книги / Теория линейных электрических цепей. Переходные процессы
.pdfВыбор нижнего предела удобен, так как при этом учитываются особенности изменения воздействия и реакции в момент t = 0, когда они содержат импульсную составляющую, а также при использовании начальных условий (0–), которые задаются формулировкой задачи.
2.1.2. Теоремы операторного метода |
|
|||
1) Теорема |
об |
однозначном соответствии: |
f(t) = F(p) |
и |
F(p) = f(t). |
|
|
f(t) = F(p) |
|
2) Теорема |
о |
линейном преобразовании: |
|
|
af(t) = aF(p). |
|
|
|
|
3)Теорема о сумме: aifi(t) = aiFi(p).
4)Теорема запаздывания: f(t – t0) = F p e pt0 .
5)Теорема смещения параметра: f(t)e t = F p .
6)Теорема о свертке: если f(t) = F(p) и g(t) = G(p), то
F( p)G( p) = |
t |
f g t d t |
f t g d . |
|
0 |
0 |
|
7) Предельные соотношения:
7.1) lim pF p f ;
p 0
7.2) lim pF p f 0 .
p
Особо следует обратить внимание на ключевые теоремы операторного метода, позволяющие алгебраизировать систему дифференциальных уравнений и производить расчет переходных процессов в цепях с ненулевыми начальными условиями:
|
|
|
|
|
|
|
8) Теоремаопроизводной: f(t) = F(p) f |
(t) = pF(p) – f(0). |
|||||
t |
|
F( p) |
|
1 |
0 |
|
9) Теорема об интеграле: f t dt = |
|
|
|
|
|
f (t)dt. |
|
|
p |
p |
|||
|
|
|
|
|
91
2.1.3.Некоторые типовые преобразования Лапласа
Всправочниках табулировано большое число функций и их изменений, приведем некоторые из них:
1 |
1 |
; t |
1 |
; tn |
|
1 |
|
; e t |
|
1 |
; |
||||||||||||
|
p2 |
pn 1 |
p |
||||||||||||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
1 |
e |
t |
|
|
1 |
|
|
; te |
t |
|
|
1 |
|
|
; |
|||||||
|
|
|
p p |
|
p 2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
sin t |
|
|
|
|
; cos t |
|
p |
|
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
p |
2 |
2 |
p |
2 |
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2.Законы Ома и Кирхгофа
воператорной форме
Рассмотрим цепь (рис. 2.1). Второй закон Кирхгофа во временной области (для оригиналов):
i |
R |
|
Ri L |
di |
|
1 |
t |
(2.3) |
|
|
|
|
dt |
C |
idt u . |
||||
|
uR |
|
|
|
|
|
|||
u |
uL |
К уравнению (2.3) |
применим преоб- |
||||||
L |
|||||||||
|
|
|
разование Лапласа, которое является ли- |
||||||
|
|
|
нейной функцией, поэтому изображение |
||||||
|
uC |
|
суммы равно сумме изображений: |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
di |
|
1 |
t |
|
|
pt |
|
|
pt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
ue dt . (2.4) |
|
Ri L |
|
|
|
idt e |
|
|
||||
Рис. 2.1 |
0 |
dt |
|
C |
|
|
|
0 |
|
Каждое слагаемое уравнения (2.4) заменим операторным изображением и выразим ток I(p):
|
U ( p) Li(0) |
uc (0) |
|
|
I ( p) |
|
p |
, |
(2.5) |
Z ( p) |
|
|||
|
|
|
|
92
где |
Z ( p) R pL |
1 |
– операторное сопротивление; Li(0) – |
|
pC |
||||
|
|
|
операторная ЭДС, учитывающая ненулевой запас энергии магнитного поля Wм в индуктивности (по току iL(0)); uC (0) – опера-
торная ЭДС, учитывающая ненулевой запас энергии электрического поля Wэл в емкости (по напряжению uC(0)).
При нулевых начальных условиях I ( p) UZ ((pp)) , что анало-
гично закону Ома для цепей постоянного тока.
По первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю: ik 0 . Применим преобразование Лапласа к этому урав-
k
нению и, воспользовавшись теоремой о сумме, получим: |
|
Ik ( p) 0 . |
(2.6) |
k |
|
Уравнение (2.6), выражающее собой I закон Кирхгофа в операторной форме, аналогично выражению, справедливому для цепей постоянного тока.
Для любого замкнутого контура электрической цепи можно составить уравнение по II закону Кирхгофа uk 0 . Применим
|
k |
преобразование Лапласа: |
|
Uk ( p) 0 . |
(2.7) |
k |
|
Уравнение (2.7) представляет собой математическую запись
II закона Кирхгофа в операторной форме. Произведя разделение слагаемых, характеризующих падение напряжения на пассивных элементах, и параметры источников, получим уравнение (2.8), представляющее модификацию уравнения (2.7) в более употребляемой на практике форме:
93
Zk ( p)Ik ( p) Ek ( p) Lk ik (0) |
uCk (0) |
. |
(2.8) |
|||
|
||||||
k |
k |
k |
k |
p |
|
Полученное выражение является аналогом записи II закона Кирхгофа для цепей постоянного тока Rk Ik Ek .
k |
k |
Таким образом, при описании цепей при нулевых начальных условиях просматривается полная аналогия с цепями постоянного тока. При ненулевых начальных условиях появляются отличия, заключающиеся в необходимости введения операторных ЭДС, учитывающих и отображающих ненулевой запас энергии магнитного поля Wм виндуктивностииэнергииэлектрическогополяWэл вемкости.
Отсюда следует важный вывод: весь изученный применительно к цепям постоянного тока расчетный аппарат работает и при анализе переходных процессов, но только в операторной форме. При этом необходимо учесть, что задающие воздействия источников ЭДС и задающие токи источников тока также должны записываться в виде изображений по Лапласу.
2.3. Эквивалентные операторные схемы
При расчете переходных процессов операторным методом удобно составить предварительно операторную схему. В каждой ветви, содержащей накопители энергии L и C, должны быть при ненулевых начальных условиях учтены две дополнительные внутренние ЭДС Li(0) и uC(0)/p. На рис. 2.2 показаны переходы от элементов с мгновенными значениями токов и напряжений
кэлементам операторной схемы.
2.4.Порядок расчета переходных процессов операторным методом
1.Анализ независимых начальных условий (для этого необ-
ходимо рассчитать режим работы докоммутационной цепи в момент времени t = 0–).
2.Составление эквивалентной операторной схемы.
94
3.Расчет операторной схемы любым расчетным методом в операторной форме. Полученное изображение X(p) искомой величины привести к виду рациональной дроби.
4.Определениеоригиналаx(t) поX(p), т.е. обратныйпереход.
2.5. Нахождение оригинала по изображению
При расчете переходных процессов операторным методом необходимо не только находить изображение функций, их производных и интегралов, но и решать обратную задачу – находить функции (оригиналы) по их изображениям. Существуют следующие способы решения этой проблемы:
95
1. Использование обратного преобразования Лапласа:
f (t) L 1 F( p) |
1 |
j |
|
|
F( p)e pt dp , |
(2.9) |
|||
|
||||
|
2 j j |
|
которое представляет собой решение интегрального уравнения (2.1) относительно неизвестной функции f(t) и может быть получено методами теории функций комплексного переменного. Интеграл (2.9) вычисляется по прямой на плоскости комплексного переменного p, параллельной мнимой оси и расположенной правее всех особенностей (в частности, простых и кратных полюсов) функции F(p). Такойспособвприкладныхзадачах электротехникинеиспользуется.
2.Табличный метод. Подробные таблицы оригиналов и соответствующих им изображений приводятся в математических и электротехнических справочниках. При использовании этого способа возникают трудности, связанные с распознаванием и сведением функций к табличному виду.
