книги / Теория линейных электрических цепей. Переходные процессы
.pdfг) реакция цепи на единичный скачок напряжения; д) отношение изображения реакции цепи к изображению
входного воздействия.
11. Определить входную переходную проводимость hiu (t) для электрической цепи (рис. 4.16).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uвых |
|
|
uвых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
C |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
iвх |
|
|
|
|
|
iвх |
R |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
u |
R |
R |
u |
|
R |
||
|
|
|
а |
б |
Рис. 4.16
12. Определить переходную функцию по напряжению huu (t) для электрической цепи (рис. 4.17).
|
R |
|
|
|
R |
|
uвх |
|
R |
uвых |
uвх |
R |
uвых |
|
|
|
||||
|
|
L |
|
|
C |
|
|
а |
|
Рис. 4.17 |
б |
|
|
|
|
|
|
|
13. Определить переходную функцию по току hii (t) для
электрической цепи (рис. 4.18).
14. На вход электрической цепи с параметрами R = 10 кОм и C = 100 мкФ (рис. 4.19, а) воздействует напряжение u(t) , график
которого представлен на рис. 4.19, б. Определить ток i(t) , который будет протекать в контуре: а) через 180 мс; б) через 300 мс.
151
R |
iвых |
|
R |
iвы |
|
|
R |
|
R |
|
R |
|
|
R |
|
|
L |
|
C |
а |
|
Рис. 4.18 |
б |
|
|
|
|
|
|
R |
i(t) |
u |
|
|
|
|
|
||
u(t) |
C |
100 |
|
|
50 |
|
|
||
|
а |
|
50 100 |
200 t |
|
|
Рис. 4.19 |
|
б |
15. На входе электрической цепи с параметрами R1 = 20 Ом, R2 = 2 кОм и L = 0,1 Гн (рис. 4.20, а) задан ток i(t) , график кото-
рого представлен на рис. 4.20, б. Определить выходное напряжение u2 (t) .
|
i1(t) |
R1 |
|
u |
0,1e-50t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u1(t) |
|
R2 |
L |
u2(t) 0, |
|
|
|
|
|
а |
|
|
2 |
4 5 |
t |
|
|
|
|
Рис. 4.20 |
|
б |
|
16. На входе цепей (рис. 4.21) действует напряжение указанного нарис. 4.22 вида. Требуется записатьвыражениедля тока i1 (t) .
152
i1(t) |
R1 |
u1(t) |
R3 |
R2 |
|
|
L |
|
i1(t) |
R1 |
|
u2(t) |
u1(t) |
R2 |
R3 u2(t) |
|
|
|
С |
|
|
|
|
а |
|
Рис. 4.21 |
|
|
|
|
|
|
|
б |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u1 |
U0e-at |
|
|
|
|
|
u1 |
U0(1 - e-at) |
|
|
|
|
|
|
|
u1 |
||||||
U0 |
|
|
|
|
|
U0 |
|
|
|
|
|
|
|
U0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u1 |
|
|
а |
u1 |
|
|
б |
|
|
|
|
t |
|
в t |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
U1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
U0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
U0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
t1 |
t |
|
t1 |
t2 |
|
||||||||||||||||
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.5. Расчетно-графическая работа № 7
Расчет переходного процесса при помощи интеграла Дюамеля
Задание
Рассчитать переходный процесс в цепи первого порядка при подключении кисточнику напряжения (тока) произвольнойформы.
1. На откидном листе изобразить электрическую цепь, подлежащую расчету, и вид сигнала входного напряжения, привести численные значения параметров цепи.
153
2.Получить переходную и импульсную характеристику цепи при заданных входных и выходных сигналах классическим и операторным методами.
3.Рассчитать указанный в задании ток или напряжение
спомощью интеграла Дюамеля.
4.Построить график изменения во времени найденной величины.
Выбор варианта и расчет параметров элементов цепи
Схема цепи и форма входного сигнала выбираются в соответствии с номером варианта задания (рис. 4.23, 4.24). Вид источника задан в соответствии с четностью номера варианта: для четных номеров– источник задающего напряжения (А = 100 В), для нечетных – источник задающего тока (А= 0,1 А). Параметры цепи, искомая реакциявыбираютсяв соответствии с вариантом втабл. 4.1.
