току и напряжению определяются как:
|
|
|
|
|
|
j |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
I1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
R |
2 |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 j |
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
||||||||||||||||
W |
|
I2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
W |
|
Uвых |
|
|
|
, |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||
ii |
|
I1 |
|
|
|
|
I1 |
|
|
|
|
|
|
|
uu |
|
Uвх |
|
R2 |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
передаточное сопротивление: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
Wiu Z вх |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
R j |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
R |
R |
j |
|
|
R1R2 j |
|
R1 R2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
176
R1R2 C jj R1 R2
j R1R2 C j R1 |
R2 |
|
|
R1 |
R2 j R1R2 |
C |
. |
||
R1R2 C 2 R1 R2 2 |
R1R2 C 2 |
R1 R2 2 |
|||||||
|
|
Спектр I2 j Wui E j .
Входное напряжение изменяется по экспоненциальному закону, соответствующее ему изображение по Лапласу имеет вид
E p |
|
E |
, |
|
||
|
p |
|
||||
|
|
|
|
|
||
заменив в этом выражении p на |
j , |
получим спектр входного |
||||
напряжения: |
E |
|
|
|||
E j |
. |
|||||
j |
||||||
|
|
|
Воспользуемся обратным преобразованием Фурье (5.11):
i2 t |
1 |
E |
|
R1 R2 j R1R2 C |
e j t d . |
||||
|
|
|
|
||||||
2 |
j |
|
|||||||
|
|
R R C 2 |
R R 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
Вопросы и упражнения для самоконтроля
1.Одинаковы ли классы функций, для которых могут быть выполнены прямые преобразования Лапласа и Фурье?
2.В чем заключается родственность преобразований Фурье
иЛапласа?
3.Могут ли принимать отрицательные значения амплитуд- но-частотная и фазочастотная характеристики?
4.Для некоторой функции f (t) известно ее изображение по
Лапласу F( p) . Какзаписатьспектральнуюплотностьэтойфункции?
5. Можно ли рассчитать частотным методом переходные процессы, происходящие в электрических цепях с ненулевыми начальными условиями?
177
6. Определить частотный спектр сигналов, представленных на рис. 5.12.
|
f |
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
f |
|
F e (t t1 ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
F0 |
|
|
|
|
F0 |
F e t |
|
|
|
F0 |
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
а |
|
|
|
|
б |
t |
|
|
|
t1 |
в |
t2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Определить спектральную плотность выходного напряже-
ния (рис. 5.13).
|
R |
|
|
R |
uвх |
|
|
|
|
|
|
|
U0 |
|
|
uвх |
С |
uвых |
uвх |
L |
uвых |
|
|
|
а |
|
|
б |
в |
t |
t |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Рис. 5.13 |
|
|
|
8. Определить спектральную плотность выходного напряже-
ния (рис. 5.14).
|
С |
|
|
L |
uвх |
|
|
|
uвх |
|
|
|
|
U0 |
|
|
|
R |
uвых |
uвх |
R |
uвых |
|
|
|
|
|
а |
|
|
б |
в |
t |
2t |
t |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Рис. 5.14 |
|
|
|
|
178
9. На вход электрической цепи (рис. 5.15) в момент времени t 0 подается постоянное напряжение uвх E . Найти частотный
спектр напряжения uвых .
R1 |
С |
|
R1 |
|
uвх |
|
R2 uвы uвх |
R2 |
uвых |
|
С |
|||
|
|
|
|
|
|
а |
Рис. 5.15 |
б |
|
|
|
|
|
ОТВЕТЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ
К главе «Классический метод расчета переходных процессов»
3. Верно: б, и, л, о.
10.г, е.
11.а) 2, б) 2.
13. а) iL RC1 iL L1C iL 0 , для определения значений в момент времени t 0 рекомендуется воспользоваться схемами замещения:
|
iR |
iL |
iC |
uR |
uL |
uC |
0+ |
E/R |
0 |
E/R |
E |
E |
0 |
∞ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
E |
|
|
R |
|
1 |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
г) uC |
|
uC |
|
|
uC J |
|
|
, |
|
|
|
||
L |
LC |
LC |
|
|
|
|
|||||||
|
|
iR |
|
|
iL |
|
|
iC |
uR |
uL |
uC |
||
0+ |
|
J |
|
0 |
|
|
0 |
JR |
JR |
0 |
|||
∞ |
|
J |
|
0 |
|
|
0 |
JR |
0 |
JR |
179
14. |
а) A |
|
|
|
E |
|
|
2 , б) |
A 1. |
|
|
|
|
|
R |
R |
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. |
uL (t) e 10t , B . |
|
|
|
|
|
|||||||
16. |
а) |
(R R )C 10 мс, б) |
L(R1 R3 ) |
|
2L |
0,4 с . |
|||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
R1R3 |
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
18. |
Новый стационарный режим устанавливается сразу, если |
||||||||||||
постоянная интегрирования равна нулю. |
|
|
|
||||||||||
20. |
W С |
U 2 |
, откуда определяется величина С, далее сле- |
||||||||||
|
0 |
||||||||||||
|
эл |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дует расчет по стандартной методике.
21.Рекомендуется для получения характеристического уравнения воспользоваться методом входного сопротивления.
22.Для определения характера переходного процесса в цепи необходимо получить характеристическое уравнение и оценить значение дискриминанта этого уравнения.
23.uC (0 ) uC (0 ) 3ER R 100 B , iL (0 ) iL (0 ) 3ER 1 A .
Резистивная схема замещения в момент времени t 0 представлена ниже.
|
R |
E |
i2(0+) |
|
uC(0+)iL(0+)
R |
|
R |
|
|
|
|
i2 |
(0 |
|
) |
uC |
(0 ) |
|
|
|
R |
i2 (0 ) E uC (0 ) iL (0 ) 1 A ,
R
uC (0 ) iC (C0 ) i2 (C0 ) 104 Bc ,
180