3.Использованиетеоремыовычетахилитеоремыразложения. Для каждой функции времени, входящей в уравнение Кирх-
гофа, описывающего расчетную цепь, устанавливается в соответствие операторное изображение, после чего система линейных дифференциальных уравнений переписывается в виде системы алгебраических уравнений (также получаем операторную схему замещения). Система алгебраических уравнений рассчитывается относительно операторного изображения искомой величины, по которому с помощью теоремы разложения находится оригинал.
Теорема разложения имеет две модификации в зависимости
от операторного изображения искомой величины: |
|
|||||||||||
|
F |
p |
|
n |
F |
p |
|
|
|
|||
1) |
1 |
|
|
= |
|
1 |
i |
|
|
epit , |
(2.10) |
|
F |
p |
F p |
|
|||||||||
|
|
i 1 |
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
i |
|
|
|
|
где n – порядок цепи, pi – простые корни характеристического уравнения F2(p) = 0;
F2 ( p) dF2 ( p) . dp
96
Операторное изображение вида (2.10) соответствует сигна-
лам, не имеющим принужденную составляющую. |
|
|||||||||||||||
|
F |
p |
|
F p |
|
|
|
F 0 |
n |
F |
p |
|
|
|
||
2) |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
= |
1 |
|
|
1 |
i |
|
e pit , |
(2.11) |
F2 |
p |
pF3 p |
|
F3 0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
i 1 |
pi F3 ' pi |
|
где pi – корни характеристического уравнения F3(p) = 0.
В этом случае знаменатель имеет один нулевой корень, на это указывает наличие в составе знаменателя множителя p. Теорема разложения в форме (2.11) позволяет определять оригиналы сигналов, имеющих принужденную составляющую.
Если уравнение F2(p) = 0 имеет комплексные сопряженные корни pi и pi* , то достаточно вычислить слагаемое сумм (2.10)
или (2.11) только для корня pi , а для корня pi* взять значение, сопряженное этому слагаемому, т.е.
|
F p |
|
F |
( p ) |
e |
pit |
|
|
F1 |
( p* ) |
e |
p*t |
|
|
F |
( p ) |
e |
pit |
|
|
||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
1 |
i |
|
|
||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Re |
|
|
|
|
|
(2.12) |
||||||
|
F2 p |
F2 ( pi ) |
|
|
|
|
* |
) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
F2 ( pi |
|
|
|
|
F2 ( pi ) |
|
|
|
|
||||||||||||||
или |
F1 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
= |
|
|
F1 (0) |
|
|
|
|
F1 ( pi ) |
|
|
e |
pit |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Re |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
(2.13) |
|||||||
|
|
|
pF3 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
F3 |
(0) |
|
|
|
|
pi F3 ( pi |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если среди корней многочлена F2(p) = 0 есть q простых корней (p1, p2, …, pq), корень pr кратности r и корень ps кратности s, то можно записать теорему разложения с двойной суммой в правой части (одна сумма – по числу корней, а вторая – для каждого корня по порядку его кратности):
|
F p |
|
|
q |
F1 ( pi ) |
p t |
(r |
1 |
|
|
|
||||||||||||
|
F |
p = i 1 |
F ( p ) e |
i |
|
1)! |
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 1 |
|
( p)( p pr ) |
r |
e |
pt |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
d |
|
F1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
r 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
dp |
|
|
|
F ( p) |
|
|
|
|
|
p p |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
||
|
|
1 |
|
|
|
s 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
e |
pt |
|
||||
|
|
|
|
|
d |
|
F1 ( p)( p ps ) |
|
. |
||||||||||||||
(s |
|
|
|
|
|
s 1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
1)! dp |
|
|
F |
( p) |
|
|
|
|
|
p p |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
(2.14)
97
Если нужно вычислить начальное (при t = 0+) и установившееся (при t = ) значения оригинала, т.е. f(0+) и f( ), то можно воспользоваться формулами (2.10) и (2.11). Однако начальное и установившееся значения оригинала в случае, если установившийся процесс непериодический, определяются достаточно просто по так называемым предельным соотношениям:
f (0 |
) lim pF( p) |
(2.15) |
|
p |
|
и |
|
|
f ( ) lim pF( p) . |
(2.16) |
|
|
p 0 |
|
Рассмотримспецифические особенности применения метода. Пример 1. Рассмотрим заряд конденсатора при подключении RC-цепи на постоянное напряжение (рис. 2.3, а). Определим за-
кон изменения uC (t) в переходном режиме.