а) |
R1 |
|
|
б) |
|
iR1 |
R2 |
iR3 |
R3 |
|
|
iR2 |
||
|
|
C |
||
|
|
|
|
|
в) |
R1 |
|
г) |
|
|
|
iC |
|
|
|
iR1 |
R2 |
|
|
|
|
iR2 |
C |
|
|
iR1 |
R1 |
|
|
д) |
|
|
|
е) |
|
|
|
|
|
|
|
iC |
C |
R2 |
|
|
|
iR2 |
|
|
|
|
|
Рис. 4.23 |
R1
iR1 |
|
iR3 |
R3 |
R2 |
iR2 |
L |
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
iR1 |
|
iL |
|
R2 |
iR2 |
L |
|
iR1 |
R1 |
|
|
iL |
L |
iR2 |
R2 |
|
|
|
154
ж)
1)
А
3)
А
5)
А
-А/4
R2
R1 iR2 iR1
2
1
2
|
з) |
R2 |
|
|
|
|
iR3 |
R1 iR2 |
L |
R3 |
|
|
|
iR1 |
Рис. 4.23 (окончание) |
|
2)
А
4 мс |
4) |
2 |
|
|
|
|
А |
|
3 |
4 мс |
2 |
|
|
6) |
|
|
А |
3 4
мс 2
Рис. 4.24 (см. также с. 156–158)
iR3 C R3
4 мс
4 мс
4 мс
155
7) |
|
|
|
8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А/2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 мс |
1 |
|
|
3 |
мс |
–А/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9) |
|
|
|
10) |
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
А/2 |
|
|
|
А/2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
мс |
|
|
|
3 |
4 мс |
|
|
|
|
||||||
11) |
2 |
1 |
2 |
||||||
|
|
|
12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
А/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
мс |
2 |
3 |
|
5 |
|
-А/2 |
|
|
|
-А/2 |
|
|
|
|
мс |
13) |
|
|
|
14) |
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
5 мс |
|
5 |
мс |
|
|
4 |
|||||
-А/2 |
|
|
-А/2 |
|
|
Рис. 4.24 (продолжение)
156
15) |
|
|
|
|
|
16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
А/2 |
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
А/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
4 мс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
–А/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 мс |
|||||||
17) |
|
|
|
|
|
18) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
А |
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
А/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5 мс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
19) |
|
|
|
|
|
4 |
|
5 |
|
мс |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
–А/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
20) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2А |
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
А |
|
|
|
|
А/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
4 |
|
мс |
4 |
5 |
|
мс |
|||||||||||||
|
|
22) |
|
|
|
|
||||||||||||||
21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
А |
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
6 мс |
2 |
4 мс |
Рис. 4.24 (продолжение)
157
23) |
24) |
|
|
||
А |
||
А |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
||
|
|
2 |
6 |
мс |
–А/2 |
2 |
|
4 |
м |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Рис. 4.24 (окончание) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4.1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант |
Схема цепи |
R |
L |
|
|
C |
Формаимпульса, |
Искомая реакция |
|||||||
(см. рис. 4.23) |
(Ом) |
(Гн) |
(мкФ) |
(см. рис. 4.24) |
в соответствии |
|
|||||||||
|
|
с вариантом |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
1,26,51 |
а |
200 |
|
0,1 |
|
|
– |
i1 |
i2 |
|
i3 |
|
|||
2,27,52 |
б |
100 |
|
0,15 |
|
|
– |
2 |
i1 |
i2 |
|
uL |
|
||
3,28,53 |
в |
200 |
|
– |
10 |
3 |
i1 |
i2 |
|
uC |
|
||||
4,29,54 |
г |
220 |
|
– |
3 |
4 |
i1 |
i2 |
|
iL |
|
||||
5,30,55 |
д |
200 |
|
0,1 |
|
|
– |
5 |
i1 |
i2 |
|
iC |
|
||
6,31,56 |
е |
100 |
|
0,15 |
|
|
– |
6 |
i1 |
i2 |
|
uL |
|
||
7,32,57 |
ж |
200 |
|
– |
10 |
7 |
i1 |
i2 |
|
i3 |
|
||||
8,33,58 |
з |
220 |
|
– |
3 |
8 |
i1 |
i2 |
|
i3 |
|
||||
9,34,59 |
а |
200 |
|
0,1 |
|
|
– |
9 |
uR1 |
uR2 |
|
uR3 |
|
||
10,35,60 |
б |
100 |
|
0,15 |
|
|
– |
10 |
uR1 |
uR2 |
|
uR3 |
|
||
11,36,61 |
в |
200 |
