книги / Теория линейных электрических цепей. Переходные процессы
.pdfВ качестве количественной оценки -функции выступает площадь под кривой, имеющая конечное значение и определяющаяся в виде
|
|
t dt 1. |
(4.3) |
|
|
Единичное ступенчатое воздействие и -функция связаны |
|
между собой соотношением |
|
|
(4.4) |
1 t t . |
Реакцией системы на единичное ступенчатое возмущение является переходная характеристика h(t), а реакцией на -функцию –
импульснаяхарактеристика k(t) (рис. 4.3).
1(t) |
|
h(t) |
δ(t) |
|
k(t) |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
Рис. 4.3 |
б |
|
|
|
|
|
|
Переходная и импульсная характеристики также связаны между собой соотношением
|
(4.5) |
h t k t . |
Введем понятие обобщенных переходной и импульсной характеристики.
Функция h(t) определена на всем диапазоне изменения абсциссы t, однако переходная характеристика может появиться на выходе системы только после подачи на вход единичного ступенчатого возмущения, в то время как весь предыдущий промежуток времени она должна равняться нулю. Для удобства аналитических преобразований над исследуемыми функциями времени обобщенной характеристикой будем называть функцию
~ |
t h t 1 t . |
(4.6) |
h |
131
Тогдаобобщеннаяимпульснаяхарактеристикаопределяетсякак
~ |
~ |
|
h t 1 t h t t k t 1 t h 0 t . |
(4.7) |
k |
t h |
t |
||
|
|
|
|
|
Во втором слагаемом запишем h(0), так как (t) обладает фильтрующим действием(онанеравнанулю только в моментt = 0).
Определение переходных и импульсных характеристик осно-
вано на расчете переходных процессов, возникающих в цепи при подключении источников с единичными входными воздействиями. Следует отметить, что переходная и импульсная характеристики для одной и той же системы могут быть различны, а следовательно, иметь различную размерность в зависимости от выбора входного и выходного сигнала. Поэтому удобно сопровождать запись этих характеристик двойным индексом (первый указывает на выбранное входное воздействие, второй – на реакцию).
Если в качестве входного сигнала выбран ток, схемно подача на вход такой системы единичного ступенчатого возмущения реализуется в виде подключения источника тока с J = 1 А. Если входной сигнал – напряжение, расчет переходных и импульсных характеристик ведетсяприподключении источника ЭДСсE = 1 В(рис. 4.4).
иссл. |
|
|
|
|
|
иссл. |
|
|
|
|
|
||
цепь |
|
|
|
|
|
цепь |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.4
Пример. Рассмотрим определение всех возможных переходных и импульсных характеристик напримере RC-цепи(рис. 4.5).
Для любой цепи существуют четыре переходных и соответст-
вующих им импульсных характеристики: huu(kuu), hui(kui), hiu(kiu), hii(kii). Чтобы определить все эти функции, нужно решить четыре задачи
расчетапереходныхпроцессоввэлектрическихцепях(рис. 4.6).
132
Возможен расчет как клас- |
|
|
R |
|
|
|
|
||
сическим, так и операторным ме- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тодами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Покажем на примере схемы |
Вход |
|
C |
|
|
|
Выход |
||
|
|
||||||||
(см. рис. 4.6, а) определение пе- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
реходной и импульсной характе- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ристик huu, kuu, hui, kui. |
|
|
Рис. 4.5 |
|
|
|
|
а) |
R |
|
б) |
R |
|
|
|
|
|
|
|
||
E = 1 |
C |
uC |
E = 1 |
C |
|
iC |
|
uC(t) = huu |
|
|
iC(t) = hui |
|
|
в) |
R |
|
г) |
R |
|
|
|
|
|
|
|
||
J = 1 |
C |
uC |
J = 1 |
|
C |
iC |
uC |
|
|
|
|
||
|
uC(t) = hiu |
|
|
iC(t) = hii |
|
|
|
|
|
Рис. 4.6 |
|
|
|
1. Классический метод |
|
|
|
|
|
|
1) Запишем правило коммутации: |
|
|
|
uC (0 ) uC (0 ) 0 .
2) Составим характеристическое уравнение цепи методом входного сопротивления:
Z p pC1 R 0 .
133
Корень данного уравнения:
p RC1 . 3) Искомое полное решение:
1 t
uC t uCпр uCсв uCпр Ae RC .
4) Принужденная составляющая: uCпр E .
5) Постоянная интегрирования определяется с помощью правила коммутации:
uC (0 ) E A 0, A E .