Цепь с нулевыми начальными условиями. Соответствующая операторная схема замещения представлена на рис. 2.3, б.
R |
|
|
R |
E |
C |
|
1 |
|
pC |
||
|
|
|
|
а |
|
Рис. 2.3 |
б |
|
|
|
Операторное изображение напряжения на конденсаторе определим по закону Ома:
UC ( p) pC1 I ( p).
Изображение тока в операторной схеме замещения:
I p |
E |
|
|
. |
|
1 |
|
||
|
p R |
|
||
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
pC |
98
Для отыскания uC (t) воспользуемся теоремой разложения в форме (2.11):
UC p |
|
|
E |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
E |
|
|
|
= |
|||
|
|
|
|
1 |
pC |
|
p RpC 1 |
|||||||||||||
|
p R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
pC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
1 |
|
t |
|
|
1 |
t |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
pC |
|
|
pC |
|
|||||||||
= E |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
E Ee |
|
|
|
. |
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
RC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
RC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя предельные соотношения (2.15), (2.16), определим соответственно начальное и установившееся значения напряжения на конденсаторе:
uC (0 ) lim pUC ( p) lim |
|
E |
0, |
|||
|
RpC 1 |
|||||
p |
p |
|
|
|||
uC ( ) lim pUC ( p) lim |
|
|
E |
|
E. |
|
|
RpC 1 |
|||||
p 0 |
p 0 |
|
Аналогичные значения будут получены по формуле, описывающей закон изменения uC (t) в переходном режиме:
|
|
|
|
1 |
0 |
|
||
uC (0 ) E Ee |
|
|
pC |
E E 0 |
||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
uC ( ) E Ee |
pC |
E E 0 E . |
||||||
|
|
|
Пример 2. Найти закон изменения в переходном режиме напряжения на емкости в цепи (рис. 2.4), подключенной к источнику постоянного напряжения U = 4 B. Параметры элементовэлектрическойцепи:
|
R |
|
|
|
R |
L |
|
E |
2R |
||
R |
|||
|
|
||
|
Рис. 2.4 |
|
99
|
|
R 1 Ом, |
L 1 Гн, C 1 4 Ф. |
|
|
|
|
R |
a |
|
1. Анализ независимых на- |
||
|
|
iL |
чальных условий по схеме в |
|||
|
|
R |
||||
|
|
докоммутационном установив- |
||||
E |
2R |
uC |
R |
шемся режиме. Поскольку этот |
||
|
|
|
режим обусловлен источником |
|||
|
|
b |
|
постоянного |
напряжения, |
то |
|
|
|
емкость равносильна разрыву, |
|||
|
|
Рис. 2.5 |
|
а индуктивность – короткому |
||
|
|
|
|
замыканию(рис. 2.5). |
|
|
|
Ток в ветви с источником определяется по формуле |
|
i (0 ) |
|
E |
|
, |
R |
2R(R R) |
|
||
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4R |
|
|
ток в ветви с индуктивностью – по формуле
i |
(0 ) i |
2R |
|
1 A, |
|
R |
|||
L |
1 2R R |
|
напряжение на емкости
uC (0 ) i1 (0 )Rab i1 (0 ) 22R 2 B.
2. Эквивалентная операторная схема замещения представлена на рис. 2.6.
|
R |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1/Cp |
Lp |
E/p |
2R |
uC(0–)/p |
|
|
|
|
R |
|
|
0 |
LiL(0–) |
|
|
Рис. 2.6 |
|
100