|
– |
10 |
11 |
iC |
uR1 |
|
uR2 |
|
||||
12,37,62 |
г |
220 |
|
– |
3 |
12 |
uL |
uR1 |
|
uR2 |
|
||||
13,38,63 |
д |
200 |
|
0,1 |
|
|
– |
13 |
uC |
uR1 |
|
uR2 |
|
||
14,39,64 |
е |
100 |
|
0,15 |
|
|
– |
14 |
iL |
uR1 |
|
uR2 |
|
||
15,40,65 |
ж |
200 |
|
– |
10 |
15 |
uR1 |
uR2 |
|
uR3 |
|
||||
16,41,66 |
з |
220 |
|
– |
3 |
16 |
uR1 |
uR2 |
|
uR3 |
|
||||
17,42,67 |
а |
200 |
|
0,1 |
|
|
– |
17 |
i1 |
i2 |
|
i3 |
|
||
18,43,68 |
б |
100 |
|
0,15 |
|
|
– |
18 |
uR1 |
i1 |
|
i2 |
|
||
19,44,69 |
в |
200 |
|
– |
10 |
19 |
i2 |
i1 |
|
i3 |
|
||||
20,45,70 |
г |
220 |
|
|
3 |
20 |
i3 |
i2 |
|
uL |
|
||||
21,46,71 |
д |
200 |
|
0,1 |
|
|
– |
21 |
uC |
i1 |
|
i2 |
|
158
Окончание табл. 4.1
Вариант |
Схема цепи |
R |
L |
C |
Формаимпульса, |
Искомая реакция |
||
(см. рис. 4.23) |
(Ом) |
(Гн) |
(мкФ) |
(см. рис. 4.24) |
в соответствии |
|||
|
с вариантом |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
22,47,72 |
е |
100 |
0,15 |
– |
22 |
i1 |
uR1 |
uL |
23,48,73 |
ж |
200 |
– |
10 |
23 |
i2 |
i1 |
uR1 |
24,49,74 |
з |
220 |
– |
3 |
24 |
uC |
i1 |
i2 |
25,50,75 |
а |
200 |
0,1 |
– |
1 |
i3 |
uR1 |
uR3 |
Пример расчета
Определить ток iC в RC-цепи (рис. 4.25, а) и построить график его изменения во времени, полагая, что входное напряжение имеет форму, изображенную на рис. 4.25, б. Параметры схемы:
R = 200 Ом, C = 10 мкФ.
R |
|
u |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
C |
|
|
|
а |
1 |
4 |
t, мс |
Рис. 4.25 б
Аналитически входное напряжение может быть описано следующим образом:
|
U0 |
t |
для0 |
t t |
, |
||
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|||
t |
|
|
|
|
|
||
u t 1 |
|
дляt1 |
t t2 |
|
|||
U0 |
|
|
|||||
0 |
|
для |
t t |
. |
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
5 |
t |
для0 t 10 |
3 |
, |
|
|
|
10 |
|
|
|
|||||
или u t |
2 |
|
дляt1 t 4 10 |
3 |
, |
|||
10 |
|
|
|
|||||
|
|
|
для t 4 10 |
3 |
|
|||
0 |
|
|
|
. |
|
Определим ток через емкость при воздействии заданного сигнала с учетом особенностей изменения этого сигнала на разных интервалах времени.
159
Расчет переходной характеристики hui(t) сводится к определению тока через емкость при подключении к заданной цепи источника постоянного напряжения с величиной задающего воздействия в 1 В. Эта задача была решена выше, и переходная функция для данной цепи имеет следующий вид:
hui t R1 e RC1 t 5 10 3 e 500t .
Получим искомую функцию реакции с помощью второй формы интеграла Дюамеля.
На промежутке 0 t t1 , где t1 = 10–3 с, интеграл Дюамеля принимает следующий вид:
|
iC t u1 (0)hui (t) t |
u1 ( )hui (t )d . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Для рассматриваемой цепи в приведенной выше формуле |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
определяется как производная |
||||
u1 (0) 0 (см. рис. 4.25, б), а u ( ) |
||||||||||
линейной |
функции |
на |
|
участке |
от |
|
0 до 10-3 |
с |
||
u1 ( ) (105 t) 105 В с , |
h(t ) 5 10 3 e 500(t τ) , |
тогда после |
ин- |
|||||||
тегрирования имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iC t |
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
0 105 5 10 3 e 500(t τ)d 500e 500t e500τe 500t d |
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
t |
|
t0 |
e 500t e500t |
1 1 e 500t ; |
|
||||
e 500t e500τd e500τ |
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
(t |
10 3 ) 0,39 A . |
|
|
|
||||
|
C |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
На промежутке t t t |
2 |
, где t 10 3 с, t |
2 |
4 10 3 с, |
|
|||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
t1 |
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
iC t u1 (0)hui (t) u1 ( )hui (t )d u2 ( )hui (t )d . |
|
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
160