Таким образом, в общем случае:
|
|
|
1 |
t |
|
E |
|
|
1 |
t |
|
|
RC |
|
RC |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
uC t E 1 |
e |
|
|
|
, iC CuC |
|
e |
|
|
|
. |
|
|
R |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переходные характеристики записываются при Е = 1 В и соответственно имеют вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
h |
|
|
t 1 e |
|
t |
, h |
|
t |
|
|
e |
|
|
t . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
RC |
RC |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
uu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ui |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Обобщенные характеристики: |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
RC |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
RC |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
t |
|
|
, hui t |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
t |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
huu t |
1 |
e |
|
|
|
1 t |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
1(t) . |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Импульсные обобщенные характеристики: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
~ |
|
|
|
|
1 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
t |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
kuu t |
|
e |
|
|
RC |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
RC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
RC |
|
1 t , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
1 t |
1 |
|
|
|
t |
RC |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
~ |
|
t |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
t |
1 t |
|
1 |
|
|
t . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
k |
ui |
|
|
|
|
|
e |
|
RC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
R2C |
|
R |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
134
2. Операторный метод
Для расчета переходных характеристик операторным методом необходимо определить передаточную функцию системы.
Передаточной функцией системы называют отношение опера-
торного изображения выходного сигнала к операторному изображению входного сигнала при нулевых начальныхусловиях:
|
W p |
Y p |
|
, |
|
(4.8) |
|
F p |
|
||||
|
|
|
|
|
||
где Y p = |
y t – выходной сигнал, |
F p = |
f t – входной |
сигнал.
Операторная функция зависит только от параметров цепи и ее конфигурации и не зависит от вида входных воздействий.
Получим связь передаточной функции и переходной характеристики. По определению передаточной функции и переходной характеристики
H p W p L 1(t) ,
где L 1(t) 1p – операторное изображение по Лапласу.
Таким образом,
h t L 1 W p .
p
(4.9)
(4.10)
Для нахождения оригинала h(t) возможно использование теоремы разложения. Для рассматриваемого примера передаточная функция имеет вид
W p UC ( p) . E( p)
Выразим UC(p) через Е(p) с помощью операторной схемы замещения (рис. 4.7):
135
|
R |
|
|
E(p) |
1 |
UC(p) |
|
pC |
|||
|
|
Рис. 4.7
I ( p) |
E( p) |
|
|
|
|
E( p) pC |
. |
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
RpC 1 |
|
||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pC |
|
|
|
|
|
|
||||||
UC ( p) I ( p) |
|
1 |
|
|
E( p) |
|
. |
||||||
|
pC |
RpC 1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, передаточная функция
W ( p) UEC((pp)) RpC1 1 .
Переходную характеристику определим с помощью теоремы разложения:
1 |
W ( p) |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
h t L |
|
|
p |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p RpC |
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
1 |
|
|
e |
|
|
1 |
t |
1 e |
|
1 |
|
t |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RC |
RC |
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
RC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
RC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Результаты решения различными методами совпали. Описанные алгоритмы применимы для расчета переходных и импульсных характеристик в любых цепяхрассматриваемого класса.
4.2. Формы записи интеграла Дюамеля
Рассмотрим на примерах способы представления входных сигналов (рис. 4.8, а, б) в виде суперпозиции ступенчатых (рис. 4.8, в) или импульсных функций (см. рис. 4.8, г).
На рис. 4.8 в, г наглядно проиллюстрирована возможность перехода от суммы к интегралу при устремлении t dt .
