1.7 Условие перехода через критическую скорость.

Сопло Лаваля

Итак, давление на выходе из простого сопла может быть понижено до Р_а = Р_кр, т.е. максимальный перепад, который может быть полезно использован с помощью простого сопла равен критическому: DР_max = DP_кр = Р₁ - Р_кр. Скорость истечения из простого сопла при этом не может превысить критическую w_а £ w_кр. Между тем, во многих случаях располагают значительно большим перепадом давления и заинтересованы в получении сверхзвуковых скоростей. В связи с этим огромное значение приобретает ответ на вопрос - какова форма канала, допускающего непрерывный переход через местную скорость звука.

Для ответа на этот вопрос проследим за изменением характеристик энергетически изолированного потока сжимаемой жидкости, скорость которого непрерывно возрастает. Уже отмечалось, что величины dw и du во всех случаях имеют одинаковый знак, обратный знаку dP. Из уравнения первого закона термодинамики для адиабатного процесса:

с_vdT = - Pdu

очевидно, что величины du и dT имеют во всех случаях обратные знаки. Для данного идеального газа очевидно также, что с уменьшением температуры уменьшается и скорость звука, т.к. а=.

Рис. 1.9. Сопло Лаваля

Возможно поэтому следующее утверждение: непрерывное ускорение потока сжимаемой жидкости (dw > 0) сопровождается возрастанием его удельного объема (du > 0), т.е. уменьшением ее плотности (dr < 0), падением давления (dP < 0), температуры ( dT < 0) и местной скорости звука (da < 0) (рис. 1.9).

Каким же образом должна при этом изменяться форма канала, в котором совершается течение, т.е. какова функция f₁ = f₁(x). По условию скорость w есть непрерывная функция координаты w = w(х), т.е. w непрерывно изменяется по длине канала. Вместо f₁ = f₁(x), можно поэтому рассматривать функцию f = f(w), используя уравнение сплошности в форме Гюгонио (1.22). Его можно записать следующим образом

.

Это уравнение показывает, что df/dw < 0 повсюду в области I, где скорость течения меньше местной скорости звука (w < а, т.е. М < 1); df/ dw = 0 в том сечении канала, где скорость течения оказывается равной местной скорости звука (w = а, т.е. М = 1); наконец, df/ dw > 0 повсюду в области II, где скорость течения больше местной скорости звука (w > а, т.е. М > 1). Это означает, что при М = 1, т.е. при w = а, функция f = f(w) имеет минимум.

По совокупности изложенного можно утверждать, что для непрерывного ускорения энергетически изолированного течения сжимаемой жидкости, приводящего к непрерывному переходу через скорость звука, необходимо сужать канал для достижения критической скорости (w = w_кр = а_кр, т.е. М = 1) и расширять канал для дальнейшего ускорения потока, т.е. для перехода в область, где w > а, т.е. М > 1.

Отвечающий этим требованиям канал показан на рис. 1.9. Он состоит из суживающейся части, плавно сопряженной с расходящейся частью. Такой формы канал называется соплом Лаваля.

При этом, минимальное сечение сопла Лаваля - это критическое для потока сечение, т.е. сечение канала, в котором все характеристики течения оказываются критическими.

Таким образом, выяснено, что непрерывный переход через скорость звука возможен при изменении знака геометрического воздействия: сужение канала сменяется его расширением. Это изменение знака геометрического воздействия называется обращением геометрического воздействия.

Перейдем к расчету сопла Лаваля. По условию скорость на выходе из сопла Лаваля больше местной скорости звука. Давление Р_а и Р₂ могут быть поэтому связаны условием Р_а ³ Р₂. Тот случай, когда Р_а = Р₂, называют расчетным режимом сопла Лаваля.

Ограничимся описанием расчетного режима сопла Лаваля (Р_а = Р₂) и будем считать заданными: неизменные во времени параметры рабочего тела на входе в сопло (Р₁, u₁, Т₁, w₁ = 0), показатель адиабаты k= const, давление в среде Р₂, расход через сопло m*. Необходимо найти: площадь критического (минимального) сечения сопла f_кр, площадь выходного сечения сопла f_a, длину расходящейся части 1. Длина же суживающейся части выбирается из конструктивных соображений (габариты, минимальные потери и т.д.).

Для идеального газа задача решается следующим образом. Уже указывалось, что расход через любой канал ограничивается пропускной способностью его минимального сечения, т.е. площадью этого сечения и предельно возможными параметрами рабочего тела в нем. Но минимальное сечение сопла Лаваля - это критическое для потока сечение f_кр. Заданный расход надо поэтому считать предельным (максимальным) расходом через сопло Лаваля.

, кг/с.

Следовательно,

, м²,

где

, м³/кг,

, м/с.

Площадь выходного сечения сопла f_а найдем из уравнения расхода

, кг/с.

Следовательно,

, м²,

где

, м/с,

, м³/кг.

Зная f_кр и f_а, можно найти d_кр и d _а, а далее длину расходящейся части сопла:

, м. (1.25)

Здесь a - угол раскрытия (конусности) сопла Лаваля. Этот угол выбирается в пределах от 8° до 12°. При больших углах конусности возможен отрыв потока от стенок сопла, при этом резко растут потери на вихреобразование. При меньших углах растет длина сопла, а стало быть и потери на трение.

Для замедления сверхзвукового потока требуется также комбинированный канал, вначале (при М > 1) суживающийся и затем (при М < 1) расширяющийся. В критическом (минимальном) сечении скорость потока достигает скорости звука. Такие каналы называют сверхзвуковыми диффузорами (обращенное сопло Лаваля).