Для получения необходимых формул представим входное воздействие, в общем виде описываемое любой кусочно-гладкой функцией f(t), совокупностью элементарных дельтаобразных составляю-
136
щих (рис. 4.9), возникающих во все моменты времени от нуля до моментанаблюдения t. Составляющая f(t) является импульснойфункцией, отличнойотнулявточкеt = , сплощадьюимпульса f :
~ |
|
|
|
|
|
|
|
) . |
|
|
|
|
|
|
|
(4.11) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f f ( ) (t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x(t)=1(t) – 1(t – t1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x(t)=1(t – t1) – 1(t – t2) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(ti) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
t1 t2 ti |
|
|
|
|
|
|
|
ti |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x t xi1 t ti |
|
|
|
|
|
x t x ti |
t ti |
t |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соответствующая ей составляющая реакции определяется к моменту t в виде
~ |
~ |
t . (4.12) |
y |
f k |
f(t)
Δτ
τ t
Рис. 4.9
137
Для получения «полного» входного и выходного сигнала применим принцип наложения:
f ( ) (t ) f ( ) k(t ) . |
(4.13) |
|
|
|
|
f (t) |
y(t) |
|
При устремлении t dt осуществим переход от суммы к интегралу. В результате получим полную реакцию системы к моменту наблюдения, учитывающую все импульсные компоненты воздействия, возложенные на интервал 0 t). Применим к полученному выражению теорему о свертке:
y(t) t |
f ( )k(t )d t |
f (t )k( )d . |
(4.14) |
0 |
0 |
|
|
Раскрывая значение k( ) с помощью (4.7), получаем:
y(t) t |
f (t )k( )1( )d t |
f (t )h(0) ( )d . |
(4.15) |
0 |
0 |
|
|
Нижний предел во втором интеграле должен быть смещен к точке t = 0– для того, чтобы учесть значение импульсной составляющей в точке t = 0. В первом интеграле (4.15) множитель 1( ) можно опустить, так как в пределах интервала интегрирования ( > 0) 1( ) = 1; а также в силу фильтрующего действия -функции второйинтегралупрощается. Окончательно получим:
y(t) h(0) f (t) t |
f (t )k( )d , |
(4.16) |
|
0 |
|
|
|
y(t) h(0) f (t) t |
f ( )k(t )d . |
(4.17) |
|
|
0 |
|
|
Формулы (4.16), (4.17) соответствуют так называемым третьей и четвертой формам записи интеграла Дюамеля. Они по-
138
зволяют рассчитать реакцию линейной цепи на произвольное воздействие f(t), когда задана импульсная характеристика. Необходимо иметь в виду, что входящая в первое слагаемое функция f(t) выражает значение воздействия в момент наблюдения t.
Выполним в третьей форме (4.16) интегрирование по частям
uτ k( ) u h( ), v(t ) f (t ), vτ f (t ) :
y(t) h(0) f (t) f (t )h( )
h(0) f (t) h(t) f (0) h(0) f
t |
t |
|
)h( )d |
0 |
f (t |
||
|
0 |
|
(4.18) |
|
t |
|
|
|
|
|
|
(t) |
f (t )h( )d . |
||
|
0 |
|
|
В результате необходимых преобразований получим первую (4.19) и с применением теоремы о свертке вторую (4.20) формы записи интеграла Дюамеля:
|
t |
f (t )h( )d , |
|
y (t ) |
f (0)h(t ) |
(4.19) |
|
|
0 |
|
|
|
t |
f ( )h(t )d . |
|
y (t ) |
f (0)h(t ) |
(4.20) |
|
|
0 |
|
|
Эти формулы позволяют рассчитывать реакцию системы на произвольное входное воздействие f(t), когда задана переходная характеристика.
Если рассматривается кусочно-гладкое воздействие f , которое на интервале наблюдения 0 t претерпевает разрывы, то производная f t во всех точках разрыва ti будет содержать импульсную составляющую f ti t ti . Из последнего интеграла извлекутся слагаемые вида f ti h t ti , к которым относит-
ся и первое слагаемое при t = 0. Интеграл при этом разобьется на сумму интегралов с соответствующими пределами:
139
|
|
|
q |
t |
|
|
|
|
y(t) f (ti )h(t ti ) f |
|
(4.21) |
||
|
|
(t )h( )d , |
||||
|
|
|
i 0 |
0 |
|
|
t |
t1 |
t2 |
t |
|
|
|
где , |
f (ti ) – приращение входного сигнала в |
|||||
0 |
0 |
t1 |
tq |
|
|
|
момент разрыва ti; q – число разрывов или нарушений гладкости; t – момент наблюдения.
4.3. Последовательность расчета переходных процессов при помощи интеграла Дюамеля
Порядок расчета переходных процессов при помощи интеграла Дюамеля может быть следующим:
1)с помощью классического или операторного метода определить переходную характеристику цепи;
2)определить производную входного воздействия и заменить в ней текущее время t на переменную интегрирования ;
3)используя одну из форм интеграла Дюамеля, выполнить расчет реакции цепи.
Если воздействие представлено в виде кусочно-разрывной функции текущего времени t, то расчет реакции производят на каждом отдельном участке непрерывности воздействия. При этом учитывают разрывы непрерывности воздействия на границах отдельных участков.
В случае, когда воздействие произвольной формы прикладывается к активной цепи или к цепи с ненулевыми начальными условиями, расчет переходных процессов можно вести методом наложения, принимая, что искомая величина содержит в переходном процессе две составляющие, одну из которых можно найти с помощью интеграла Дюамеля при нулевых начальных условиях, а другую составляющую, обусловленную начальным запасом энергии в цепи, − любым из рассмотренных ранее методов, например, классическим или операторным.
140